第14講函數(shù)與方程第二章基本初等函數(shù)202X/01/01匯報人：鏈教材夯基固本01單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題1.(人A必一P143例1改)f(x)＝lnx＋2x－6的零點個數(shù)是 (

)A.0 B.1

C.2 D.3BB3.(人A必一P155習(xí)題T2改)(多選)已知函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有如下對應(yīng)值表：x123f(x)136.13615.552－3.92x456f(x)10.88－52.488－232.064在下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)必有零點的區(qū)間為 (

)A.(1，2) B.(2，3)

C.(3，4) D.(4，5)【解析】

由所給的函數(shù)值的表格可以看出，f(2)·f(3)＜0，f(3)·f(4)＜0，f(4)·f(5)＜0，所以函數(shù)f(x)在(2，3)，(3，4)，(4，5)內(nèi)必有零點．BCD4.(人A必一P160復(fù)習(xí)參考題T5(3))已知函數(shù)f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零點分別為a，b，c，則a，b，c的大小關(guān)系為 (

)A.a＞b＞c B.b＞c＞aC.c＞a＞b D.b＞a＞c【解析】

在同一平面直角坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y＝2x，y＝log2x，y＝x3及y＝－x的圖象，如圖所示，由圖象可知b＞c＞a.B【解析】

令g(x)＝f(x)－m＝0，得f(x)＝m，根據(jù)分段函數(shù)f(x)的解析式，作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示．由題可知函數(shù)y＝f(x)的圖象和直線y＝m有3個交點，根據(jù)圖象可得實數(shù)m的取值范圍是(0，1).D1.函數(shù)零點(1)概念：函數(shù)y＝f(x)的零點就是方程f(x)＝0的實數(shù)根，亦即函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸交點的_________，即：方程f(x)＝0有實數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點?函數(shù)y＝f(x)有零點．(2)存在定理：①條件：(ⅰ)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線；(ⅱ)_____________＜0.②結(jié)論：函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個零點，即存在c∈(a，b)，使得__________，這個c也就是方程f(x)＝0的解．橫坐標(biāo)f(a)·f(b)f(c)＝02.二分法(1)方法：對于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷，且滿足f(a)·f(b)＜0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在區(qū)間一分為二，使區(qū)間兩個端點逐步逼近零點，進(jìn)而得到零點近似值的方法叫做二分法．(2)步驟：第一步：確定區(qū)間[a，b]，驗證________________，給定精確度ε；第二步：求區(qū)間[a，b]的中點c；第三步：計算f(c)：①若f(c)＝0，則c就是函數(shù)的零點；②若f(a)·f(c)＜0，則令b＝c(此時零點x0∈(a，c))；③若f(c)·f(b)＜0，則令a＝c(此時零點x0∈(c，b))；④判斷是否達(dá)到精確度ε：即若|a－b|＜ε，則得到零點近似值a(或b)；否則重復(fù)(2)～(4).f(a)·f(b)＜03.常用結(jié)論(1)若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個零點．函數(shù)的零點不是一個“點”，而是方程f(x)＝0的實根．(2)由函數(shù)y＝f(x)(圖象是連續(xù)不斷的)在閉區(qū)間[a，b]上有零點不一定能推出f(a)·f(b)＜0，如圖所示，所以f(a)·f(b)＜0是y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上有零點的充分不必要條件．研題型素養(yǎng)養(yǎng)成02單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題目標(biāo)1零點所在區(qū)間的判定

已知函數(shù)f(x)＝e－x－2x－5的零點位于區(qū)間(m，m＋1)(m∈Z)上，則m＝

(

)A.－2 B.－1

C.0 D.11【解析】

因為函數(shù)f(x)＝e－x－2x－5是連續(xù)減函數(shù)，f(－2)＝e2－1＞0，f(－1)＝e－3＜0，所以f(－2)·f(－1)＜0，函數(shù)f(x)＝e－x－2x－5的零點位于區(qū)間(－2，－1)，即(m，m＋1)上，又m∈Z，所以m＝－2.A確定函數(shù)零點所在區(qū)間的方法：(1)解方程法：當(dāng)對應(yīng)方程f(x)＝0易解時，可先解方程，然后再看求得的根是否落在給定區(qū)間上．(2)利用函數(shù)零點的存在定理：首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)＜0.若有，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點．(3)數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象，判斷圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點．【解析】

由條件知函數(shù)f(x)在(2，＋∞)上單調(diào)遞增，又f(3)＝－1＜0，f(4)＝ln2＞0，根據(jù)零點存在定理知該函數(shù)的零點所在區(qū)間為(3，4). (2024·安慶期末)函數(shù)f(x)＝ln(x－2)＋x－4的零點所在區(qū)間為 (

)A.(2，3) B.(3，4)

C.(4，5) D.(5，6)變式1

B目標(biāo)2零點個數(shù)的判定2【解析】A函數(shù)零點個數(shù)的判斷方法：(1)直接求零點．(2)零點存在定理，應(yīng)注意：滿足條件的零點可能不唯一；不滿足條件時，也可能有零點．(3)作出兩函數(shù)的圖象，觀察其交點即得零點個數(shù)．【解析】

作出y1＝|2x－1|，y2＝x2－4|x|＋2的大致圖象如圖所示，兩個函數(shù)的零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為圖象與y＝a的公共點的個數(shù)．由圖可知，當(dāng)g(x)有2個零點時，f(x)無零點或只有1個零點；當(dāng)g(x)有3個零點時，f(x)只有1個零點；當(dāng)f(x)有2個零點時，g(x)有4個零點． (2024·湛江二模)已知函數(shù)f(x)＝|2x－1|－a，g(x)＝x2－4|x|＋2－a，則

(

)A.當(dāng)g(x)有2個零點時，f(x)只有1個零點

B.當(dāng)g(x)有3個零點時，f(x)有2個零點C.當(dāng)f(x)有2個零點時，g(x)有2個零點

D.當(dāng)f(x)有2個零點時，g(x)有4個零點變式2

D目標(biāo)3根據(jù)零點情況確定參數(shù)3－1【解析】

當(dāng)x≥1時，由f(x)－2＝lnx－1＝0，得x＝e，此時函數(shù)有一個零點，所以當(dāng)x＜1時，y＝f(x)－2＝x2＋4x＋a－2有且僅有一個零點，即a＝－x2－4x＋2在(－∞，1)上有唯一解，即y＝－x2－4x＋2(x＜1)的圖象與直線y＝a有且僅有一個交點．作出y＝－x2－4x＋2(x＜1)的圖象如圖所示，由圖象可知：當(dāng)a≤－3或a＝6時，y＝－x2－4x＋2(x＜1)的圖象與直線y＝a有且僅有一個交點，所以實數(shù)a的取值范圍為(－∞，－3]∪{6}．【答案】D變式3-1

【解析】【答案】A3－2【解析】【答案】B【解析】變式3-2

B已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)取值范圍常用的方法：(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)取值范圍；(2)值域法：將問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，然后利用數(shù)形結(jié)合求解．1.函數(shù)f(x)＝lnx與函數(shù)g(x)＝x2－4x＋4的圖象的交點個數(shù)為 (

)A.3 B.2

C.1 D.0【解析】

由題知g(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)f(x)＝lnx與g(x)＝(x－2)2的圖象如圖所示．由圖可知兩個函數(shù)的圖象有2個交點．B【解析】【答案】D3.(2024·鎮(zhèn)江模擬)若函數(shù)f(x)＝|ex－1|－b只有一個零點，則實數(shù)b的取值集合是___________________．【解析】

函數(shù)f(x)＝|ex－1|－b只有一個零點，即y＝|ex－1|的圖象與直線y＝b只有1個交點．作出y＝|ex－1|的大致圖象與直線y＝b如圖所示，由圖可知，實數(shù)b的取值集合是{0}∪[1，＋∞).{0}∪[1，＋∞)【解析】

若m＜－2，則f(x)在(－∞，m]上無零點，在(m，＋∞)上有1個零點x＝4，不符合題意．若－2≤m＜0，則f(x)在(－∞，m]上有1個零點x＝－2，在(m，＋∞)上有1個零點x＝4，符合題意．若0≤m＜4，則f(x)在(－∞，m]上有2個零點x＝－2，x＝0，在(m，＋∞)上有1個零點x＝4，不符合題意．若m≥4，則f(x)在(－∞，m]上有2個零點x＝－2，x＝0，在(m，＋∞)上無零點，符合題意．綜上所述，－2≤m＜0或m≥4，即實數(shù)m的取值范圍為[－2，0)∪[4，＋∞).[－2，0)∪[4，＋∞)配套精練03單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題A組夯基精練一、

單項選擇題1.已知方程3x＋2x－10＝0的解在(k，k＋1)(k∈Z)內(nèi)，則k＝ (

)A.0

B.1

C.2

D.3【解析】

設(shè)f(x)＝3x＋2x－10，則f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，故f(x)在定義域內(nèi)至多有一個零點．因為f(1)＝3＋2－10＝－5＜0，f(2)＝9＋4－10＝3＞0，所以f(x)僅在(1，2)內(nèi)存在零點，即方程3x＋2x－10＝0的解在(1，2)內(nèi)，故k＝1.B2.(2024·北京西城模擬)函數(shù)f(x)＝ex|lnx|－1的零點個數(shù)是 (

)A.0

B.1

C.2

D.3【解析】

由f(x)＝0可得|lnx|＝e－x，作出函數(shù)y＝|lnx|與y＝e－x的圖象如圖所示．由圖可知，函數(shù)y＝|lnx|與y＝e－x的圖象的交點個數(shù)為2，故函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為2.C【解析】A【解析】

作出函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示．將原問題轉(zhuǎn)化為直線y＝ax＋2(過定點(0，2))與函數(shù)y＝f(x)的圖象交點的個數(shù)．由圖可知，當(dāng)a＜0時，直線y＝ax＋2與函數(shù)y＝f(x)的圖象沒有交點；當(dāng)a＝0時，直線y＝2與函數(shù)y＝f(x)的圖象有1個交點；當(dāng)a＞0時，直線y＝ax＋2與函數(shù)y＝f(x)的圖象有3個交點．所以直線y＝ax＋2與函數(shù)y＝f(x)的圖象不可能有2個交點．C二、

多項選擇題5.已知函數(shù)f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有如下對應(yīng)值表：【解析】

因為f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且f(－1)f(1)＜0，f(3)f(5)＜0，f(5)f(7)＜0，所以一定包含f(x)的零點的區(qū)間是(－1，1)，(3，5)，(5，7).則一定包含f(x)的零點的區(qū)間是 (

)A.(－1，1)

B.(1，3)

C.(3，5)

D.(5，7)x－11357f(x)－1172－38ACD【解析】BCD【解析】【答案】ACD

作出f(x)的圖象如圖所示，方程f(x)－k＝0根的問題可以轉(zhuǎn)換成y＝k和y＝f(x)圖象的交點問題．對于A，由圖象可知，當(dāng)k＝1時，方程f(x)－k＝0有3個不同的實數(shù)根，故A正確；對于B，當(dāng)k＜0時，結(jié)合圖象可知，方程無解，故B錯誤；對于C，由圖象可知y＝k和y＝f(x)的圖象有3個交點時，k的取值范圍為(0，1]，故C正確；對于D，設(shè)x1＜x2＜x3，結(jié)合圖象可知x1＋x2＝－2，x3≥1，所以x1＋x2＋x3≥－1，故D正確．三、

填空題8.函數(shù)f(x)＝sinx－log2x的零點個數(shù)為____．【解析】

注意到log22＝1，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出y＝sinx與y＝log2x的圖象如圖所示，易知零點個數(shù)為1.19.(2024·濰坊二模)請寫出同時滿足下面三個條件的一個函數(shù)解析式f(x)＝_____________________．①f(1－x)＝f(1＋x)；②f(x)至少有兩個零點；③f(x)有最小值．【解析】

取f(x)＝x2－2x，其對稱軸為x＝1，滿足①f(1－x)＝f(1＋x)；令f(x)＝x2－2x＝0，解得x＝0或x＝2，滿足②f(x)至少有兩個零點；f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，當(dāng)x＝1時，f(x)min＝－1，滿足③f(x)有最小值．x2－2x(答案不唯一)【解析】

當(dāng)m＞0時，可知f(x)有一個零點x＝－m；當(dāng)m＝0時，f(x)有一個零點x＝0；當(dāng)m＜0時，可知f(x)有一個零點x＝0.綜上，函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為1.1【解答】

如圖(1)所示，當(dāng)m＞0時，若要滿足題意需2m＞m2，得m∈(0，2)；當(dāng)m＝0時，不符合題意；如圖(2)所示，當(dāng)m＜0時，若要滿足題意需m2＞－2m，得m＜－2.綜上，實數(shù)m的取值范圍是(0，2)∪(－∞，－2).(0，2)∪(－∞，－2)四、

解答題11.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時，f(x)＝x2－4x＋1.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；【解答】11.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時，f(x)＝x2－4x＋1.(2)討論函數(shù)g(x)＝f(x)－mx零點的個數(shù)．【解答】當(dāng)m＝－2時，函數(shù)g(x)在(0，＋∞)上有1個零點；當(dāng)m＞－2時，函數(shù)g(x)在(0，＋∞)