濮陽市初中數(shù)學(xué)試卷分類匯編整式乘法與因式分解易錯(cuò)壓軸解答題(附答案)一、整式乘法與因式分解易錯(cuò)壓軸解答題1．如圖1是一個(gè)長(zhǎng)為，寬為

的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長(zhǎng)方形，然后用四塊小長(zhǎng)方形拼成的一個(gè)“回形”正方形（如圖2）．

（1）圖2中的陰影部分的面積為

；（2）觀察圖2請(qǐng)你寫出，，之間的等量關(guān)系是________；（3）根據(jù)（2）中的結(jié)論，若，，則

________；（4）實(shí)際上我們可以用圖形的面積表示許多恒等式，下面請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)幾何圖形來表示恒等式．在圖形上把每一部分的面積標(biāo)寫清楚．2．如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“奇巧數(shù)”，如，···，因此都是奇巧數(shù).（1）是奇巧數(shù)嗎？為什么？（2）奇巧數(shù)是的倍數(shù)嗎？為什么？3．如圖，將一張大長(zhǎng)方形紙板按圖中虛線裁剪成9塊，其中有2塊是邊長(zhǎng)為a厘米的大正方形，2塊是邊長(zhǎng)都為b厘米的小正方形，5塊是長(zhǎng)為a厘米，寬為b厘米的相同的小長(zhǎng)方形，且a＞b．（1）觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)代數(shù)式2a2+5ab+2b2可以因式分解為________.（2）若圖中陰影部分的面積為242平方厘米，大長(zhǎng)方形紙板的周長(zhǎng)為78厘米，求圖中空白部分的面積.4．閱讀材料：把形如的二次三項(xiàng)式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆寫，即.例如：是的一種形式的配方，是的另一種形式的配方請(qǐng)根據(jù)閱讀材料解決下列問題：（1）比照上面的例子，寫出的兩種不同形式的配方；（2）已知，求的值；（3）已知，求的值.5．如圖1是一個(gè)長(zhǎng)為2a、寬為2b的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀剪成四塊完全一樣的小長(zhǎng)方形，然后按圖2的形狀拼成一個(gè)正方形。（1）圖2中的陰影部分的正方形的邊長(zhǎng)是________。（2）請(qǐng)用兩種不同的方法表示圖2中陰影部分的面積，并寫出下列三個(gè)代數(shù)式：(a+b)2，(a-b)2，ab之間的等量關(guān)系；（3）利用(2)中的結(jié)論計(jì)算：x-y=2，xy=，求x+y的值；（4）根據(jù)(2)中的結(jié)論，直接寫出m+和m-之間的關(guān)系；若m2-4m+1=0，分別求出m+和(m-)2的值。6．觀察下列一組等式，然后解答后面的問題，，，（1）觀察以上規(guī)律，請(qǐng)寫出第個(gè)等式：________為正整數(shù)）．（2）利用上面的規(guī)律，計(jì)算：（3）請(qǐng)利用上面的規(guī)律，比較與的大?。?．?dāng)?shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的思想方法，借助圖的直觀性，可以幫助理解數(shù)學(xué)問題．（1）請(qǐng)寫出圖1、圖2、圖3分別能解釋的乘法公式．（2）用4個(gè)全等的長(zhǎng)和寬分別為a、b的長(zhǎng)方形拼擺成一個(gè)如圖4的正方形，請(qǐng)你寫出這三個(gè)代數(shù)式（a+b）2、（a﹣b）2、ab之間的等量關(guān)系．（3）根據(jù)（2）中你探索發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，完成下列問題：①當(dāng)a+b＝5，ab＝﹣6時(shí)，則a﹣b的值為________．②設(shè)，B＝x﹣2y﹣3，計(jì)算：（A+B）2﹣（A﹣B）2的結(jié)果________．8．如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“神秘?cái)?shù)”．如：4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20都是“神秘?cái)?shù)”（1）28和2012這兩個(gè)數(shù)是“神秘?cái)?shù)”嗎？為什么？（2）設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為2k+2和2k(其中k取非負(fù)整數(shù))，由這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的神秘?cái)?shù)是4的倍數(shù)嗎？為什么？（3）兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差(k取正數(shù))是神秘?cái)?shù)嗎？為什么？9．一天，小明和小紅玩紙片拼圖游戲．發(fā)現(xiàn)利用圖①中的三種材料各若干可以拼出一些圖形來解釋某些等式，比如圖②可以解釋為：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）圖③可以解釋為等式：________．（2）圖④中陰影部分的面積為________．觀察圖④請(qǐng)你寫出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之間的等量關(guān)系是________．（3）如圖⑤，小明利用7個(gè)長(zhǎng)為b，寬為a的長(zhǎng)方形拼成如圖所示的大長(zhǎng)方形；①若AB＝4，若長(zhǎng)方形AGMB的面積與長(zhǎng)方形EDHN的面積的差為S，試計(jì)算S的值（用含a，b的代數(shù)式表示）②若AB為任意值，且①中的S的值為定值，求a與b的關(guān)系．10．我國(guó)古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”就是一大重要研究成果．如圖所示的三角形數(shù)表，稱“楊輝三角”．具體法則：兩側(cè)的數(shù)都是1，其余每個(gè)數(shù)均為其上方左右兩數(shù)之和，它給出了（a+b）n（n為正整數(shù)）的展開式（按a的次數(shù)由大到小的順序排列）的系數(shù)規(guī)律：（1）根據(jù)上面的規(guī)律，寫出（a+b）5的展開式；（2）利用上面的規(guī)律計(jì)算：（﹣3）4+4×（﹣3）3×2+6×（﹣3）2×22+4×（﹣3）×23+24．11．

（1）填空：________；

________；

________；（2）猜想：（a-b）（an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1）=________（其中n為正整數(shù)，且n≥2）；（3）利用（2）猜想的結(jié)論計(jì)算：①29+28+27+…+22+2+1②210-29+28-…-23+22-2．12．著名的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉曾指出：可以表示為四個(gè)整數(shù)平方之和的甲、乙兩數(shù)相乘，其乘積仍然可以表示為四個(gè)整數(shù)平方之和，即

，這就是著名的歐拉恒等式，有人稱這樣的數(shù)為“不變心的數(shù)”．實(shí)際上，上述結(jié)論可概括為：可以表示為兩個(gè)整數(shù)平方之和的甲、乙兩數(shù)相乘，其乘積仍然可以表示為兩個(gè)整數(shù)平方之和．【閱讀思考】在數(shù)學(xué)思想中，有種解題技巧稱之為“無中生有”．例如問題：將代數(shù)式改成兩個(gè)平方之差的形式．解：原式﹒（1）【動(dòng)手一試】試將改成兩個(gè)整數(shù)平方之和的形式．（12+52）（22+72）=________；（2）【解決問題】請(qǐng)你靈活運(yùn)用利用上述思想來解決“不變心的數(shù)”問題：將代數(shù)式改成兩個(gè)整數(shù)平方之和的形式（其中a、b、c、d均為整數(shù)），并給出詳細(xì)的推導(dǎo)過程﹒【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除一、整式乘法與因式分解易錯(cuò)壓軸解答題1．（1）(b-a)2（2）（3）±5（4）解：符合等式(a+2b)(2a+b)=2a2+5ab+2b2的圖形如圖所示，【解析】【解答】解：（1）陰影部分為一個(gè)正方形，其邊長(zhǎng)為b-a解析：（1）（2）（3）±5（4）解：符合等式的圖形如圖所示，【解析】【解答】解：（1）陰影部分為一個(gè)正方形，其邊長(zhǎng)為b-a，∴其面積為：，故答案為：；（2）大正方形面積為：小正方形面積為：=，四周四個(gè)長(zhǎng)方形的面積為：，∴，故答案為：；（3）由（2）知，，∴，∴=，故答案為：±5；【分析】（1）表示出陰影部分正方形的邊長(zhǎng)，然后根據(jù)正方形的面積公式列式即可；（2）根據(jù)大正方形的面積減去小正方形的面積等于四個(gè)小長(zhǎng)方形的面積列式即可；（3）將（x-y）2變形為（x+y）2—4xy，再代入求值即可；（4）由已知的恒等式，畫出相應(yīng)的圖形，如圖所示．2．（1）解：36是奇巧數(shù)，理由：；50不是奇巧數(shù)，理由：找不到連續(xù)的兩個(gè)偶數(shù)平方差為50（2）解：設(shè)兩個(gè)連續(xù)的偶數(shù)為n+2、n，則，奇巧數(shù)是4的倍數(shù).【解析】【分析】解析：（1）解：36是奇巧數(shù)，理由：；50不是奇巧數(shù)，理由：找不到連續(xù)的兩個(gè)偶數(shù)平方差為50（2）解：設(shè)兩個(gè)連續(xù)的偶數(shù)為n+2、n，則，奇巧數(shù)是的倍數(shù).【解析】【分析】（1）根據(jù)定義是兩個(gè)現(xiàn)需偶數(shù)的平方差判斷即可.（2）將進(jìn)行運(yùn)算、化簡(jiǎn)，便可發(fā)現(xiàn)是4的倍數(shù).3．（1）（a+2b）（2a+b）（2）解：由已知得：

{2(a2+b2)=2426a+6b=78

化簡(jiǎn)得

②平方的：化簡(jiǎn)得：將①代入③得到：ab=24∴空白部分的面積為解析：（1）（a+2b）（2a+b）（2）解：由已知得：

化簡(jiǎn)得

②平方的：化簡(jiǎn)得：將①代入③得到：ab=24∴空白部分的面積為5ab=120（）【解析】【解答】（1）2a2+5ab+2b2=（a+2b）（2a+b）解：由已知得：

化簡(jiǎn)得

∴

∴ab=24∴空白部分的面積為5ab=120（平分厘米）【分析】（1）利用等面積法即可得到答案。圖中大長(zhǎng)方形的面積可以用面積公式S=長(zhǎng)×寬=（a+2b）（2a+b），也可以看成是2塊是邊長(zhǎng)為a厘米的大正方形，2塊是邊長(zhǎng)都為b厘米的小正方形，5塊是長(zhǎng)為a厘米，寬為b厘米的相同的小長(zhǎng)方形組成，即S=2a2+5ab+2b2，所以2a2+5ab+2b2=（a+2b）（2a+b）；（2）圖中陰影部分的面積為

、大長(zhǎng)方形紙板的周長(zhǎng)為、根據(jù)題意聯(lián)立方程解得ab，即可得到空白部分的面積6ab.4．（1）解：；；（2）解：∵，∴(x-2)2+(y+3)2=0，∴，解得，∴；（3）解：==∵，∴，解析：（1）解：；；（2）解：∵，∴，∴，解得，∴；（3）解：==∵，∴，∴，解得，∴.【解析】【分析】（1）直接利用完全平方公式并參照題干即可得出答案；（2）先對(duì)已知進(jìn)行變形，然后利用平方的非負(fù)性求出x,y的值，再代入求值即可；（3）首先將原式利用完全平方公式分解因式，然后利用平方的非負(fù)性求出a,b,c的值，進(jìn)而可得出答案.5．（1）a-b（2）解：陰影部分面積可以表示為：(a-b)2和(a+b)2-4ab，三個(gè)式子(a+b)2，(a-b)2，ab之間的等量關(guān)系：(a-b)2=(a+b)2-4ab.（3）解：解析：（1）a-b（2）解：陰影部分面積可以表示為：(a-b)2和(a+b)2-4ab，三個(gè)式子(a+b)2，(a-b)2，ab之間的等量關(guān)系：(a-b)2=(a+b)2-4ab.（3）解：由(2)可知，(x+y)2=(x-y)2+4xy=4+5=9，∴x+y=±3.（4）解：根據(jù)(2)中的結(jié)論，可得(m-)2=(m+)2-4∴m2-4m+1=0，且m不能為0，∴m-4+=0，∴m+=4，∴（m-)2=(m+)2-4=12【解析】【解答】解：（1）由題意可知：圖2中的陰影部分的正方形的邊長(zhǎng)是：a-b；【分析】（1）根據(jù)圖形可知，陰影正方形的邊長(zhǎng)為小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬的差，寫出即可；（2）①從整體考慮，用大正方形的面積減去四個(gè)小矩形的面積就是陰影部分的面積；②從局部考慮，根據(jù)正方形的面積公式，小正方形的邊長(zhǎng)的平方就是陰影部分的面積；根據(jù)用兩個(gè)不同的式子表示同一個(gè)圖形的面積，則這兩個(gè)式子應(yīng)該相等即可得出(a+b)2，(a-b)2，ab之間的等量關(guān)系：(a-b)2=(a+b)2-4ab.；（3）根據(jù)（2）所得的等量關(guān)系，可得(x+y)2=(x-y)2+4xy，把已知條件代入進(jìn)行計(jì)算即可求解；（4）根據(jù)（2）所得的等量關(guān)系，可得(m-)2=(m+)2-4，然后根據(jù)等式的性質(zhì)將m2-4m+1=0，變形為m-4+=0，即m+=4，進(jìn)而根據(jù)(m-)2=(m+)2-4，整體代入即可求出答案.6．（1）(n+1+n)(n+1-n)=1（2）解：原式（3）解：，，119+18<118+17，．【解析】【解答】解：（1）根據(jù)題意得：第n個(gè)等式為(n解析：（1）（2）解：原式（3）解：，，，．【解析】【解答】解：（1）根據(jù)題意得：第個(gè)等式為；故答案為：【分析】（1）根據(jù)已知等式，可得第個(gè)等式為；（2）利用分母有理化先化簡(jiǎn)，然后根據(jù)二次根式的加減計(jì)算即得；（3）先求出

的大小，從而得出結(jié)論.

7．（1）圖1：（a+b）2＝a2+2ab+b2；圖2：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；圖3：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，（2）圖4：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab（3解析：（1）圖1：（a+b）2＝a2+2ab+b2；圖2：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；圖3：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，（2）圖4：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab（3）±7；∵，B＝x﹣2y﹣3，∴（A+B）2﹣（A﹣B）2＝4×A×B＝4××（x﹣2y﹣3）＝（x+2y﹣3）（x﹣2y﹣3）＝[（x﹣3）+2y][（x﹣3）﹣2y]＝x2﹣6x+9﹣4y2．【解析】【解答】（3）①由（2）知：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，∵a+b＝5，ab＝﹣6，∴52﹣（a﹣b）2＝4×（﹣6），（a﹣b）2＝25+24＝49，∴a﹣b＝±7，故答案為：±7；【分析】（1）根據(jù)圖形面積直接得出即可；（2）用兩種方法表示陰影部分的面積可得結(jié)論；（3）①根據(jù)（2）中的等量關(guān)系代入計(jì)算可得結(jié)論；②同理根據(jù)（2）中的公式代入可得結(jié)論．8．（1）解：設(shè)設(shè)這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)分別為2m，2m+2，則根據(jù)題意得：(2m+2)2-(2m)2=28，8m+4=28，m=3，∴2m=6，2m+2=8，即82-62=28，∴28是“神解析：（1）解：設(shè)設(shè)這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)分別為2m，2m+2，則根據(jù)題意得：(2m+2)2-(2m)2=28，8m+4=28，m=3，∴2m=6，2m+2=8，即82-62=28，∴28是“神秘?cái)?shù)”.(2m+2)2-(2m)2=2012，8m+4=2012，m=501，∴2m=1002∴2012是“神秘?cái)?shù)”.（2）解：是；理由如下：∵(2n)2-(2n-2)2=4(2n-1)，∴由這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的神秘?cái)?shù)是4的倍數(shù).（3）解：由（2）可知“神秘?cái)?shù)”可表示為4(2n-1)，∵2n-1是奇數(shù)，∴4(2n-1)是4的倍數(shù)，但一定不是8的倍數(shù)，設(shè)兩個(gè)連續(xù)的奇數(shù)為2n-1和2n+1，則(2n+1)2-(2n-1)2=8n.∴連續(xù)兩個(gè)奇數(shù)的平方差是8的倍數(shù)，∴連續(xù)兩個(gè)奇數(shù)的平方差不是“神秘?cái)?shù)”.【解析】【分析】（1）根據(jù)“神秘?cái)?shù)”的定義，設(shè)這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)分別為2m，2m+2，列方程求出m的值即可得答案；（2）根據(jù)“神秘?cái)?shù)”的定義可知(2n)2-(2n-2)2=4(2n-1)，即可得答案；（3）由（2）可知“神秘?cái)?shù)”是4的倍數(shù)，但一定不是8的倍數(shù)，而連續(xù)兩個(gè)奇數(shù)的平方差一定是8的倍數(shù)，即可得答案.9．（1）（2a+b）（2b+a）＝2a2+5ab+2b2（2）（a﹣b）2；（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab（3）解：①∵AB＝4，長(zhǎng)方形AGMB的面積與長(zhǎng)方形EDHN的面積的差為S，解析：（1）（2a+b）（2b+a）＝2a2+5ab+2b2（2）（a﹣b）2；（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab（3）解：①∵AB＝4，長(zhǎng)方形AGMB的面積與長(zhǎng)方形EDHN的面積的差為S，∴大長(zhǎng)方形的面積＝（3a+b）（4+b）＝7ab+4×3a+4×3a﹣S，∴S＝4ab﹣4b+12a﹣b2；②設(shè)AB＝m，∴大長(zhǎng)方形的面積＝（3a+b）（m+b）＝7ab+3ma+3ma﹣S，∴S＝4ab﹣b2+m（3a﹣b），∵若AB為任意值，且①中的S的值為定值，∴3a＝b.【解析】【解答】解：（1）根據(jù)圖可知長(zhǎng)方形面積有（2a+b）（2b+a）＝2a2+5ab+2b2；故答案為（2a+b）（2b+a）＝2a2+5ab+2b2；（2）④圖中陰影部分面積是（a﹣b）2，根據(jù)陰影部分面積可以是大正方形面積減去四個(gè)長(zhǎng)方形面積，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，故答案為（a﹣b）2，（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；【分析】（1）根據(jù)圖形面積可知（2a+b）（2b+a）=2a2+5ab+2b2；（2）根據(jù)陰影部分面積可以是大正方形面積減去四個(gè)長(zhǎng)方形面積，得到（a-b）2=（a+b）2-4ab；（3）①大長(zhǎng)方形的面積=（3a+b）（4+b）=7ab+4×3a+4×3a-S；②設(shè)AB=m，大長(zhǎng)方形的面積=（3a+b）（m+b）=7ab+3ma+3ma-S，3a-b=0；10．（1）解：根據(jù)規(guī)律可得：（a+b）5首項(xiàng)a的次數(shù)是5次方，b為0次方，后續(xù)每項(xiàng)a的次數(shù)減少1而b的次數(shù)增加1，每項(xiàng)的系數(shù)根據(jù)規(guī)律則依次為為1，1+4=5，4+6=10，6+4=10，4+1=5，1解析：（1）解：根據(jù)規(guī)律可得：（a+b）5首項(xiàng)a的次數(shù)是5次方，b為0次方，后續(xù)每項(xiàng)a的次數(shù)減少1而b的次數(shù)增加1，每項(xiàng)的系數(shù)根據(jù)規(guī)律則依次為為1，1+4=5，4+6=10，6+4=10，4+1=5，1，根據(jù)以上規(guī)律，則（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；（2）解：由題知：，對(duì)比（﹣3）4+4×（﹣3）3×2+6×（﹣3）2×22+4×（﹣3）×23+24可知a=-3，b=2，則原式＝（﹣3+2）4＝1.【解析】【分析】（1）根據(jù)上面的規(guī)律，按a的次數(shù)由大到小的順序判斷出各是多少，寫出（a+b）5的展開式