2025年秋季高三開學(xué)摸底考試模擬卷（新高考通用）數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．考試范圍：高考全部?jī)?nèi)容第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，則等于（

）A． B． C． D．3．若，則（）A． B． C． D．4．，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．5.由倫敦著名建筑事務(wù)所SteynStudio設(shè)計(jì)的南非雙曲線大教堂驚艷世界，該建筑是數(shù)學(xué)與建筑完美結(jié)合造就的藝術(shù)品，若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線下支的一部分，離心率為，則該雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．6．定義在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．7．已知棱長(zhǎng)為2的正方體的幾何中心為，平面與以為球心的球相切，若截該正方體所得多邊形始終為三角形，則球表面積的取值范圍為（）A． B． C． D．8．若曲線與有公共的切線，則的最大值為（

）A．-2 B．2 C．-1 D．1二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．防溺水安全教育不僅是為了防止學(xué)生在游泳時(shí)發(fā)生意外，更是為了提高學(xué)生的安全意識(shí)和自我保護(hù)能力，為此某校組織了“防溺水安全知識(shí)”答題比賽，并對(duì)參賽的200名學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中分組區(qū)間分別為，則（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）（

）A．這200名參賽學(xué)生的成績(jī)的上四分位數(shù)為82.5分B．這200名參賽學(xué)生的成績(jī)的平均值為76.5分C．這200名參賽學(xué)生的成績(jī)不低于80分的頻率為0.03D．若用分層抽樣的方法從參賽學(xué)生中抽取一個(gè)容量為40的樣本，則成績(jī)?cè)谥g的應(yīng)抽取20人10．如圖是函數(shù)的部分圖象，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．的圖象關(guān)于中心對(duì)稱C．在上單調(diào)遞增D．的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后為奇函數(shù)11．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，A，B是拋物線上兩動(dòng)點(diǎn)，且的最小值為1，M是線段AB的中點(diǎn)，是平面內(nèi)一定點(diǎn)，則（

）A．B．若，則M到x軸距離為4C．若，則D．的最小值為4第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分，其中14題第一空2分，第二空3分．12．已知向量，，若，則．13．北斗七星是夜空中的七顆亮星，它們組成的圖形象我國古代舀酒的斗，故命名為北斗七星.北斗七星不僅是天上的星象，也是古人判斷季節(jié)的依據(jù)之一.如圖，用點(diǎn)，，，，，，表示某季節(jié)的北斗七星，其中，，，看作共線，其他任何三點(diǎn)均不共線.若過這七個(gè)點(diǎn)中任意三點(diǎn)作三角形，則所作的不同三角形的個(gè)數(shù)為.14．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，，則的值為，的取值范圍為.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知正項(xiàng)等差數(shù)列的公差為2，的前n項(xiàng)和為，且，，成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前10項(xiàng)和．16．（15分）某公司是從事無人機(jī)特種裝備的研發(fā)、制造與技術(shù)服務(wù)的綜合型科技創(chuàng)新企業(yè)．該公司生產(chǎn)的甲、乙兩種無人機(jī)性能都很好，但對(duì)操控人員的水平要求較高．已知在單位時(shí)間內(nèi)，甲、乙兩種無人機(jī)操作成功的概率分別為和，假設(shè)每次操作成功與否相互獨(dú)立．(1)該公司分別收集了甲種無人機(jī)在5個(gè)不同地點(diǎn)測(cè)試的兩項(xiàng)指標(biāo)，數(shù)據(jù)如下表所示：地點(diǎn)1地點(diǎn)2地點(diǎn)3地點(diǎn)4地點(diǎn)52456834445試求與之間的相關(guān)系數(shù)，并利用說明與的線性相關(guān)程度．（若，則線性相關(guān)程度較高，否則線性相關(guān)程度不高）(2)操作員連續(xù)進(jìn)行兩次無人機(jī)的操作，在初次操作時(shí)，隨機(jī)選擇這兩種無人機(jī)中的一種，若初次操作成功，則第二次繼續(xù)使用該種無人機(jī)，若初次操作不成功，則第二次使用另一種無人機(jī)進(jìn)行操作，求操作成功的次數(shù)的數(shù)學(xué)期望．附．17．（15分）已知四棱錐，平面，底面是矩形，，，，分別是與的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離．18．（17分）已知點(diǎn)是圓：上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且滿足．(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)已知，設(shè)過點(diǎn)的一條直線與交于，兩點(diǎn)，且與線段交于點(diǎn)．（?。┳C明：到直線和的距離相等；（ⅱ）若的面積等于的面積，求的坐標(biāo)．19．（17分）已知函數(shù)(1)若為偶函數(shù)，求的值；(2)若討論函數(shù)在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(3)當(dāng)時(shí)，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍.

2025年秋季高三開學(xué)摸底考試模擬卷（新高考通用）數(shù)學(xué)·答案及評(píng)分參考一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．12345678CCAABDAD二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．91011ABDACACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分，其中14題第一空2分，第二空3分．12．13．3114．2，四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）【答案】(1)；(2)【分析】（1）由題意先求首項(xiàng)，進(jìn)而得；（2）由（1）先求，進(jìn)而得，最后利用分組求和即可.【詳解】（1）由題意有，又因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，(3分)即，（5分）化簡(jiǎn)整理得，解得，（7分）所以.(8分)（2）由（1）有，所以，（10分）所以.（13分）16．（15分）【答案】(1)，線性相關(guān)程度較高；(2)【分析】（1）根據(jù)相關(guān)系數(shù)公式，求出相關(guān)系數(shù)，再根據(jù)系數(shù)大小判斷相關(guān)程度高不高.（2）根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式，求出分布列，求出期望.【詳解】（1）由題可知，，，則相關(guān)系數(shù)，（5分）因?yàn)椋耘c的線性相關(guān)程度較高．（7分）（2）設(shè)操作成功的次數(shù)為，則的所有可能取值為0，1，2．（8分），，，所以．（15分）17．（15分）【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)【分析】（1）要證明線面平行，需在平面內(nèi)找到一條線段與平行即可.（2）首先建立空間直角坐標(biāo)系，然后將點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來，然后求出平面的法向量和直線的方向向量，進(jìn)而可根據(jù)向量夾角的余弦公式即可求得直線與平面的正弦值.（3）根據(jù)（2）中求得的平面的法向量，根據(jù)點(diǎn)到平面的距離公式即可求得結(jié)果.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接.則.而底面為矩形，是的中點(diǎn)，所以.所以，所以四邊形為平行四邊形，（3分）所以，又平面，而不在平面內(nèi)，所以平面.（5分）（2）因?yàn)槠矫?，四邊形為矩形，所以以為原點(diǎn)，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.則，.所以.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則.所以平面的一個(gè)法向量為，（9分）所以.所以直線與平面所成角的正弦值為.（12分）（3）因?yàn)椋矫娴囊粋€(gè)法向量為.所以點(diǎn)到平面的距離為：.（15分）18．（17分）【答案】(1)；(2)（i）證明見解析；（ii）或．【分析】（1）根題意由向量的運(yùn)算得，即滿足橢圓的定義，即可求出，進(jìn)而得橢圓的方程；（2）（ⅰ）設(shè)的方程為，與橢圓方程聯(lián)立消元得，由韋達(dá)定理得，若到直線和的距離相等，則直線平分，即直線與的斜率之和為0，代入韋達(dá)定理驗(yàn)證即可；（ⅱ）由（?。┲本€平分，即，由的面積等于的面積，得，進(jìn)而得，即，得在線段的垂直平分線上，由的垂直平分線為，代入橢圓方程即可求解.【詳解】（1）根據(jù)題意有，，即，則，則的軌跡是橢圓，，，所以，．所以的方程為．（4分）（2）（ⅰ）因?yàn)闄E圓的長(zhǎng)軸右端點(diǎn)橫坐標(biāo)為，所以的斜率一定存在（否則與橢圓沒有交點(diǎn)）設(shè)的方程為，所以，其中．所以，（7分）設(shè)，．則，，（8分）若到直線和的距離相等，則直線平分，且易知軸，所以只需滿足直線與的斜率之和為0．設(shè)，斜率分別為，，則：，（10分）代入，．有，故命題得證．（12分）（ⅱ）由（?。┲本€平分，即，因?yàn)榈拿娣e等于的面積，故，即，故．故，，在線段的垂直平分線上．（15分）易知線段的垂直平分線為，與的方程聯(lián)立有，故的坐標(biāo)為或．（17分）19．（17分）【答案】(1)；(2)2；(3).【分析】（1）由偶函數(shù)的性質(zhì)得到，結(jié)合已知即可得；（2）由題設(shè)，討論的范圍，結(jié)合導(dǎo)數(shù)、零點(diǎn)存在性定理研究的零點(diǎn)分布情況，即可得；（3）討論當(dāng)、及、，結(jié)合，并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，由不等式恒成立確定參數(shù)范圍即可.【詳解】（1）由，則，所以恒成立，又，則.(3分)（2）由題設(shè)，則，（4分）當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增，，無零點(diǎn)；（5分）令，則，當(dāng)時(shí)，