2025年陜西鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)高職單招模擬試題及答案一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.設(shè)集合\(A=\{x|-1<x<2\}\)，\(B=\{x|0<x<3\}\)，則\(A\cupB=(\quad)\)A.\(\{x|-1<x<3\}\)B.\(\{x|-1<x<0\}\)C.\(\{x|0<x<2\}\)D.\(\{x|2<x<3\}\)2.函數(shù)\(y=\sqrt{x-1}\)的定義域是\((\quad)\)A.\((-\infty,1)\)B.\((-\infty,1]\)C.\((1,+\infty)\)D.\([1,+\infty)\)3.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，且\(\alpha\)是第二象限角，則\(\cos\alpha=(\quad)\)A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(-\frac{3}{4}\)4.直線\(2x+3y-6=0\)在\(y\)軸上的截距是\((\quad)\)A.\(2\)B.\(-2\)C.\(3\)D.\(-3\)5.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=2\)，\(a_3=6\)，則\(a_2=(\quad)\)A.\(3\)B.\(4\)C.\(8\)D.\(10\)6.若\(\log_3x=2\)，則\(x=(\quad)\)A.\(6\)B.\(9\)C.\(8\)D.\(5\)7.函數(shù)\(y=\cos2x\)的最小正周期是\((\quad)\)A.\(\frac{\pi}{2}\)B.\(\pi\)C.\(2\pi\)D.\(4\pi\)8.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(-2,m)\)，且\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow\)，則\(m=(\quad)\)A.\(-4\)B.\(4\)C.\(1\)D.\(-1\)9.不等式\(x^2-3x+2<0\)的解集是\((\quad)\)A.\(\{x|1<x<2\}\)B.\(\{x|x<1或x>2\}\)C.\(\{x|-2<x<-1\}\)D.\(\{x|x<-2或x>-1\}\)10.以點(diǎn)\((2,-1)\)為圓心，半徑為\(3\)的圓的方程是\((\quad)\)A.\((x-2)^2+(y+1)^2=9\)B.\((x+2)^2+(y-1)^2=9\)C.\((x-2)^2+(y+1)^2=3\)D.\((x+2)^2+(y-1)^2=3\)二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）11.函數(shù)\(y=2\sinx\)的值域是______。12.若\(\tan\alpha=2\)，則\(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\)______。13.拋物線\(y^2=8x\)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是______。14.已知函數(shù)\(f(x)=x^2+2x-3\)，則\(f(1)=\)______。15.從\(5\)名男生和\(3\)名女生中選\(2\)人參加活動，至少有\(zhòng)(1\)名女生的選法有______種。三、解答題（本大題共5小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）16.（本題滿分13分）已知\(\cos\theta=\frac{1}{3}\)，\(\theta\in(0,\frac{\pi}{2})\)，求\(\sin\theta\)和\(\tan\theta\)的值。17.（本題滿分15分）已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和為\(S_n\)，\(a_1=1\)，\(S_3=9\)。（1）求數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式；（2）求\(S_{10}\)的值。18.（本題滿分15分）已知直線\(l\)經(jīng)過點(diǎn)\(P(2,-1)\)，且與直線\(2x-y+1=0\)垂直，求直線\(l\)的方程。19.（本題滿分16分）某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，已知該產(chǎn)品的月產(chǎn)量\(x\)（噸）與每噸產(chǎn)品的價格\(P\)（元/噸）之間的關(guān)系式為\(P=24200-\frac{1}{5}x^2\)，且生產(chǎn)\(x\)噸的成本為\(R=50000+200x\)元。問該廠每月生產(chǎn)多少噸產(chǎn)品才能使利潤達(dá)到最大？最大利潤是多少？（利潤\(=\)收入\(-\)成本）20.（本題滿分16分）已知函數(shù)\(f(x)=\sin^2x+\sqrt{3}\sinx\cosx\)。（1）求函數(shù)\(f(x)\)的最小正周期；（2）求函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([0,\frac{\pi}{2}]\)上的最大值和最小值。2025年陜西鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)高職單招模擬試題答案一、選擇題1.答案：A解析：根據(jù)并集的定義，\(A\cupB\)是由所有屬于\(A\)或者屬于\(B\)的元素組成的集合。已知\(A=\{x|-1<x<2\}\)，\(B=\{x|0<x<3\}\)，所以\(A\cupB=\{x|-1<x<3\}\)，故選A。2.答案：D解析：要使函數(shù)\(y=\sqrt{x-1}\)有意義，則根號下的數(shù)須大于等于\(0\)，即\(x-1\geq0\)，解得\(x\geq1\)，所以函數(shù)的定義域是\([1,+\infty)\)，故選D。3.答案：B解析：因?yàn)閈(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)，已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，所以\(\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-(\frac{3}{5})^2=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}\)，則\(\cos\alpha=\pm\frac{4}{5}\)。又因?yàn)閈(\alpha\)是第二象限角，在第二象限中\(zhòng)(\cos\alpha<0\)，所以\(\cos\alpha=-\frac{4}{5}\)，故選B。4.答案：A解析：對于直線方程\(Ax+By+C=0\)（\(B\neq0\)），令\(x=0\)，可得\(By+C=0\)，解出\(y=-\frac{C}{B}\)，\(y\)的值就是直線在\(y\)軸上的截距。在直線\(2x+3y-6=0\)中，令\(x=0\)，則\(3y-6=0\)，解得\(y=2\)，所以直線在\(y\)軸上的截距是\(2\)，故選A。5.答案：B解析：在等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，若\(m,n,p\inN^+\)，且\(m+p=2n\)，則\(a_m+a_p=2a_n\)。因?yàn)閈(1+3=2\times2\)，所以\(a_1+a_3=2a_2\)，已知\(a_1=2\)，\(a_3=6\)，則\(2a_2=2+6=8\)，解得\(a_2=4\)，故選B。6.答案：B解析：根據(jù)對數(shù)的定義，若\(\log_ax=b\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)），則\(x=a^b\)。已知\(\log_3x=2\)，所以\(x=3^2=9\)，故選B。7.答案：B解析：對于函數(shù)\(y=A\cos(\omegax+\varphi)\)，其最小正周期\(T=\frac{2\pi}{\vert\omega\vert}\)。在函數(shù)\(y=\cos2x\)中，\(\omega=2\)，所以\(T=\frac{2\pi}{2}=\pi\)，故選B。8.答案：A解析：若兩個向量\(\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow=(x_2,y_2)\)平行，則\(x_1y_2-x_2y_1=0\)。已知\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(-2,m)\)，且\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow\)，所以\(1\timesm-(-2)\times2=0\)，即\(m+4=0\)，解得\(m=-4\)，故選A。9.答案：A解析：解不等式\(x^2-3x+2<0\)，可先將其因式分解為\((x-1)(x-2)<0\)。令\((x-1)(x-2)=0\)，則\(x=1\)或\(x=2\)。根據(jù)二次函數(shù)\(y=(x-1)(x-2)=x^2-3x+2\)的圖象性質(zhì)（二次項(xiàng)系數(shù)大于\(0\)，圖象開口向上），可得不等式的解集為\(\{x|1<x<2\}\)，故選A。10.答案：A解析：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)，其中\(zhòng)((a,b)\)為圓心坐標(biāo)，\(r\)為半徑。已知圓心為\((2,-1)\)，半徑\(r=3\)，所以圓的方程是\((x-2)^2+(y+1)^2=9\)，故選A。二、填空題11.答案：\([-2,2]\)解析：因?yàn)檎液瘮?shù)\(\sinx\)的值域是\([-1,1]\)，所以\(2\sinx\)的值域是\([-2,2]\)。12.答案：\(2\)解析：根據(jù)正切函數(shù)的定義\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)，已知\(\tan\alpha=2\)，所以\(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=2\)。13.答案：\((2,0)\)解析：對于拋物線\(y^2=2px\)（\(p>0\)），其焦點(diǎn)坐標(biāo)為\((\frac{p}{2},0)\)。在拋物線\(y^2=8x\)中，\(2p=8\)，則\(p=4\)，所以\(\frac{p}{2}=2\)，焦點(diǎn)坐標(biāo)是\((2,0)\)。14.答案：\(0\)解析：將\(x=1\)代入函數(shù)\(f(x)=x^2+2x-3\)中，可得\(f(1)=1^2+2\times1-3=1+2-3=0\)。15.答案：\(23\)解析：“至少有\(zhòng)(1\)名女生”包含“\(1\)女\(1\)男”和“\(2\)女”兩種情況。-“\(1\)女\(1\)男”的選法有\(zhòng)(C_3^1\timesC_5^1=\frac{3!}{1!(3-1)!}\times\frac{5!}{1!(5-1)!}=3\times5=15\)種。-“\(2\)女”的選法有\(zhòng)(C_3^2=\frac{3!}{2!(3-2)!}=3\)種。所以至少有\(zhòng)(1\)名女生的選法共有\(zhòng)(15+3=18\)種。三、解答題16.解：（1）因?yàn)閈(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\)，已知\(\cos\theta=\frac{1}{3}\)，\(\theta\in(0,\frac{\pi}{2})\)，所以\(\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}=\sqrt{1-(\frac{1}{3})^2}=\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\)。（2）根據(jù)正切函數(shù)的定義\(\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\)，將\(\sin\theta=\frac{2\sqrt{2}}{3}\)，\(\cos\theta=\frac{1}{3}\)代入可得\(\tan\theta=\frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}}=2\sqrt{2}\)。17.解：（1）設(shè)等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的公差為\(d\)。已知\(a_1=1\)，\(S_3=9\)，根據(jù)等差數(shù)列的前\(n\)項(xiàng)和公式\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)，可得\(S_3=3a_1+\frac{3\times(3-1)}{2}d=3\times1+\frac{3\times2}{2}d=3+3d\)。因?yàn)閈(S_3=9\)，所以\(3+3d=9\)，解得\(d=2\)。則數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式為\(a_n=a_1+(n-1)d=1+(n-1)\times2=1+2n-2=2n-1\)。（2）由（1）知\(a_1=1\)，\(d=2\)，根據(jù)等差數(shù)列的前\(n\)項(xiàng)和公式\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)，可得\(S_{10}=10\times1+\frac{10\times(10-1)}{2}\times2=10+10\times9=100\)。18.解：已知直線\(2x-y+1=0\)，將其化為斜截式\(y=2x+1\)，所以其斜率\(k_1=2\)。因?yàn)橹本€\(l\)與直線\(2x-y+1=0\)垂直，根據(jù)兩條垂直直線的斜率之積為\(-1\)，設(shè)直線\(l\)的斜率為\(k_2\)，則\(k_1k_2=-1\)，即\(2k_2=-1\)，解得\(k_2=-\frac{1}{2}\)。又因?yàn)橹本€\(l\)經(jīng)過點(diǎn)\(P(2,-1)\)，根據(jù)點(diǎn)斜式方程\(y-y_0=k(x-x_0)\)（其中\(zhòng)((x_0,y_0)\)為直線上一點(diǎn)，\(k\)為直線斜率），可得直線\(l\)的方程為\(y+1=-\frac{1}{2}(x-2)\)，整理得\(x+2y=0\)。19.解：設(shè)利潤為\(L(x)\)元。已知月產(chǎn)量為\(x\)噸，每噸產(chǎn)品的價格\(P=24200-\frac{1}{5}x^2\)，則收入為\(xP=x(24200-\frac{1}{5}x^2)=24200x-\frac{1}{5}x^3\)。又已知生產(chǎn)\(x\)噸的成本為\(R=50000+200x\)元。根據(jù)利潤\(=\)收入\(-\)成本，可得\(L(x)=24200x-\frac{1}{5}x^3-(50000+200x)=-\frac{1}{5}x^3+24000x-50000\)，\(x>0\)。對\(L(x)\)求導(dǎo)，\(L^\prime(x)=(-\frac{1}{5}x^3+24000x-50000)^\prime=-\frac{3}{5}x^2+24000\)。令\(L^\prime(x)=0\)，即\(-\frac{3}{5}x^2+24000=0\)，移項(xiàng)可得\(\frac{3}{5}x^2=24000\)，\(x^2=40000\)，解得\(x=200\)或\(x=-200\)（舍去，因?yàn)楫a(chǎn)量\(x>0\)）。當(dāng)\(0<x<200\)時，\(L^\prime(x)>0\)，\(L(x)\)單調(diào)遞增；當(dāng)\(x>200\)時，\(L^\prime(x)<0\)，\(L(x)\)單調(diào)遞減。所以當(dāng)\(x=200\)時，\(L(x)\)取得最大值，\(L(200)=-\frac{1}{5}\times200^3+24000\times200-50000=-\frac{1}{5}\times8000000+4800000-50000=-1600000+4800000-50000=3150000\)。答：該廠每月生產(chǎn)\(200\)噸產(chǎn)品才能使利潤達(dá)到最大，最大利潤是\(3150000\)元。20.解：（1）先對函數(shù)\(f(x)=\sin^2x+\sqrt{3}\sinx\cosx\)進(jìn)行化簡。根據(jù)二倍角公式\(\cos2x=1-2\sin^2x\)，可得\(\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}\)；根據(jù)二倍角公式\(\sin2x=2\sinx\cosx\)，可得\(\sinx\cosx=\frac{1}{2}\sin2x\)。則\(f(x)=\frac{1-\cos2x}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x-\frac{1}{2}\cos2x+\frac{1}{2}\)。再根據(jù)兩角差的正弦公式\(\sin(A-B)=