專題五專題五第2講概率及其與統(tǒng)計(jì)的交匯問(wèn)題概率與統(tǒng)計(jì)考向預(yù)測(cè)考向預(yù)測(cè)1.以選擇題、填空題的形式考查古典概型、幾何概型的基本應(yīng)用，同時(shí)滲透互斥事件、對(duì)立事件；2.概率常與統(tǒng)計(jì)知識(shí)結(jié)合在一起命題，主要以解答題形式呈現(xiàn)，中檔難度.知識(shí)與技巧的梳理知識(shí)與技巧的梳理1.古典概型的概率(1)公式P(A)＝eq\f(m,n)＝eq\f(A中所含的基本事件數(shù),基本事件總數(shù)).(2)古典概型的兩個(gè)特點(diǎn)：所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等.2.幾何概型的概率(1)P(A)＝eq\f(構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體積）,試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體積）).(2)幾何概型應(yīng)滿足兩個(gè)條件：①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無(wú)限多個(gè)；②每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等.3.概率的性質(zhì)及互斥事件的概率(1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率：P(A)＝1.(3)不可能事件的概率：P(A)＝0.(4)若A，B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，特別地P(A)＋P(eq\o(A,\s\up15(－,)))＝1.熱點(diǎn)題型熱點(diǎn)題型熱點(diǎn)一古典概型的概率【例1】(2016·山東卷)某兒童樂(lè)園在“六一”兒童節(jié)推出了一項(xiàng)趣味活動(dòng).參加活動(dòng)的兒童需轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的轉(zhuǎn)盤兩次，每次轉(zhuǎn)動(dòng)后，待轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，記錄指針?biāo)竻^(qū)域中的數(shù).設(shè)兩次記錄的數(shù)分別為x，y.獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下：①若xy≤3，則獎(jiǎng)勵(lì)玩具一個(gè)； ②若xy≥8則獎(jiǎng)勵(lì)水杯一個(gè)； ③其余情況獎(jiǎng)勵(lì)飲料一瓶.假設(shè)轉(zhuǎn)盤質(zhì)地均勻，四個(gè)區(qū)域劃分均勻，小亮準(zhǔn)備參加此項(xiàng)活動(dòng).(1)求小亮獲得玩具的概率；(2)請(qǐng)比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小，并說(shuō)明理由.解用數(shù)對(duì)(x，y)表示兒童參加活動(dòng)先后記錄的數(shù)，則基本事件空間Ω與點(diǎn)集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N，1≤x≤4，1≤y≤4}一一對(duì)應(yīng).因?yàn)镾中元素的個(gè)數(shù)是4×4＝16.所以基本事件總數(shù)n＝16.(1)記“xy≤3”為事件A，則事件A包含的基本事件數(shù)共5個(gè)，即(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1)，所以P(A)＝eq\f(5,16)，即小亮獲得玩具的概率為eq\f(5,16).(2)記“xy≥8”為事件B，“3＜xy＜8”為事件C.則事件B包含的基本事件數(shù)共6個(gè).即(2，4)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4).所以P(B)＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8).事件C包含的基本事件數(shù)共5個(gè)，即(1，4)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，1).所以P(C)＝eq\f(5,16).因?yàn)閑q\f(3,8)＞eq\f(5,16)，所以小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率.探究提高1.求古典概型的概率的關(guān)鍵是正確列舉出基本事件的總數(shù)和待求事件包含的基本事件數(shù).2.兩點(diǎn)注意：(1)對(duì)于較復(fù)雜的題目，列出事件數(shù)時(shí)要正確分類，分類時(shí)應(yīng)不重不漏.(2)當(dāng)直接求解有困難時(shí)，可考慮求其對(duì)立事件的概率.【訓(xùn)練1】(2017·昆明診斷)某校高一年級(jí)學(xué)生全部參加了體育科目的達(dá)標(biāo)測(cè)試，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取40名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)，整理數(shù)據(jù)并按分?jǐn)?shù)段[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]進(jìn)行分組，假設(shè)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，則得到體育成績(jī)的折線圖(如下).(1)體育成績(jī)大于或等于70分的學(xué)生常被稱為“體育良好”.已知該校高一年級(jí)有1000名學(xué)生，試估計(jì)該校高一年級(jí)中“體育良好”的學(xué)生人數(shù)；(2)為分析學(xué)生平時(shí)的體育活動(dòng)情況，現(xiàn)從體育成績(jī)?cè)赱60，70)和[80，90)的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求在抽取的2名學(xué)生中，至少有1人體育成績(jī)?cè)赱60，70)的概率.解(1)由折線圖，知樣本中體育成績(jī)大于或等于70分的學(xué)生有14＋3＋13＝30(人).所以該校高一年級(jí)中，“體育良好”的學(xué)生人數(shù)大約有1000×eq\f(30,40)＝750(人).(2)設(shè)“至少有1人體育成績(jī)?cè)赱60，70)”為事件M，記體育成績(jī)?cè)赱60，70)的數(shù)據(jù)為A1，A2，體育成績(jī)?cè)赱80，90)的數(shù)據(jù)為B1，B2，B3，則從這兩組數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取2個(gè)，所有可能的結(jié)果有10種，即(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3).而事件M的結(jié)果有7種，即(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3).因此事件M的概率P(M)＝eq\f(7,10).熱點(diǎn)二概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問(wèn)題【例2】(2017·合肥質(zhì)檢)一企業(yè)從某條生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品，測(cè)量這些產(chǎn)品的某項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)值x，得到如下的頻率分布表：x[11，13)[13，15)[15，17)[17，19)[19，21)[21，23)頻數(shù)2123438104(1)作出樣本的頻率分布直方圖，并估計(jì)該技術(shù)指標(biāo)值x的平均數(shù)和眾數(shù)；(2)若x<13或x≥21，則該產(chǎn)品不合格.現(xiàn)從不合格的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件，求抽取的2件產(chǎn)品中技術(shù)指標(biāo)值小于13的產(chǎn)品恰有1件的概率.解(1)頻率分布直方圖為：估計(jì)平均數(shù)為eq\o(x,\s\up15(－,))＝12×0.02＋14×0.12＋16×0.34＋18×0.38＋20×0.10＋22×0.04＝17.08.由頻率分布直方圖，x∈[17，19)時(shí)，矩形面積最大，因此估計(jì)眾數(shù)為18.(2)記技術(shù)指標(biāo)值x<13的2件不合格產(chǎn)品為a1，a2，技術(shù)指標(biāo)值x≥21的4件不合格產(chǎn)品為b1，b2，b3，b4，則從這6件不合格產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件包含如下基本事件(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2，b3)，(b2，b4)，(b3，b4)，共15個(gè)基本事件.記抽取的2件產(chǎn)品中技術(shù)指標(biāo)值小于13的產(chǎn)品恰有1件為事件M，則事件M包含如下基本事件(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，共8個(gè)基本事件.故抽取2件產(chǎn)品中技術(shù)指標(biāo)值小于13的產(chǎn)品恰有1件的概率為P＝eq\f(8,15).探究提高1.概率與統(tǒng)計(jì)的綜合題一般是先給出樣本數(shù)據(jù)或樣本數(shù)據(jù)的分布等，在解題中首先要處理好數(shù)據(jù)，如數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)、數(shù)據(jù)的分布規(guī)律等，即把數(shù)據(jù)分析清楚，然后再根據(jù)題目要求進(jìn)行相關(guān)計(jì)算.2.在求解該類問(wèn)題要注意兩點(diǎn)：(1)明確頻率與概率的關(guān)系，頻率可近似替代概率.(2)此類問(wèn)題中的概率模型多是古典概型，在求解時(shí)，要明確基本事件的構(gòu)成.【訓(xùn)練2】(2017·成都診斷)某省2017年高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平測(cè)試的原始成績(jī)采用百分制，發(fā)布成績(jī)使用等級(jí)制.各等級(jí)劃分標(biāo)準(zhǔn)為：85分及以上，記為A等；分?jǐn)?shù)在[70，85)內(nèi)，記為B等；分?jǐn)?shù)在[60，70)內(nèi)，記為C等；60分以下，記為D等.同時(shí)認(rèn)定A，B，C等為合格，D等為不合格.已知甲、乙兩所學(xué)校學(xué)生的原始成績(jī)均分布在[50，100]內(nèi)，為了比較兩校學(xué)生的成績(jī)，分別抽取50名學(xué)生的原始成績(jī)作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì).按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]的分組作出甲校樣本的頻率分布直方圖如圖1所示，乙校的樣本中等級(jí)為C，D的所有數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖2所示.(1)求圖中x的值，并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)比較甲、乙兩校的合格率；(2)在乙校的樣本中，從成績(jī)等級(jí)為C，D的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生進(jìn)行調(diào)研，求抽出的2名學(xué)生中至少有1名學(xué)生成績(jī)等級(jí)為D的概率.解(1)由題意，可知10x＋0.012×10＋0.056×10＋0.018×10＋0.010×10＝1，∴x＝0.004，∴甲學(xué)校的合格率為(1－10×0.004)×100%＝0.96×100%＝96%.∴乙學(xué)校的合格率為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,50)))×100%＝0.96×100%＝96%.∴甲、乙兩校的合格率均為96%.(2)由題意，將乙校的樣本中成績(jī)等級(jí)為C的4名學(xué)生記為C1，C2，C3，C4，成績(jī)等級(jí)為D的2名學(xué)生記為D1，D2，則隨機(jī)抽取2名學(xué)生的基本事件有{C1，C2}，{C1，C3}，{C1，C4}，{C1，D1}，{C1，D2}，{C2，C3}，{C2，C4}，{C2，D1}，{C2，D2}，{C3，C4}，{C3，D1}，{C3，D2}，{C4，D1}，{C4，D2}，{D1，D2}，共15個(gè)基本事件.其中“至少有1名學(xué)生成績(jī)等級(jí)為D”包含{C1，D1}，{C1，D2}，{C2，D1}，{C2，D2}，{C3，D1}，{C3，D2}，{C4，D1}，{C4，D2}，{D1，D2}，共9個(gè)基本事件.∴抽取的2名學(xué)生中至少有1名學(xué)生成績(jī)等級(jí)為D的概率為P＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5).

（（45分鐘）限時(shí)訓(xùn)練經(jīng)典常規(guī)題經(jīng)典常規(guī)題1.(2017·山東卷)某旅游愛好者計(jì)劃從3個(gè)亞洲國(guó)家A1，A2，A3和3個(gè)歐洲國(guó)家B1，B2，B3中選擇2個(gè)國(guó)家去旅游.(1)若從這6個(gè)國(guó)家中任選2個(gè)，求這2個(gè)國(guó)家都是亞洲國(guó)家的概率；(2)若從亞洲國(guó)家和歐洲國(guó)家中各任選1個(gè)，求這2個(gè)國(guó)家包括A1但不包括B1的概率.【解題思路】(1)列舉從6個(gè)國(guó)家中任選兩個(gè)國(guó)家的所有可能結(jié)果，并找出這2個(gè)國(guó)家都是亞洲國(guó)家的基本事件；(2)列舉從亞洲國(guó)家和歐洲國(guó)家中各任選一個(gè)的所有可能結(jié)果，并找出這2個(gè)國(guó)家包括A1但不包括B1的基本事件，這兩問(wèn)考察的都是古典概型.【答案】解(1)由題意知，從6個(gè)國(guó)家中任選兩個(gè)國(guó)家，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共15個(gè).所選兩個(gè)國(guó)家都是亞洲國(guó)家的事件所包含的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3個(gè).則所求事件的概率為P＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).(2)從亞洲國(guó)家和歐洲國(guó)家中各任選一個(gè)，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有：{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，共9個(gè).包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有{A1，B2}，{A1，B3}，共2個(gè)，則所求事件的概率為P＝eq\f(2,9).高頻易錯(cuò)題高頻易錯(cuò)題1.(2016·全國(guó)Ⅱ卷)某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單位：元)，繼續(xù)購(gòu)買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：上年度出險(xiǎn)次數(shù)01234≥5保費(fèi)0.85aa1.25a1.5a1.75a2a隨機(jī)調(diào)查了該險(xiǎn)種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險(xiǎn)情況，得到如下統(tǒng)計(jì)表：出險(xiǎn)次數(shù)01234≥5頻數(shù)605030302010(1)記A為事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)不高于基本保費(fèi)”.求P(A)的估計(jì)值；(2)記B為事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)但不高于基本保費(fèi)的160%”.求P(B)的估計(jì)值；(3)求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)的估計(jì)值.【解題思路】(1)計(jì)算事件A的頻率，以頻率估計(jì)P(A)；(2)計(jì)算事件B的頻率，以頻率估計(jì)P(B)；(3)計(jì)算保費(fèi)的平均值.【答案】解(1)事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)小于2，由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)小于2的頻率為eq\f(60＋50,200)＝0.55，故P(A)的估計(jì)值為0.55.(2)事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1且小于4，由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1且小于4的頻率為eq\f(30＋30,200)＝0.3，故P(B)的估計(jì)值為0.3.(3)由所給數(shù)據(jù)得：保費(fèi)0.85aa1.25a1.5a1.75a2a頻率0.300.250.150.150.100.05調(diào)查的200名續(xù)保人的平均保費(fèi)為：0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.1925a.因此，續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計(jì)值為1.1925a.2.某市擬招商引資興建一化工園區(qū)，新聞媒體對(duì)此進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，在所有參與調(diào)查的市民中，持“支持”“保留”和“不支持”態(tài)度的人數(shù)如下表所示：支持保留不支持30歲以下90012028030歲以上(含30歲)300260140(1)在所有參與調(diào)查的人中，用分層抽樣的方法抽取部分市民做進(jìn)一步調(diào)研(不同態(tài)度的群體中亦按年齡分層抽樣)，已知從“保留”態(tài)度的人中抽取了19人，則在“支持”態(tài)度的群體中，年齡在30歲以上的人有多少人被抽?。?2)在持“不支持”態(tài)度的人中，用分層抽樣的方法抽取6人做進(jìn)一步調(diào)研，將此6人看作一個(gè)總體，在這6人中任意選取2人，求至少有1人在30歲以上的概率.【解題思路】(1)分層抽樣是按比例抽取，根據(jù)比例值相等列式；(2)列舉在這6人中任意選取2人的所有可能結(jié)果，并找出至少有1人在30歲以上的基本事件.【答案】解(1)設(shè)在“支持”的群體中抽取n個(gè)人，其中年齡在30歲以上的人被抽取x人，由題意eq\f(120＋260,19)＝eq\f(900＋300,n)，得n＝60，則x＝eq\f(300,1200)n＝eq\f(1,4)n＝15人.所以在“支持”的群體中，年齡在30歲以上的人有15人被抽取.(2)設(shè)所選的人中，有m人年齡在30歲以下，則eq\f(280,280＋140)＝eq\f(2,3)＝eq\f(m,6)，∴m＝4.即從30歲以下抽取4人，30歲以上(含30歲)抽取2人，分別記作A1，A2，A3，A4，B1，B2，則從中任取2人的所有基本事件為(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，A4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)，共15個(gè).其中至少有1人在30歲以上的基本事件有9個(gè)，分別是(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2).所以在這6人中任意選取2人，至少有1人在30歲以上的概率為eq\f(9,15)＝eq\f(3,5).精準(zhǔn)預(yù)測(cè)題精準(zhǔn)預(yù)測(cè)題1.在某校舉行的航天知識(shí)競(jìng)賽中，參與競(jìng)賽的文科生與理科生人數(shù)之比為1∶3，且成績(jī)分布在[40，100]，分?jǐn)?shù)在80以上(含80)的同學(xué)獲獎(jiǎng).按文、理科用分層抽樣的方法抽取200人的成績(jī)作為樣本，得到成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示.(1)求a的值，并計(jì)算所抽取樣本的平均值eq\o(x,\s\up15(－,))(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；(2)填寫下面的2×2列聯(lián)表，并判斷能否有超過(guò)95%的把握認(rèn)為“獲獎(jiǎng)與學(xué)生的文、理科有關(guān)”？文科生理科生合計(jì)獲獎(jiǎng)5不獲獎(jiǎng)合計(jì)200附表及公式：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【解題思路】(1)根據(jù)頻率和為1計(jì)算a，再計(jì)算其平均值；(2)完成2*2列聯(lián)表，并計(jì)算K2，對(duì)比表格中數(shù)據(jù)確定結(jié)果.【答案】解(1)a＝[1－(0.01＋0.015＋0.03＋0.015＋0.005)×10]÷10＝0.025，eq\o(x,\s\up15(－,))＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.25＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.05＝69.(2)文科生人數(shù)為200×eq\f(1,4)＝50，獲獎(jiǎng)學(xué)生人數(shù)為200×(0.015＋0.005)×10＝40，故2×2列聯(lián)表如下：文科生理科生合計(jì)獲獎(jiǎng)53540不獲獎(jiǎng)45115160合計(jì)50150200因?yàn)镵2＝eq\f(200×（5×115－35×45）2,40×160×50×150)＝eq\f(25,6)≈4.167>3.841，所以有超過(guò)95%的把握認(rèn)為“獲獎(jiǎng)與學(xué)生的文、理科有關(guān)”.2.(2017·沈陽(yáng)市質(zhì)檢)全世界越來(lái)越關(guān)注環(huán)境保護(hù)問(wèn)題，遼寧省某監(jiān)測(cè)站點(diǎn)于2017年