【備考期末】樂山市中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)和幾何綜合專題一、二次函數(shù)壓軸題1．若一個函數(shù)當(dāng)自變量在不同范圍內(nèi)取值時，函數(shù)表達(dá)式不同，我們稱這樣的函數(shù)為分段函數(shù)．下面我們參照學(xué)習(xí)函數(shù)的過程與方法，探究分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)．列表：描點(diǎn)：在平面直角坐標(biāo)系中，以自變量x的取值為橫坐標(biāo)，以相應(yīng)的函數(shù)值y為縱坐標(biāo)，描出相應(yīng)的點(diǎn)，如圖所示．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，觀察描出的這些點(diǎn)的分布，作出函數(shù)圖象；研究函數(shù)并結(jié)合圖象與表格，回答下列問題：點(diǎn)，，，在函數(shù)圖象上，則______，______；填“”，“”或“”當(dāng)函數(shù)值時，求自變量x的值；在直線的右側(cè)的函數(shù)圖象上有兩個不同的點(diǎn)，，且，求的值；若直線與函數(shù)圖象有三個不同的交點(diǎn)，求a的取值范圍．2．小明對函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行了探究.已知當(dāng)自變量的值為或時，函數(shù)值都為；當(dāng)自變量的值為或時，函數(shù)值都為．探究過程如下，請補(bǔ)充完整．（1）這個函數(shù)的表達(dá)式為；（2）在給出的平面直角坐標(biāo)系中，畫出這個函數(shù)的圖象并寫出這個函數(shù)的--條性質(zhì)：；（3）進(jìn)一步探究函數(shù)圖象并解決問題：①直線與函數(shù)有三個交點(diǎn)，則；②已知函數(shù)的圖象如圖所示，結(jié)合你所畫的函數(shù)圖象，寫出不等式的解集：．3．小明在學(xué)習(xí)函數(shù)的過程中遇到這樣一個函數(shù)：y＝[x]，若x≥0時，[x]＝x2﹣1；若x＜0時，x＝﹣x+1．小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對該函數(shù)進(jìn)行了探究．（1）下列關(guān)于該函數(shù)圖像的性質(zhì)正確的是；（填序號）①y隨x的增大而增大；②該函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱；③當(dāng)x＝0時，函數(shù)有最小值為﹣1；④該函數(shù)圖像不經(jīng)過第三象限．（2）①在平面直角坐標(biāo)系xOy中畫出該函數(shù)圖像；②若關(guān)于x的方程2x+c＝[x]有兩個互不相等的實(shí)數(shù)根，請結(jié)合函數(shù)圖像，直接寫出c的取值范圍是；（3）若點(diǎn)（a，b）在函數(shù)y＝x﹣3圖像上，且﹣＜[a]≤2，則b的取值范圍是．4．某班“數(shù)學(xué)興趣小組”對函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行了探究，探究過程如下．（1）自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，與的幾組對應(yīng)值如下：…-3-2-10123……3-10-103…其中，______．（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)，并畫出了函數(shù)圖象的一部分，請你畫出該函數(shù)圖象的另一部分．（3）進(jìn)一步探究函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn)：①方程有______個實(shí)數(shù)根；②關(guān)于的方程有4個實(shí)數(shù)根時，的取值范圍是______．5．如果拋物線C1：與拋物線C2：的開口方向相反，頂點(diǎn)相同，我們稱拋物線C2是C1的“對頂”拋物線．（1）求拋物線的“對頂”拋物線的表達(dá)式；（2）將拋物線的“對頂”拋物線沿其對稱軸平移，使所得拋物線與原拋物線形成兩個交點(diǎn)M、N，記平移前后兩拋物線的頂點(diǎn)分別為A、B，當(dāng)四邊形AMBN是正方形時，求正方形AMBN的面積．（3）某同學(xué)在探究“對頂”拋物線時發(fā)現(xiàn)：如果拋物線C1與C2的頂點(diǎn)位于x軸上，那么系數(shù)b與d，c與e之間的關(guān)系是確定的，請寫出它們之間的關(guān)系．6．根據(jù)我們學(xué)習(xí)函數(shù)的過程與方法，對函數(shù)y＝x2＋bx＋2﹣c|x﹣1|的圖像和性質(zhì)進(jìn)行探究，已知該函數(shù)圖像經(jīng)過（﹣1，﹣2）與（2，1）兩點(diǎn)，（1）該函數(shù)的解析式為，補(bǔ)全下表：x?﹣4﹣3﹣2﹣1123?y?2﹣1﹣2212?（2）描點(diǎn)、連線，在所給的平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖象，寫出這個函數(shù)的一條性質(zhì)：．（3）結(jié)合你所畫的圖象與函數(shù)y＝x的圖象，直接寫出x2＋bx＋2﹣c|x﹣1|≤x的解集．7．已知拋物線y＝x2+bx+c的頂點(diǎn)為P，與y軸交于點(diǎn)A，與直線OP交于點(diǎn)B．（1）如圖1，若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，6），①試確定拋物線的解析式；②若當(dāng)m≤x≤3時，y＝x2+bx+c的最小值為2，最大值為6，求m的取值范圍；（2）在（1）的條件下，若M點(diǎn)是直線AB下方拋物線上的一點(diǎn)，且S△ABM≥3，求M點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍；（3）如圖2，若點(diǎn)P在第一象限，且PA＝PO，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，將拋物線y＝x2+bx+c平移，平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、D，與x軸的另一個交點(diǎn)為C，試探究四邊形OABC的形狀，并說明理由．8．已知函數(shù)，某興趣小組對其圖像與性質(zhì)進(jìn)行了探究，請補(bǔ)充完整探究過程．…－3－2－112345……－6－22－2－1－2…（1）請根據(jù)給定條件直接寫出的值；（2）如圖已經(jīng)畫出了該函數(shù)的部分圖像，請你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)、連線，補(bǔ)充該函數(shù)圖像，并寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)；（3）若，結(jié)合圖像，直接寫出的取值范圍．9．在平面直角坐標(biāo)系中（如圖）．已知點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)．如果拋物線恰好經(jīng)過這三個點(diǎn)之中的兩個點(diǎn)．（1）試推斷拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、B、C之中的哪兩個點(diǎn)？簡述理由；（2）求常數(shù)a與b的值：（3）將拋物線先沿與y軸平行的方向向下平移2個單位長度，再與沿x軸平行的方向向右平移個單位長度，如果所得到的新拋物線經(jīng)過點(diǎn)．設(shè)這個新拋物線的頂點(diǎn)是D．試探究的形狀．10．已知拋物線（n為正整數(shù)，且）與x軸的交點(diǎn)為和．當(dāng)時，第1條拋物線與x軸的交點(diǎn)為和，其他以此類推．（1）求的值及拋物線的解析式．（2）拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（_______，_______）；以此類推，第條拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（______，_______）；所有拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)滿足的函數(shù)關(guān)系式是_________．（3）探究以下結(jié)論：①是否存在拋物線，使得為等腰直角三角形？若存在，請求出拋物線的解析式；若不存在，請說明理由．②若直線與拋物線分別交于點(diǎn)，則線段的長有何規(guī)律？請用含有m的代數(shù)式表示．二、中考幾何壓軸題11．問題情境：兩張直角三角形紙片中，．連接，，過點(diǎn)作的垂線，分別交線段，于點(diǎn)，（與在直線異側(cè)）．特例分析：（1）如圖1，當(dāng)時，求證：；拓展探究：（2）當(dāng)，探究下列問題：①如圖2，當(dāng)時，直接寫出線段與之間的數(shù)量關(guān)系：；②如圖3，當(dāng)時，猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；推廣應(yīng)用：（3）若圖3中，，設(shè)的面積為，則的面積為．（用含，的式子表示）12．石家莊某學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組利用機(jī)器人開展數(shù)學(xué)活動，在相距150個單位長度的直線跑道AB上，機(jī)器人甲從端點(diǎn)A出發(fā)，勻速往返于端點(diǎn)A、B之間，機(jī)器人乙同時從端點(diǎn)B出發(fā)，以大于甲的速度勻速往返于端點(diǎn)B、A之間．他們到達(dá)端點(diǎn)后立即轉(zhuǎn)身折返，用時忽略不計(jì)，興趣小組成員探究這兩個機(jī)器人迎面相遇的情況，這里的“迎面相遇”包括面對面相遇、在端點(diǎn)處相遇這兩種．（觀察）①觀察圖1，若這兩個機(jī)器人第一次迎面相遇時，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為30個單位長度，則他們第二次迎面相遇時，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為個單位長度．②若這兩個機(jī)器人第一次迎面相遇時，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為35個單位長度，則他們第二次迎面相遇時，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為個單位長度．（發(fā)現(xiàn)）設(shè)這兩個機(jī)器人第一次迎面相遇時，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為x個單位長度，他們第二次迎面相遇時，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為y個單位長度，興趣小組成員發(fā)現(xiàn)了y與x的函數(shù)關(guān)系，并畫出了部分函數(shù)圖象（線段OP，不包括點(diǎn)O，如圖2所示）①a＝；②分別求出各部分圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式，并在圖2中補(bǔ)全函數(shù)圖象．（拓展）設(shè)這兩個機(jī)器人第一次迎面相遇時，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為x個單位長度，他們第三次迎面相遇時，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為y個單位長度，若這兩個機(jī)器人在第三次迎面相遇時，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離y不超過60個單位長度，則他們第一次迎面相遇時，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離x的取值范圍是．（直接寫出結(jié)果）13．問題發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1，與同為等邊三角形，連接則與的數(shù)量關(guān)系為________；直線與所夾的銳角為_________；類比探究：（2）與同為等腰直角三角形，其他條件同（1），請問（1）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由；拓展延伸：（3）中，為的中位線，將繞點(diǎn)逆時針自由旋轉(zhuǎn)，已知，在自由旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)在一條直線上時，請直接寫出的值．14．（性質(zhì)探究）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AE平分∠BAC，交BC于點(diǎn)E．作DF⊥AE于點(diǎn)H，分別交AB，AC于點(diǎn)F，G．（1）判斷△AFG的形狀并說明理由．（2）求證：BF=2OG．（遷移應(yīng)用）（3）記△DGO的面積為S1，△DBF的面積為S2，當(dāng)時，求的值．（拓展延伸）（4）若DF交射線AB于點(diǎn)F，（性質(zhì)探究）中的其余條件不變，連結(jié)EF，當(dāng)△BEF的面積為矩形ABCD面積的時，請直接寫出tan∠BAE的值．15．折紙是一種許多人熟悉的活動．近些年，經(jīng)過許多人的努力，已經(jīng)找到了多種將正方形折紙的一邊三等分的精確折法，下面探討其中的一種折法：（綜合與實(shí)踐）操作一：如圖1，將正方形紙片ABCD對折，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，再將正方形紙片ABCD展開，得到折痕MN；操作二：如圖2，將正方形紙片ABCD的右上角沿MC折疊，得到點(diǎn)D的對應(yīng)的點(diǎn)為D′；操作三：如圖3，將正方形紙片ABCD的左上角沿MD′折疊再展開，折痕MD′與邊AB交于點(diǎn)P；（問題解決）請?jiān)趫D3中解決下列問題：（1）求證：BP＝D′P；（2）AP：BP＝；（拓展探究）（3）在圖3的基礎(chǔ)上，將正方形紙片ABCD的左下角沿CD′折疊再展開，折痕CD′與邊AB交于點(diǎn)Q．再將正方形紙片ABCD過點(diǎn)D′折疊，使點(diǎn)A落在AD邊上，點(diǎn)B落在BC邊上，然后再將正方形紙片ABCD展開，折痕EF與邊AD交于點(diǎn)E，與邊BC交于點(diǎn)F，如圖4．試探究：點(diǎn)Q與點(diǎn)E分別是邊AB，AD的幾等分點(diǎn)？請說明理由．16．愛好思考的小明在探究兩條直線的位置關(guān)系查閱資料時，發(fā)現(xiàn)了“中垂三角形”，即兩條中線相互垂直的三角形“中垂三角形”，如圖（1）、圖（2）、圖（3）中，AM、BN是△ABC的中線，AM⊥BN于點(diǎn)P，像△ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”．設(shè)BC=a，AC=b，AB=c．（特例研究）（1）如圖1，當(dāng)tan∠PAB=1，c=4時，a=b=；（歸納證明）（2）請你觀察（1）中的計(jì)算結(jié)果，猜想a2、b2、c2三者之間的關(guān)系，用等式表示出來，并利用圖2證明你的結(jié)論；（拓展證明）（3）如圖4，?ABCD中，E、F分別是AD、BC的三等分點(diǎn)，且AD=3AE，BC=3BF，連接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF交BE相較于點(diǎn)G，AD=3，AB=3，求AF的長．17．如圖(1)，在矩形ABCD中，AD＝nAB，點(diǎn)M，P分別在邊AB，AD上(均不與端點(diǎn)重合)，且AP＝nAM，以AP和AM為鄰邊作矩形AMNP，連接AN，CN.（問題發(fā)現(xiàn)）（1）如圖(2)，當(dāng)n＝1時，BM與PD的數(shù)量關(guān)系為，CN與PD的數(shù)量關(guān)系為.（類比探究）（2）如圖(3)，當(dāng)n＝2時，矩形AMNP繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，連接PD，則CN與PD之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請就圖(3)給出證明；若變化，請寫出數(shù)量關(guān)系，并就圖(3)說明理由.（拓展延伸）（3）在(2)的條件下，已知AD＝4，AP＝2，當(dāng)矩形AMVP旋轉(zhuǎn)至C，N，M三點(diǎn)共線時，請直接寫出線段CN的長18．如圖，在中，，，，為底邊上一動點(diǎn)，連接，以為斜邊向左上方作等腰直角，連接．觀察猜想：（1）當(dāng)點(diǎn)落在線段上時，直接寫出，的數(shù)量關(guān)系：_______．類比探究：（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動時，請問（1）中結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；拓展延伸：（3）在點(diǎn)運(yùn)動過程中，當(dāng)時，請直接寫出線段的長．19．綜合與實(shí)踐動手實(shí)踐：一次數(shù)學(xué)興趣活動，張老師將等腰的直角頂點(diǎn)與正方形的頂點(diǎn)重合（），按如圖（1）所示重疊在一起，使點(diǎn)在邊上，連接．則可證：______，______三點(diǎn)共線；發(fā)現(xiàn)問題：（1）如圖（2），已知正方形，為邊上一動點(diǎn)，，交的延長線于，連結(jié)交于點(diǎn)．若，則______，______；嘗試探究：（2）如圖（3），在（1）的條件下若，求證：；拓展延伸：（3）如圖（4），在（1）的條件下，當(dāng)______時，為的6倍（直接寫結(jié)果，不要求證明）．20．在矩形ABCD中，（k為常數(shù)），點(diǎn)P是對角線BD上一動點(diǎn)（不與B，D重合），將射線PA繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)90°與射線CB交于點(diǎn)E，連接AE．（1）特例發(fā)現(xiàn)：如圖1，當(dāng)k=1時，將點(diǎn)P移動到對角線交點(diǎn)處，可發(fā)現(xiàn)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，則=，∠AEP=；當(dāng)點(diǎn)P移動到其它位置時，∠AEP的大?。ㄌ睢案淖儭被颉安蛔儭保?；（2）類比探究：如圖2，若k≠1時，當(dāng)k的值確定時，請?zhí)骄俊螦EP的大小是否會隨著點(diǎn)P的移動而發(fā)生變化，并說明理由；（3）拓展應(yīng)用：當(dāng)k≠1時，如圖2，連接PC，若PC⊥BD，，PC=2，求AP的長．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請不要刪除一、二次函數(shù)壓軸題1．A解析：（1）見解析；（2）①，；②x=3或x=-1；③2；④【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖像的畫法，從左至右依次連接個點(diǎn)，即可解決；（2）①根據(jù)A點(diǎn)與B點(diǎn)的橫坐標(biāo)，判斷兩點(diǎn)所在的函數(shù)圖像，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決即可；根據(jù)C點(diǎn)與D點(diǎn)的縱坐標(biāo)，判斷兩點(diǎn)所在的函數(shù)圖像，然后結(jié)合函數(shù)圖像解決即可.②當(dāng)時，判斷其所在的函數(shù)圖像，然后結(jié)合函數(shù)解析式計(jì)算解決即可.③由圖可知時，所以兩點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，然后根據(jù)函數(shù)的對稱性解決即可.④結(jié)合函數(shù)圖像，與函數(shù)圖象有三個不同的交點(diǎn)，可知必須與兩函數(shù)圖像分別相交才可以，據(jù)此解決即可；【詳解】解：如圖所示：，，A與B在上，y隨x的增大而增大，；，，C與D在上，觀察圖象可得；②當(dāng)時，，不符合；當(dāng)時，，或；，在的右側(cè)，時，點(diǎn)關(guān)于對稱，，；④由圖象可知，當(dāng)與分段函數(shù)分別相交時才會有三個不同的交點(diǎn)，觀察函數(shù)圖像y＞0，且y＜2，故a的取值范圍為.2．（1）；（2）如圖所示，見解析；性質(zhì)：函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱；或：當(dāng)或時，函數(shù)有最小值；（3）①；②或．【分析】（1）將，；，；，代入，得到：，，，即可求解析式為；（2）描點(diǎn)法畫出函數(shù)圖象，函數(shù)關(guān)于對稱；（3）①從圖象可知：當(dāng)時，，時直線與函數(shù)有三個交點(diǎn)；②與的交點(diǎn)為或，結(jié)合圖象，的解集為．【詳解】解：（1）將，；，；，代入，得到：，解得，故答案為．（2）如圖：函數(shù)關(guān)于直線對稱，（3）①當(dāng)時，，時直線與函數(shù)有三個交點(diǎn)，故答案為1；②與的交點(diǎn)為或或x=3，結(jié)合圖象，的解集為或，故答案為或．【點(diǎn)睛】本題類比函數(shù)探究過程探究絕對值函數(shù)與不等式組關(guān)系；能夠準(zhǔn)確的畫出函數(shù)圖象，從函數(shù)圖象中獲取信息，數(shù)形結(jié)合解題是關(guān)鍵．3．（1）③④；（2）①見解析；②或；（3）或【分析】（1）畫出圖象，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷．（2）①根據(jù)題意列表、描點(diǎn)、連線即可．②將看成是一次函數(shù)，此函數(shù)與軸的交點(diǎn)是，因此要與圖像有兩個交點(diǎn)，則需要分情況討論．當(dāng)時，滿足兩個交點(diǎn)的要求；當(dāng)時，與圖像沒有兩個交點(diǎn)；當(dāng)時，可以有兩個交點(diǎn)，此種情況要代入，根據(jù)根的判別式求出的范圍即可．（3）因?yàn)椋愿鶕?jù)分段函數(shù)的圖像，求解取值在到2之間的自變量的范圍，分情況討論即可．再根據(jù)點(diǎn)在函數(shù)圖象上，則，即，代入到的取值范圍中求解即可．【詳解】解：（1）畫出圖象，根據(jù)圖象可知，①當(dāng)時，隨的增大而增大，故錯誤；②該函數(shù)圖象關(guān)于軸不對稱，故錯誤；③當(dāng)時，函數(shù)有最小值為，正確；④該函數(shù)圖象不經(jīng)過第三象限，正確；故答案為：③④．（2）①在平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)圖象，②關(guān)于的方程有兩個互不相等的實(shí)數(shù)根，可以看成是和有兩個交點(diǎn)．是一次函數(shù)，與軸的交點(diǎn)為，當(dāng)時，滿足兩個交點(diǎn)的條件．若將向下平移與圖像有兩個交點(diǎn)，則．方程為，即．△，，．故答案為：或．（3），當(dāng)時，，，解出．當(dāng)時，，，解出．或．點(diǎn)在函數(shù)圖象上，，，或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】此題考查的是分段函數(shù)，用數(shù)形結(jié)合的思想是解此題的關(guān)鍵．4．（1）0；（2）圖見解析；（3）①3；②【分析】（1）那x=-2代入解析式，即可求得m的值；（2）利用描點(diǎn)法畫函數(shù)圖象即可；（3）①觀察圖象找出圖象與x軸的交點(diǎn)個數(shù)即可求解；②觀察圖象，找出圖象與平行于x軸直線的交點(diǎn)個數(shù)為4個時對應(yīng)y的取值范圍即可．【詳解】（1）x=-2時，m=（-2）2-=0；故答案為：0；（）如圖所示（）①觀察圖象，可知與x軸有三個交點(diǎn)，所以有三個根，分別是、、；即答案為3；②∵關(guān)于的方程有四個根，∴函數(shù)的圖象與y=a有四個交點(diǎn)，由函數(shù)圖象知：的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程，其中觀察函數(shù)圖像的能力是解答本題的關(guān)鍵．5．C解析：（1）；（2）2；（3）【分析】（1）先求出拋物線C1的頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出拋物線C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出結(jié)論；（2）設(shè)正方形AMBN的對角線長為2k，得出B（2，3＋2k），M（2＋k，3＋k），N（2?k，3＋k），再用點(diǎn)M（2＋k，3＋k）在拋物線y＝（x?2）2＋3上，建立方程求出k的值，即可得出結(jié)論；（3）先根據(jù)拋物線C1，C2的頂點(diǎn)相同，得出b，d的關(guān)系式，再由兩拋物線的頂點(diǎn)在x軸，求出c，e的關(guān)系，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）解：（1）∵y＝x2?4x＋7＝（x?2）2＋3，∴頂點(diǎn)為（2，3），∴其“對頂”拋物線的解析式為y＝?（x?2）2＋3，即y＝?x2＋4x?1；（2）如圖，由（1）知，A（2，3），設(shè)正方形AMBN的對角線長為2k，則點(diǎn)B（2，3＋2k），M（2＋k，3＋k），N（2?k，3＋k），∵M(jìn)（2＋k，3＋k）在拋物線y＝（x?2）2＋3上，∴3＋k＝（2＋k?2）2＋3，解得k＝1或k＝0（舍）；∴正方形AMBN的面積為×(2k)2＝2；（3）根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得，拋物線C1：y＝ax2＋bx＋c的頂點(diǎn)為（，），拋物線C2：y＝?ax2＋dx＋e的頂點(diǎn)為（，），∵拋物線C2是C1的“對頂”拋物線，∴，∴，∵拋物線C1與C2的頂點(diǎn)位于x軸上，∴，∴，即．【點(diǎn)睛】此題主要考查了拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，正方形的性質(zhì)，理解新定義式解本題的關(guān)鍵．6．(1)y＝x2﹣x+2﹣3|x﹣1|，補(bǔ)全表格見解析，(2)函數(shù)圖像見解析，當(dāng)x=-1時，函數(shù)有最小值，最小值為-2；(3)≤x≤或≤x≤．【分析】（1）將點(diǎn)（﹣1，﹣2）與（2，1）代入解析式即可；（2）畫出函數(shù)圖象，觀察圖象得到一條性質(zhì)即可（3）根據(jù)圖象，求出兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，通過觀察可確定解解集．【詳解】解：（1）∵該函數(shù)圖象經(jīng)過（﹣1，﹣2）與（2，1）兩點(diǎn)，∴，∴，∴y＝x2﹣x+2﹣3|x﹣1|，故答案為：y＝x2﹣x+2﹣3|x﹣1|；當(dāng)x=-4時，y=7；當(dāng)x=0時，y=-1；補(bǔ)全表格如圖，x?﹣4﹣3﹣2﹣10123?y?72﹣1﹣2-1212?（2）函數(shù)圖像如圖所示，當(dāng)x=-1時，函數(shù)有最小值，最小值為-2；（3）當(dāng)x≥1時，x2﹣x+2﹣3x+3=x，解得，，，觀察圖象可知不等式的解集為：≤x≤；當(dāng)x＜1時，x2﹣x+2+3x﹣3=x，解得，，，觀察圖象可知不等式的解集為：≤x≤；∴不等式x2+bx+2﹣c|x﹣1|≤x的解集為≤x≤或≤x≤．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)與不等式的關(guān)系；掌握描點(diǎn)法畫函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合解不等式是解題的關(guān)鍵．7．A解析：（1）①，②；（2）；（3）四邊形OABC是矩形，證明見詳解．【分析】（1）利用頂點(diǎn)P的橫坐標(biāo)求出b=-2,然后把b=-2和B點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出拋物線的解析式；（2）先求出A點(diǎn)坐標(biāo)，然后得出直線AB的解析式，設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x2-2x+3），根據(jù)S△ABM=3列出方程，并解方程，從而得出M點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)S△ABM≥3求出M橫坐標(biāo)的范圍即可；（3）根據(jù)拋物線的圖象可求出A、P、D的坐標(biāo)，利用拋物線與直線相交求出B點(diǎn)坐標(biāo)，然后求出平移后拋物線的解析式，然后求出C點(diǎn)坐標(biāo)，然后求出BC的長度，從而得出四邊形OABC是平行四邊形，再根據(jù)∠AOC=90得出四邊形OABC是矩形.【詳解】解：（1）①依題意,,解得b=-2，將b=-2及點(diǎn)B(3,6)的坐標(biāo)代入拋物線解析式，得，解c=3，所以拋物線的解析式為，②當(dāng)，解得，當(dāng)m≤x≤3時，y＝x2+bx+c的最小值為2，最大值為6，∴；（2）∵拋物線與y軸交于點(diǎn)A，∴A(0,3)，∵B(3,6)，可得直線AB的解析式為，設(shè)直線AB下方拋物線上的點(diǎn)M坐標(biāo)為（x，），過M點(diǎn)作y軸的平行線交直線AB于點(diǎn)N,則N(x,x+3).(如圖)，∴，∴，解得，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,2)或(2,3)，∵S△ABM≥3，；（3）結(jié)論是：四邊形OABC是矩形，理由如下：如圖，由PA=PO,OA=c,可得，∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，∴，∴拋物線，A（0，），P（，）,D（，0），∴直線OP的解析式為，∵點(diǎn)B是拋物線與直線的圖象的交點(diǎn)，令，解得，可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-b，），由平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A,可設(shè)平移后的拋物線解析式為，將點(diǎn)D(，0)的坐標(biāo)代入，得，∴平移后的拋物線解析式為，令y=0,即，解得，依題意,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-b，0），∴BC=，∴BC=OA，又BC∥OA，∴四邊形OABC是平行四邊形，∵∠AOC=90，∴四邊形OABC是矩形．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，并與幾何圖形相結(jié)合的綜合題，難度較高，解題的關(guān)鍵在于靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)及待定系數(shù)法，并注重點(diǎn)的坐標(biāo)與線段長的互相轉(zhuǎn)化．8．（1），，；（2）見詳解；（3）x的取值范圍是：3≤x＜0或1≤x≤2．【分析】（1）先將（-1，2）和（1，-2）代入函數(shù)y=a（x-1）2++1中，列方程組解出可得a和b的值，寫出函數(shù)解析式，計(jì)算當(dāng)x=4時m的值即可；（2）描點(diǎn)并連線畫圖，根據(jù)圖象寫出一條性質(zhì)即可；（3）畫y=x-3的圖象，根據(jù)圖象可得結(jié)論．【詳解】解：（1）把（-1，2）和（1，-2）代入函數(shù)y=a（x-1）2++1中得：，解得：，∴y=（a≠0），當(dāng)x=4時，m=；（2）如圖所示，性質(zhì)：當(dāng)x＞2時，y隨x的增大而減?。ù鸢覆晃ㄒ唬唬?）∵a（x1）2+≥x4，∴a（x1）2++1≥x3，如圖所示，由圖象得：x的取值范圍是：3≤x＜0或1≤x≤2．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，描點(diǎn)，畫函數(shù)圖象，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，利用了數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行分析．9．A解析：（1）點(diǎn)A、B在拋物線上，理由見解析；（2），；（3）等腰直角三角形【分析】（1）軸，故B、C中只有一個點(diǎn)在拋物線上，算出AC的解析式，交y軸于點(diǎn)，拋物線與y軸也交于點(diǎn)，故C不符要求，由此解答即可；（2）把A、B點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式，由此解答即可；（3）由平移可得新的解析式，代入得出D點(diǎn)的坐標(biāo)，再判斷三角形的形狀．【詳解】（1）∵軸，故B、C中只有一個點(diǎn)在拋物線上，∵，交y軸于點(diǎn)．且拋物線與y軸也交于點(diǎn)，故C不符要求．∴點(diǎn)A、B在拋物線上（2）代入A、B到．，∴（3）∴代入到，（舍），，∴∴，，∴，，∴．∴是等腰直角三角形【點(diǎn)睛】本題考查了與待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式及判斷點(diǎn)是否在圖像上，平移變換勾股定理等知識，求解析式是解題的關(guān)鍵．10．C解析：（1）；y＝?（x?2）＋4；（2）（n，n）；[（n＋1），（n＋1）]；y＝x；（3）①存在，理由見詳解；②CC＝2m．【分析】（1）），則＝2，則＝2＋2＝4，將點(diǎn)A、的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：，解得：，則點(diǎn)（4，0），將點(diǎn)A、的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，同理可得：＝2，＝4，即可求解；（2）同理可得：＝3，＝9，故點(diǎn)的坐標(biāo)為（n，），以此推出：點(diǎn)[（n＋1），（n＋1）]，故所有拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)滿足的函數(shù)關(guān)系式是：y＝，即可求解；（3）①△AAnBn為等腰直角三角形，則AAn＝2ABn，即（2n）＝2（n＋），即可求解；②y＝?（m?n＋1）＋（n?1），y＝?（m?n）＋n，CC=y?y，即可求解．【詳解】解：（1），則＝2，則＝2＋2＝4，將點(diǎn)A、的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：，解得：，則點(diǎn)（4，0），將點(diǎn)A、的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，同理可得：＝2，＝4；故y＝?（x?）＋＝?（x?2）＋4；（2）同理可得：＝3，＝9，故點(diǎn)的坐標(biāo)為（n，），以此推出：點(diǎn)[（n＋1），（n＋1）]，故所有拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)滿足的函數(shù)關(guān)系式是：y＝；故答案為：（n，n）；[（n＋1），（n＋1）]；y＝x；（3）①存在，理由：點(diǎn)A（0，0），點(diǎn)An（2n，0）、點(diǎn)（n，n），△AAnBn為等腰直角三角形，則AAn＝2ABn，即（2n）＝2（n＋n），解得：n＝1（不合題意的值已舍去），拋物線的表達(dá)式為：y＝?（x?1）＋1；②y＝?（m?n＋1）＋（n?1），y＝?（m?n）＋n，CC＝y(tǒng)?y＝?（m?n）＋n＋（m?n＋1）?（n?1）＝2m．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，這種找規(guī)律類型題目，通常按照題設(shè)的順序逐次求解，通常比較容易．二、中考幾何壓軸題11．（1）詳見解析；（2）①；②，證明詳見解析；（3）．【分析】（1）在等腰三角形ABM中三線合一，即AM還為三角形的角平分線與底邊中線，可用AAS證，可得，即可得證；（2）①由題意可知，，，且，解析：（1）詳見解析；（2）①；②，證明詳見解析；（3）．【分析】（1）在等腰三角形ABM中三線合一，即AM還為三角形的角平分線與底邊中線，可用AAS證，可得，即可得證；（2）①由題意可知，，，且，，可證∽，同理可證∽，可得，，即可得出BD與AN的數(shù)量關(guān)系；②過E點(diǎn)作AC的平行線，交AN的延長線于點(diǎn)P，連接PC，可證∽，即，可得，四邊形為平行四邊形，所以，即可得出BD與AN的數(shù)量關(guān)系；（3）由（2）②已證四邊形為平行四邊形，所以，且∽，，所以，即ACE的面積可得．【詳解】（1）證明：∵，于點(diǎn)，∴，，（等腰三角形三線合一）∵，，且，∴，∵，∴，即．∴，∵，∴，在ABM和CAN中，∴（AAS），∴，∴．（2）①．∵由題意可知，，，且，，∴，∴∽，同理，，，且，，∴，∴∽，∴，即，，即，∴．②．證明：過E點(diǎn)作AC的平行線，交AN的延長線于點(diǎn)P，連接PC．∴，∵，∴，∴，∵于點(diǎn)，∴．∴．∴．∴，∴∽，∴，∵，∴，，∴．∵，∴四邊形為平行四邊形．∴，∴．（3）．∵由（2）②已證四邊形為平行四邊形，∴，又∵∽，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考察了等腰三角形三線合一、全等三角形的證明與應(yīng)用、相似三角形的證明與應(yīng)用、平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造出全等三角形，且掌握相似三角形面積之比為邊長之比的平方．12．【觀察】①90；②105；【發(fā)現(xiàn)】①50；②y＝，補(bǔ)全圖象見解析；【拓展】0＜x≤12或48≤x≤72【分析】【觀察】①先據(jù)題意求出兩個機(jī)器人速度的關(guān)系，再確定第二次迎面相遇的位置，然后設(shè)此時相解析：【觀察】①90；②105；【發(fā)現(xiàn)】①50；②y＝，補(bǔ)全圖象見解析；【拓展】0＜x≤12或48≤x≤72【分析】【觀察】①先據(jù)題意求出兩個機(jī)器人速度的關(guān)系，再確定第二次迎面相遇的位置，然后設(shè)此時相遇點(diǎn)距點(diǎn)A為m個單位，根據(jù)題意列方程即可求出結(jié)果；②仿照①的解題思路和方法解答即可；【發(fā)現(xiàn)】①當(dāng)點(diǎn)第二次相遇地點(diǎn)剛好在點(diǎn)B時，根據(jù)題意可列方程150﹣x＝2x，解出的x的值即為a的值；②分0＜x≤50與50＜x＜75兩種情況，分別求出正比例函數(shù)與一次函數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)一步即可補(bǔ)全函數(shù)圖象；【拓展】分三種情況畫出圖形，然后根據(jù)題意得出相應(yīng)的分式方程，解方程即可得出y與x的關(guān)系，進(jìn)而可得關(guān)于x的不等式，解不等式即可得到結(jié)論．【詳解】解：【觀察】①∵相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為30個單位長度，∴相遇地點(diǎn)與點(diǎn)B之間的距離為150﹣30＝120個單位長度，設(shè)機(jī)器人甲的速度為v，則機(jī)器人乙的速度為v＝4v，∴機(jī)器人甲從相遇點(diǎn)到點(diǎn)B所用的時間為，機(jī)器人乙從相遇地點(diǎn)到點(diǎn)A再返回到點(diǎn)B所用時間為，而，∴機(jī)器人甲與機(jī)器人乙第二次迎面相遇時，機(jī)器人乙從第一次相遇地點(diǎn)到點(diǎn)A，返回到點(diǎn)B，再返回向A時和機(jī)器人甲第二次迎面相遇，設(shè)此時相遇點(diǎn)距點(diǎn)A為m個單位，根據(jù)題意得，30+150+150﹣m＝4（m﹣30），解得：m＝90，故答案為：90；②∵相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為35個單位長度，∴相遇地點(diǎn)與點(diǎn)B之間的距離為150﹣35＝115個單位長度，設(shè)機(jī)器人甲的速度為v，則機(jī)器人乙的速度為，∴機(jī)器人乙從相遇點(diǎn)到點(diǎn)A再到點(diǎn)B所用的時間為，機(jī)器人甲從相遇點(diǎn)到點(diǎn)B所用時間為，而，∴機(jī)器人甲與機(jī)器人乙第二次迎面相遇時，機(jī)器人乙從第一次相遇地點(diǎn)到點(diǎn)A，返回到點(diǎn)B，再返回向A時和機(jī)器人甲第二次迎面相遇，設(shè)此時相遇點(diǎn)距點(diǎn)A為m個單位，根據(jù)題意得，35+150+150﹣m＝（m﹣35），解得：m＝105，故答案為：105；【發(fā)現(xiàn)】①當(dāng)?shù)诙蜗嘤龅攸c(diǎn)剛好在點(diǎn)B時，設(shè)機(jī)器人甲的速度為v，則機(jī)器人乙的速度為，根據(jù)題意知，150﹣x＝2x，∴x＝50，即：a＝50，故答案為：50；②當(dāng)0＜x≤50時，點(diǎn)P（50，150）在線段OP上，∴線段OP的表達(dá)式為y＝3x，當(dāng)v＜時，即當(dāng)50＜x＜75，此時，第二次相遇地點(diǎn)是機(jī)器人甲在到點(diǎn)B返回向點(diǎn)A時，設(shè)機(jī)器人甲的速度為v，則機(jī)器人乙的速度為，根據(jù)題意知，x+y＝（150﹣x+150﹣y），整理，得y＝﹣3x+300，∴y與x的函數(shù)關(guān)系式是y＝，補(bǔ)全圖象如圖2所示：【拓展】①如圖，由題意知，，∴y＝5x，∵0＜y≤60，∴0＜x≤12；②如圖，∴，∴y＝﹣5x+300，∵0≤y≤60，∴48≤x≤60，③如圖，由題意得，＝，∴y＝5x﹣300，∵0≤y≤60，∴60≤x≤72，∵0＜x＜75，∴48≤x≤72，綜上所述，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離x的取值范圍是0＜x≤12或48≤x≤72，故答案為：0＜x≤12或48≤x≤72．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、分式方程的應(yīng)用、兩點(diǎn)間的距離、一元一次方程和一元一次不等式的應(yīng)用，難度較大，正確理解題意、靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．13．（1），；（2）不成立，見解析；（3）2或4【分析】（1）根據(jù)題意，利用等邊三角形的性質(zhì)，得出，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等，得出，故得出與所夾的銳角為60°．（2）根據(jù)題意，利用等腰直角三角形解析：（1），；（2）不成立，見解析；（3）2或4【分析】（1）根據(jù)題意，利用等邊三角形的性質(zhì)，得出，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等，得出，故得出與所夾的銳角為60°．（2）根據(jù)題意，利用等腰直角三角形的性質(zhì)可推出，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)角相等，得出，故得出直線與所夾的銳角為45°，與（1）結(jié)論不符．（3）此問需要分兩種情況討論，一種情況是當(dāng)在直線上，該種情況需要先證明，從而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出；另一種情況是，當(dāng)在直線下，先證明，從而證明四邊形為矩形，最后求出．【詳解】解：（1）；60°解答如下：如圖１，與為等邊三角形，，在與中，，故答案為：；直線與所夾的銳角為60°．（2）不成立理由如下：與為等腰直角三角形，，，，即：，在與中，故（1）中的結(jié)論不成立；（3）的長度為2或4；①點(diǎn)在直線上方時如圖4，，，②點(diǎn)在直線下方時，如圖5，∥根據(jù)題意，易證四邊形為矩形，，故答案為綜上可得的長度為2或4【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的三邊關(guān)系、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的判定及性質(zhì)相似三角形的判定及性質(zhì)，綜合性比較強(qiáng)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．（1）利用等邊三角形的性質(zhì)，從而證明三角形全等是解答該小問的關(guān)鍵．（2）根據(jù)等腰直角三角形的三邊關(guān)系，證明兩個三角形相似是解答第二問的關(guān)鍵，重點(diǎn)掌握相似三角形的判定方法．（3）解答本題時，首先要認(rèn)識到旋轉(zhuǎn)過程中滿足題意的兩種情況，其次證明過程可參考上面的證明過程，最后如何判定四邊形為矩形也是解答最后一題第二種情況的關(guān)鍵．14．（1）等腰三角形，理由見解析；（2）見解析；（3）；（4）或【分析】（1）如圖1中，△AFG是等腰三角形，利用全等三角形的性質(zhì)證明即可．（2）如圖2中，過點(diǎn)O作OL∥AB交DF于L，則∠AFG解析：（1）等腰三角形，理由見解析；（2）見解析；（3）；（4）或【分析】（1）如圖1中，△AFG是等腰三角形，利用全等三角形的性質(zhì)證明即可．（2）如圖2中，過點(diǎn)O作OL∥AB交DF于L，則∠AFG=∠OLG．首先證明OG=OL，再證明BF=2OL即可解決問題．（3）如圖3中，過點(diǎn)D作DK⊥AC于K，則∠DKA=∠CDA=90°，利用相似三角形的性質(zhì)解決問題即可．（4）設(shè)OG=a，AG=k．分兩種情形：①如圖4中，連接EF，當(dāng)點(diǎn)F在線段AB上時，點(diǎn)G在OA上．②如圖5中，當(dāng)點(diǎn)F在AB的延長線上時，點(diǎn)G在線段OC上，連接EF．分別求解即可解決問題．【詳解】（1）解：如圖1中，△AFG是等腰三角形．理由：∵AE平分∠BAC，∴∠1=∠2，∵DF⊥AE，∴∠AHF=∠AHG=90°，∵AH=AH，∴△AHF≌△AHG（ASA），∴AF=AG，∴△AFG是等腰三角形．（2）證明：如圖2中，過點(diǎn)O作OL∥AB交DF于L，則∠AFG=∠OLG．∵AF=AG，∴∠AFG=∠AGF，∵∠AGF=∠OGL，∴∠OGL=∠OLG，∴OG=OL，∵OL∥AB，∴△DLO∽△DFB，∴，∵四邊形ABCD是矩形，∴BD=2OD，∴BF=2OL，∴BF=2OG．（3）解：如圖3中，過點(diǎn)D作DK⊥AC于K，則∠DKA=∠CDA=90°，∵∠DAK=∠CAD，∴△ADK∽△ACD，∴，∵S1=?OG?DK，S2=?BF?AD，又∵BF=2OG，，∴，設(shè)CD=2x，AC=3x，則AD=，∴．（4）解：設(shè)OG=a，AG=k．①如圖4中，連接EF，當(dāng)點(diǎn)F在線段AB上時，點(diǎn)G在OA上．∵AF=AG，BF=2OG，∴AF=AG=k，BF=2a，∴AB=k+2a，AC=2（k+a），∴AD2=AC2﹣CD2=[2（k+a）]2﹣（k+2a）2=3k2+4ka，∵∠ABE=∠DAF=90°，∠BAE=∠ADF，∴△ABE∽△DAF，∴，∴，∴，由題意：=AD?（k+2a），∴AD2=10ka，即10ka=3k2+4ka，∴k=2a，∴AD=，∴BE==，AB=4a，∴tan∠BAE=．②如圖5中，當(dāng)點(diǎn)F在AB的延長線上時，點(diǎn)G在線段OC上，連接EF．∵AF=AG，BF=2OG，∴AF=AG=k，BF=2a，∴AB=k﹣2a，AC=2（k﹣a），∴AD2=AC2﹣CD2=[2（k﹣a）]2﹣（k﹣2a）2=3k2﹣4ka，∵∠ABE=∠DAF=90°，∠BAE=∠ADF，∴△ABE∽△DAF，∴，∴，∴，由題意：=AD?（k﹣2a），∴AD2=10ka，即10ka=3k2﹣4ka，∴k=，∴AD=，∴，AB=，∴tan∠BAE=，綜上所述，tan∠BAE的值為或．【點(diǎn)睛】本題是一道綜合題，主要涉及到等腰三角形的判定及其性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形中位線定理、相似三角形的判定及其性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用所學(xué)到的相關(guān)知識．15．（1）見解析；（2）2：1；（3）點(diǎn)Q是AB邊的四等分點(diǎn)，點(diǎn)E是AD邊的五等分點(diǎn)，理由見解析【分析】（1）如圖1，連接PC，根據(jù)正方形的性質(zhì)、HL定理證明△CD′P≌△CBP，根據(jù)全等三角形的性解析：（1）見解析；（2）2：1；（3）點(diǎn)Q是AB邊的四等分點(diǎn)，點(diǎn)E是AD邊的五等分點(diǎn)，理由見解析【分析】（1）如圖1，連接PC，根據(jù)正方形的性質(zhì)、HL定理證明△CD′P≌△CBP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論；（2）設(shè)BP＝x，根據(jù)翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、勾股定理列出方程，解方程即可；（3）如圖2，連接QM，證明Rt△AQM≌Rt△D′QM（HL），得到AQ＝D′Q，設(shè)正方形ABCD的邊長為1，AQ＝QD′＝y(tǒng)，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可．【詳解】（1）證明：如圖1，連接PC．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，∴∠MD′C＝∠D＝90°，∴∠CD′P＝∠B＝90°，在Rt△CD′P和Rt△CBP中，，∴Rt△CD′P≌Rt△CBP（HL），∴BP＝D′P；（2）解：設(shè)正方形紙片ABCD的邊長為1．則AM＝DM＝D′M＝．設(shè)BP＝x，則MP＝MD′+D′P＝DM+BP＝+x，AP＝1﹣x，在Rt△AMP中，根據(jù)勾股定理得AM2+AP2＝MP2．∴（）2+（1﹣x）2＝（+x）2，解得x＝，∴BP＝，AP＝，∴AP：BP＝2：1，故答案為：2：1．（3）解：點(diǎn)Q是AB邊的四等分點(diǎn)，點(diǎn)E是AD邊的五等分點(diǎn)．理由：如圖2，連接QM．∴∠QD′M＝180°﹣∠MD′C＝90°，∴∠QD′M＝∠A＝90°．在Rt△AQM和Rt△D′QM中，，∴Rt△AQM≌Rt△D′QM（HL），∴AQ＝D′Q，設(shè)正方形ABCD的邊長為1，AQ＝QD′＝y(tǒng)，則QP＝AP﹣AQ＝﹣y．在Rt△QPD′中，根據(jù)勾股定理得QD′2+D′P2＝QP2．∵D′P＝BP＝，∴y2+（）2＝（﹣y）2，解得y＝．∴AQ：AB＝1：4，即點(diǎn)Q是AB邊的四等分點(diǎn)，∵EF∥AB，∴，即，解得AE＝．∴點(diǎn)E為AD的五等分點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，熟練掌握折疊的性質(zhì)及方程思想是解題的關(guān)鍵．16．（1）；（2）a2+b2=5c2，證明見解析；（3）4【分析】（1）首先證明△APB，△PMN都是等腰直角三角形，求出PA、PB、PN、PM，再利用勾股定理即可解決問題．（2）結(jié)論a2+b2=解析：（1）；（2）a2+b2=5c2，證明見解析；（3）4【分析】（1）首先證明△APB，△PMN都是等腰直角三角形，求出PA、PB、PN、PM，再利用勾股定理即可解決問題．（2）結(jié)論a2+b2=5c2．設(shè)MP=x，NP=y，則AP=2x，BP=2y，利用勾股定理分別求出a2、b2、c2即可解決問題．（3）取AB中點(diǎn)H，連接FH并且延長交DA的延長線于P點(diǎn)，首先證明△ABF是中垂三角形，利用（2）中結(jié)論列出方程即可解決問題．【詳解】（1）解：如圖中，∵CN=AN，CM=BM，∴MN∥AB，MN=AB=2，∵tan∠PAB=1，∴∠PAB=∠PBA=∠PNM=∠PMN=45°，

∴PN=PM=2，PB=PA=4，

∴AN=BM=，∴b=AC=2AN=4，a=BC=4，∴，故答案為：；（2）結(jié)論a2+b2=5c2．證明：如圖中，連接MN．∵AM、BN是中線，

∴MN∥AB，MN=AB，∴△MPN∽△APB，∴，設(shè)MP=x，NP=y，則AP=2x，BP=2y，

∴a2=BC2=4BM2=4(MP2+BP2)=4x2+16y2，b2=AC2=4AN2=4(PN2+AP2)=4y2+16x2，c2=AB2=AP2+BP2=4x2+4y2，∴a2+b2=20x2+20y2=5(4x2+4y2)=5c2．（3）解：如圖中，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AE∥BF，∴，在△AGE和△FGB中，，∴△AGE≌△FGB，

∴AG=FG，取AB中點(diǎn)H，連接FH并且延長交DA的延長線于P點(diǎn)，

同理可證△APH≌△BFH，

∴AP=BF，PE=2BF=CF，

即PE∥CF，PE=CF，

∴四邊形CEPF是平行四邊形，

∴FP∥CE，

∵BE⊥CE，

∴FP⊥BE，即FH⊥BG，

∴△ABF是中垂三角形，

由（2）可知AB2+AF2=5BF2，∵AB=3，BF=AD=，∴9+AF2=5×，∴AF=4．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了三角形中位線定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會添加常用輔助線構(gòu)造全等三角形，學(xué)會利用新的結(jié)論解決問題，屬于中考壓軸題．17．（1）BM＝PD；（2）見解析（3）或【分析】（1）當(dāng)n＝1時四邊形ABCD和四邊形AMNP均為正方形，所以AM=AP,AB=AD，從而得出BM=PD，再根據(jù)得出，從而得出結(jié)論；（解析：（1）BM＝PD；（2）見解析（3）或【分析】（1）當(dāng)n＝1時四邊形ABCD和四邊形AMNP均為正方形，所以AM=AP,AB=AD，從而得出BM=PD，再根據(jù)得出，從而得出結(jié)論；（2）連接AC，證明,即可求解；（3）分兩種情況考慮：通過證得出對應(yīng)邊數(shù)量關(guān)系，設(shè)，則解直角三角形AQM，從而計(jì)算出QM的長度，從而求算CN．【詳解】（1）解：∵當(dāng)n＝1時四邊形ABCD和四邊形AMNP均為正方形∴AM=AP,AB=AD∴BM＝PD又∵∴∴（2）CN與PD之間的數(shù)量關(guān)系發(fā)生變化，.理由：連接AC，如圖：在矩形ABCD和矩形AMNP中，∵.AD=2AB，AP=2AM，∴，∴.易得∴△ANC∽△APD∴∴（3）分兩種情況考慮：①如圖：∵已知AD＝4，AP＝2,∴AB=2,AM=PN=1由圖知：∴設(shè)，則，在直角三角形AQM中：解得：（舍）∴，∴∴②如圖：由①可得：，，MN=2∴【點(diǎn)睛】本題考查矩形與旋轉(zhuǎn)、相似等綜合，有一定的難度，轉(zhuǎn)化相關(guān)的線段與角度是解題關(guān)鍵．18．（1）=；（2）成立，證明見解析；（3）或【分析】（1）證明是等腰直角三角形即可．（2）結(jié)論成立．取的中點(diǎn)，連接，．證明，推出，再證明，可得結(jié)論．（3）分兩種情形：如圖中，取的中點(diǎn)，連接．當(dāng)解析：（1）=；（2）成立，證明見解析；（3）或【分析】（1）證明是等腰直角三角形即可．（2）結(jié)論成立．取的中點(diǎn)，連接，．證明，推出，再證明，可得結(jié)論．（3）分兩種情形：如圖中，取的中點(diǎn)，連接．當(dāng)點(diǎn)在線段上時，如圖中，當(dāng)點(diǎn)在線段上時，分別利用勾股定理求解即可．【詳解】解：（1）如圖（1）中，，都是等腰直角三角形，，，，，故答案為：．（2）如圖（2）中，結(jié)論成立．理由：取的中點(diǎn)，連接，．，，，，，，，都是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，，，．（3）如圖中，取的中點(diǎn)，連接．當(dāng)點(diǎn)在線段上時，，，，，，在中，，．如圖中，當(dāng)點(diǎn)在線段上時，同法可得，，，綜上所述，的長為或．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題．19．動手實(shí)踐：，、、；（1）5，10；（2）見解析；（3）【分析】動手實(shí)踐：由等腰Rt△AEF與正方形ABCD可得AF=AE，AB=AD，∠ABC=∠BAD=90°，可得出∠BAF=∠DAE，即可得解析：動手實(shí)踐：，、、；（1）5，10；（2）見解析；（3）【分析】動手實(shí)踐：由等腰Rt△AEF與正方形ABCD可得AF=AE，AB=AD，∠ABC=∠BAD=90°，可得出∠BAF=∠DAE，即可得△ADE≌△ABF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠ABF=∠D=90°，則∠ABF+∠ABC=180°，即F、B、C三點(diǎn)共線；（1）若n=2，則DC=2DE，即點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，可證出△ADE≌△ABF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得FB=DE=CD=AB，再證出△FBG∽△FCE，可得，可得BG=CE=AB，即可得出，根據(jù)三角形的面積公式分別表示S△AGE和S△BGF，即可得出S△AGE和S△BGF的比值；（2）若n=3，則DC=3DE，由（1）得△ADE≌△ABF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得FB=DE=CD=AB，再證出△FBG∽△FCE，可得，可得4BG=CE=AB，可得出BG==AB，即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)AG為GB的6倍得AG=6GB，則AG=AB=CD，BG=CD，由（1）得△FBG∽△FCE，則，可得出BG?FC=EC?FB，即CD（BF+BC）=（DC-DE）BF，設(shè)CD=x，DE=a，由DE=BF，BC=CD可得x2-6ax+7a2=0，解得：x=（3+）a，或x=（3-）a，即CD=（3+）DE，或CD=（3-）DE，n=3+或3-．【詳解】解：動手實(shí)踐：∵等腰Rt△AE