A級(jí)1．如圖所示是一個(gè)物體的三視圖，則此三視圖所描述物體的直觀圖是()解析：先觀察俯視圖，由俯視圖可知選項(xiàng)B和D中的一個(gè)正確，由正視圖和側(cè)視圖可知選項(xiàng)D正確．答案：D2．如圖，水平放置的三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為1，且側(cè)棱AA1⊥平面A1B1C1，正視圖是邊長(zhǎng)為1的正方形，俯視圖為一個(gè)等邊三角形，則該三棱柱的側(cè)視圖面積為()A．2eq\r(3)B.eq\r(3)C.eq\f(\r(3),2) D．1解析：由直觀圖、正視圖以及俯視圖可知，側(cè)視圖是寬為eq\f(\r(3),2)，長(zhǎng)為1的長(zhǎng)方形，所以面積S＝eq\f(\r(3),2)×1＝eq\f(\r(3),2).故選C.答案：C3．已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的直觀圖是()解析：A選項(xiàng)中的幾何體，正視圖不符，側(cè)視圖也不符，俯視圖中沒(méi)有虛線；B選項(xiàng)中的幾何體，俯視圖中不出現(xiàn)虛線；C選項(xiàng)中的幾何體符合三個(gè)視圖；D選項(xiàng)中的幾何體，正視圖不符．故選C.答案：C4．(2017·湖南省五市十校聯(lián)考)如圖，小方格是邊長(zhǎng)為1的正方形，一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則幾何體的表面積為()A．4eq\r(5)π＋96B．(2eq\r(5)＋6)π＋96C．(4eq\r(5)＋4)π＋64D．(4eq\r(5)＋4)π＋96解析：幾何體為一個(gè)圓錐和一個(gè)正方體的組合體，正方體的棱長(zhǎng)為4，圓錐的高為4，底面半徑為2，幾何體的表面積為S＝6×42＋π×22＋π×2×eq\r(42＋22)＝(4eq\r(5)＋4)π＋96.答案：D5．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A．9＋eq\r(3) B．18＋2eq\r(3)C．9eq\r(3)＋3 D．18eq\r(3)＋2解析：由三視圖可得該幾何體是一個(gè)側(cè)放的正三棱柱，底面是邊長(zhǎng)為2，高為eq\r(3)的等邊三角形，且每一個(gè)側(cè)面面積都是6，則該三棱柱的表面積是6×3＋2×eq\f(\r(3),4)×22＝18＋2eq\r(3)，選項(xiàng)B正確．答案：B6．(2017·浙江卷)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是()A.eq\f(π,2)＋1 B．eq\f(π,2)＋3C.eq\f(3π,2)＋1 D．eq\f(3π,2)＋3解析：由三視圖可知該幾何體是由底面半徑為1，高為3的半個(gè)圓錐和三棱錐S-ABC組成的，如圖，三棱錐的高為3，底面△ABC中，AB＝2，OC＝1，AB⊥OC.故其體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×π×12×3＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×1×3＝eq\f(π,2)＋1.故選A.答案：A7．(2017·西安市八校聯(lián)考)某幾何體是直三棱柱與圓錐的組合體，其直觀圖和三視圖如圖所示，正視圖為正方形，其中俯視圖中橢圓的離心率為()A.eq\f(1,2) B．eq\f(\r(2),4)C.eq\f(\r(2),2) D．eq\f(\r(3),2)解析：依題意得，題中的直三棱柱的底面是等腰直角三角形，設(shè)其直角邊長(zhǎng)為a，則斜邊長(zhǎng)為eq\r(2)a，圓錐的底面半徑為eq\f(\r(2),2)a、母線長(zhǎng)為a，因此其俯視圖中橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為eq\r(2)a、短軸長(zhǎng)為a，其離心率e＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(2)a)))2)＝eq\f(\r(2),2)，選C.答案：C8．早在公元前三百多年我國(guó)已經(jīng)運(yùn)用“以度審容”的科學(xué)方法，其中商鞅銅方升是公元前344年商鞅督造的一種標(biāo)準(zhǔn)量器，其三視圖如圖所示，若π取3，其體積為12.6，則圖中的x為()A．1.2 B．1.6C．1.8 D．2.4解析：由三視圖知，商鞅銅方升是由一個(gè)圓柱和一個(gè)長(zhǎng)方體組合而成的，故其體積為(5.4－x)×3×1＋π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2×x＝16.2－3x＋eq\f(1,4)πx＝12.6，又π＝3，故x＝1.6，故選B.答案：B9．(2017·貴州省適應(yīng)性考試)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P是線段A1C1上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐P-BCD的俯視圖與正視圖面積之比的最大值為()A．1 B．eq\r(2)C.eq\r(3) D．2解析：正視圖，底面B，C，D三點(diǎn)，其中D與C重合，隨著點(diǎn)P的變化，其正視圖均是三角形且點(diǎn)P在正視圖中的位置在邊B1C1上移動(dòng)，由此可知，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則S正視圖＝eq\f(1,2)×a2；邊A1C1的中點(diǎn)為O，隨著點(diǎn)P的移動(dòng)，在俯視圖中，易知當(dāng)點(diǎn)P在OC1上移動(dòng)時(shí)，S俯視圖就是底面三角形BCD的面積，當(dāng)點(diǎn)P在OA1上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P越靠近A1，俯視圖的面積越大，當(dāng)?shù)竭_(dá)A1的位置時(shí)，俯視圖為正方形，此時(shí)俯視圖的面積最大，S俯視圖＝a2，所以eq\f(S俯視圖,S正視圖)的最大值為eq\f(a2,\f(1,2)a2)＝2，故選D.答案：D10．(2017·貴陽(yáng)市檢測(cè))三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在體積為eq\f(500π,3)的球的表面上，底面ABC所在的小圓面積為16π，則該三棱錐的高的最大值為()A．4 B．6C．8 D．10解析：依題意，設(shè)題中球的球心為O、半徑為R，△ABC的外接圓半徑為r，則eq\f(4πR3,3)＝eq\f(500π,3)，解得R＝5，由πr2＝16π，解得r＝4，又球心O到平面ABC的距離為eq\r(R2－r2)＝3，因此三棱錐P-ABC的高的最大值為5＋3＝8，選C.答案：C11．(2017·石家莊市第一次模擬)祖暅?zhǔn)悄媳背瘯r(shí)代的偉大數(shù)學(xué)家，5世紀(jì)末提出體積計(jì)算原理，即祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”．意思是：夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任何一個(gè)平面所截，如果截面面積都相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積一定相等．現(xiàn)有以下四個(gè)幾何體：圖①是從圓柱中挖去一個(gè)圓錐所得的幾何體，圖②、圖③、圖④分別是圓錐、圓臺(tái)和半球，則滿足祖暅原理的兩個(gè)幾何體為()A．①② B．①③C．②④ D．①④解析：設(shè)截面與底面的距離為h，則①中截面內(nèi)圓的半徑為h，則截面圓環(huán)的面積為π(R2－h(huán)2)；②中截面圓的半徑為R－h(huán)，則截面圓的面積為π(R－h(huán))2；③中截面圓的半徑為R－eq\f(h,2)，則截面圓的面積為πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(R－\f(h,2)))2；④中截面圓的半徑為eq\r(R2－h(huán)2)，則截面圓的面積為π(R2－h(huán)2)．所以①④中截面的面積相等，故其體積相等，選D.答案：D12．(2017·鄭州市第二次質(zhì)量預(yù)測(cè))將一個(gè)底面半徑為1，高為2的圓錐形工件切割成一個(gè)圓柱體，能切割出的圓柱的最大體積為()A.eq\f(π,27) B．eq\f(8π,27)C.eq\f(π,3) D．eq\f(2π,9)解析：如圖所示，設(shè)圓柱的半徑為r，高為x，體積為V，由題意可得eq\f(r,1)＝eq\f(2－x,2)，所以x＝2－2r，所以圓柱的體積V＝πr2(2－2r)＝2π(r2－r3)(0<r<1)，設(shè)V(r)＝2π(r2－r3)(0<r<1)，則V′(r)＝2π(2r－3r2)，由2π(2r－3r2)＝0得r＝eq\f(2,3)，所以圓柱的最大體積Vmax＝2πeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3))＝eq\f(8π,27)，故選B.答案：B13．已知某組合體的正視圖與側(cè)視圖相同(其中AB＝AC，四邊形BCDE為矩形)，則該組合體的俯視圖可以是________(把正確的圖的序號(hào)都填上)．解析：幾何體由四棱錐與四棱柱組成時(shí)，得①正確；幾何體由四棱錐與圓柱組成時(shí)，得②正確；幾何體由圓錐與圓柱組成時(shí)，得③正確；幾何體由圓錐與四棱柱組成時(shí)，得④正確．答案：①②③④14．(2017·江蘇卷)如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切．記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則eq\f(V1,V2)的值是________．解析：設(shè)圓柱內(nèi)切球的半徑為R，則由題設(shè)可得圓柱O1O2的底面圓的半徑為R，高為2R，∴eq\f(V1,V2)＝eq\f(πR2·2R,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)15．如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)分別為線段AA1，B1C上的點(diǎn)，則三棱錐D1-EDF的體積為_(kāi)_______．解析：因?yàn)锽1C∥平面ADD1A1，所以F到平面ADD1A1的距離d為定值1，△D1DE的面積為eq\f(1,2)D1D·AD＝eq\f(1,2)，所以VD1-EDF＝VF-D1DE＝eq\f(1,3)S△D1DE·d＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)16．某幾何體的三視圖如圖所示，當(dāng)xy取得最大值時(shí)，該幾何體的體積是________．解析：由題意可知，該幾何體為如圖所示的四棱錐P-ABCD，CD＝eq\f(y,2)，AB＝y(tǒng)，AC＝5，CP＝eq\r(7)，BP＝x，∴BP2＝BC2＋CP2，即x2＝25－y2＋7，x2＋y2＝32≥2xy，則xy≤16，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝4時(shí)，等號(hào)成立．此時(shí)該幾何體的體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(2＋4,2)×3×eq\r(7)＝3eq\r(7).答案：3eq\r(7)B級(jí)1．已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA＝2eq\r(3)，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，則球O的表面積為()A．4π B．12πC．16π D．64π解析：取SC的中點(diǎn)E，連接AE，BE，依題意，BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos60°＝3，∴AC2＝AB2＋BC2，即AB⊥BC.又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，又SA∩AB＝A，∴BC⊥平在SAB，BC⊥SB，AE＝eq\f(1,2)SC＝BE，∴點(diǎn)E是三棱錐S-ABC的外接球的球心，即點(diǎn)E與點(diǎn)O重合，OA＝eq\f(1,2)SC＝eq\f(1,2)eq\r(SA2＋AC2)＝2，故球O的表面積為4π×OA2＝16π.答案：C2．如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，以B為圓心的圓與AB，BC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，若tan∠CDF＝eq\f(1,2)，則陰影部分繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周形成幾何體的體積等于________．解析：在Rt△DCF中，DC＝2，所以CF＝DCtan∠CDF＝2×eq\f(1,2)＝1，所以BF＝BC－CF＝2－1＝1.正方形ABCD繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，圓柱的底面半徑R1＝AB＝2，高h(yuǎn)1＝BC＝2，其體積V1＝πReq\o\al(2,1)h1＝π×22×2＝8π；Rt△DCF繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周形成一個(gè)圓錐，圓錐的底面半徑R2＝DC＝2，高h(yuǎn)2＝CF＝1，其體積V2＝eq\f(1,3)πReq\o\al(2,2)h2＝eq\f(1,3)π×22×1＝eq\f(4π,3)；扇形BEF是圓的eq\f(1,4)，其繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周形成一個(gè)半球，球的半徑為r＝BE＝1，故其體積V3＝eq\f(1,2)×eq\f(4π,3)r3＝eq\f(1,2)×eq\f(4π,3)×13＝eq\f(2π,3).陰影部分繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是一個(gè)圓柱挖掉上述的半球與圓錐，故其體積V＝V1－V2－V3＝8π－eq\f(4π,3)－eq\f(2π,3)＝6π.答案：6π3．右圖為一簡(jiǎn)單組合體，其底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD＝AD＝2EC＝2.(1)請(qǐng)畫(huà)出該幾何體的三視圖；(2)求四棱錐B－CEPD的體積．解析：(1)該組合體的三視圖如圖所示．(2)∵PD⊥平面ABCD，PD?平面PDCE，∴平面PDCE⊥平面ABCD.∵四邊形ABCD為正方形，∴BC⊥CD，且BC＝DC＝AD＝2.又∵平面PDCE∩平面ABCD＝CD，BC?平面ABCD.∴BC⊥平面PDCE.∵PD⊥平面ABCD，DC?平面ABCD，∴PD⊥DC.又∵EC∥PD，PD＝2，EC＝1，∴四邊形PDCE為一個(gè)直角梯形，其面積：S梯形PDCE＝eq\f(1,2)(PD＋EC)·DC＝eq\f(1,2)×3×2＝3.∴四棱錐B－CEPD的體積VB－CEPD＝eq\f(1,3)S梯形PDCE·PD＝eq\f(1,3)×3×2＝2.4．如圖，正△ABC的邊長(zhǎng)為4，CD是AB邊上的高，E，F(xiàn)分別是AC和BC邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A－DC－B.(1)試判斷直線AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)求棱錐E－DFC的體積；(3)在線段BC上是否存在一點(diǎn)P，使AP⊥DE？如果存在，求出e