高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省南陽市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中質(zhì)量評估數(shù)學(xué)試題一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.若向量是直線的一個(gè)方向向量，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)直線的傾斜角為，若向量是直線的一個(gè)方向向量，則直線的斜率為，因?yàn)椋?故選：A.2.下列橢圓的形狀更接近于圓的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對于A，，，則，所以；對于B，，，則，所以；對于C，，，則，所以；對于D，，，則，所以.因?yàn)椋詸E圓的形狀更接近于圓.故選：D.3.已知點(diǎn)與關(guān)于直線對稱，則的值分別為（）A.1，3 B.， C.-2，0 D.，【答案】B【解析】，若點(diǎn)與關(guān)于直線對稱，則直線與直線垂直，直線的斜率是，所以，得.線段的中點(diǎn)在直線上，則，得故選:B4.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C：的焦點(diǎn)，點(diǎn)在C上，且，則C的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由拋物線的定義，可知，又，，則，即，由點(diǎn)在C上，得，結(jié)合，解得.所以C的方程為.故選：B.5.雙曲線：的左右焦點(diǎn)分別為，，一條漸近線方程為，若點(diǎn)在雙曲線上，且，則（）A.7 B.9 C.1或9 D.3或7【答案】B【解析】由，可得，則.又因在雙曲線，則由雙曲線定義，有，可得.故選：B6.橢圓上的兩點(diǎn)A，B關(guān)于直線對稱，則弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C.-1,1 D.【答案】A【解析】設(shè)，則其中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，兩式相減可得，即，因?yàn)锳，B關(guān)于直線對稱，則，又，所以，即，所以，且點(diǎn)在直線上，則，解得，所以.故選：A7.已知P為拋物線上的一點(diǎn)，過P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由圓的方程，則圓心，半徑，結(jié)合題意作圖如下：由與圓相切，則，且，設(shè)Px,y，則，可得，的最小值為，的最大值為.故選：B.8.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，且，直線過且與該雙曲線的一條漸近線平行，與雙曲線的交點(diǎn)為，若的內(nèi)切圓半徑恰為，則此雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)雙曲線的半焦距為，則，由對稱性，不妨令與平行的漸近線為，則直線方程為：，即，設(shè)的內(nèi)切圓與三邊相切的切點(diǎn)分別為，，，如圖所示，則，即，而軸，圓半徑為，則，點(diǎn)到直線的距離：，整理得，且，解得，又因?yàn)?，可得，所以雙曲線的離心率，故選：D.二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.以下四個(gè)命題為真命題的是（）A.若、、三點(diǎn)共線，則m的值為2B.直線的傾斜角的范圍是C.已知點(diǎn)，，過點(diǎn)的直線與線段相交，則直線的斜率k的取值范圍是D.直線與直線平行，則【答案】BCD【解析】對于A，取，，由題意可得，解得，故A錯(cuò)誤；對于B，由直線方程，則斜率，由，則，設(shè)直線的傾斜角為，則，由，解得，故B正確；對于C，設(shè)，由題意可作圖如下：直線的斜率，直線的斜率，由圖可知直線繞點(diǎn)按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到直線，則，解得，故C正確；對于D，由題意可得，則，，解得a=2或，當(dāng)a=2時(shí)，，不合題意；當(dāng)a=-1時(shí)，，符合題意，故D正確.故選：BCD.10.已知，直線：過定點(diǎn)A，：過定點(diǎn)B，與交于點(diǎn)M，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.點(diǎn)M的軌跡方程是C.的最大值是25 D.的最大值為【答案】AB【解析】對A,,所以，故A正確；對于B，直線：可化為，所以定點(diǎn)為，直線：可化為，定點(diǎn)為，因?yàn)椋?，設(shè)Mx,y，則，所以，化簡可得，故B正確；對于C，根據(jù)選項(xiàng)B可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，此時(shí)的最大值是，故C錯(cuò)誤；對于D，設(shè)，則，所以，即的最大值為，故D錯(cuò)誤；故選：AB.11.曲線C是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離的積等于3的點(diǎn)P的軌跡，則下列結(jié)論正確的是（）A.曲線C關(guān)于坐標(biāo)軸對稱 B.點(diǎn)P到原點(diǎn)距離的最大值為2C.周長的最小值為 D.點(diǎn)P到y(tǒng)軸距離的最大值為【答案】ABC【解析】設(shè)，由題意可得，整理可得曲線，設(shè)，則，對于A，任意取曲線的點(diǎn)，即，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，，顯然成立，所以曲線關(guān)于軸對稱，同理可得曲線關(guān)于軸對稱，故A正確；對于B，由是與的中點(diǎn)，則，，當(dāng)共線時(shí)，取得最大值，，且，取得最大值，所以取得最大值，故B正確；對于C，的周長為，當(dāng)且僅當(dāng)，等號成立，故C正確；對于D，在中，由余弦定理可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，取得最大值，所以的面積取得最大值，點(diǎn)到軸的距離取得最大值，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是__________.【答案】【解析】，解得，故實(shí)數(shù)k取值范圍是.故答案為：13.已知，，，若平面內(nèi)滿足到直線：的距離為1的點(diǎn)P恰有3個(gè)，則________.【答案】【解析】設(shè)，由，得，整理得，，即點(diǎn)P的軌跡是圓，圓心在原點(diǎn)，半徑為2.由題意，該圓上恰有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則圓心到直線的距離為1，即，解得.故答案為：.14.已知P，Q分別在直線：與直線：上，且，點(diǎn)，，則的最小值為________.【答案】【解析】因?yàn)?，，所以直線與間的距離為，又，故，過作直線垂直于，如圖，則可設(shè)直線的方程為，代入，得，則，所以直線的方程，將沿著直線往上平移個(gè)單位到點(diǎn)，設(shè)，則，解得或（舍去），則，連接交直線于點(diǎn)P，過P作于Q，連接BQ，有，即四邊形為平行四邊形，則，即有，顯然是直線上的點(diǎn)與點(diǎn)距離和的最小值，因此的最小值，即的最小值，因?yàn)椋?，所以，所以的最小值?故答案為：.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知拋物線，焦點(diǎn)為.（1）求的坐標(biāo)及拋物線的準(zhǔn)線方程；（2）已知點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，定點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)在拋物線C上移動時(shí)，求的最小值.解：（1）將拋物線：化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為0,1，準(zhǔn)線方程為.（2）由拋物線的定義知，點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離即為點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離，為點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離與點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離之和，要使得最小，則點(diǎn)P，A在一條垂直于準(zhǔn)線的直線上，故最小值即為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為3，所以，的最小值為3.16.已知點(diǎn)P是直線：與直線：的交點(diǎn).（1）求過點(diǎn)P且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程；（2）設(shè)Q為圓E：上的一個(gè)動點(diǎn)，求中點(diǎn)M的軌跡方程.解：（1）聯(lián)立方程組，解得，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為.若直線的截距為0，即直線經(jīng)過原點(diǎn)，則直線方程為，即；若直線的截距不為0，設(shè)直線方程為，將點(diǎn)代入，得，此時(shí)直線方程為，所以，過點(diǎn)P且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為或.（2）設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，由點(diǎn)M是線段中點(diǎn)可得，解得，由于點(diǎn)在圓：上，所以，化簡得，所以點(diǎn)M的軌跡方程為.17.已知橢圓C：的左焦點(diǎn)為F，若C的焦距為且經(jīng)過點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn).（1）求橢圓方程；（2）若直線與x軸不垂直，在x軸上是否存在點(diǎn)使得恒成立?若存在，求出的值；若不存在，說明理由.解：（1）由題意，，即，則①；又點(diǎn)在橢圓C上，故②，聯(lián)立①②解方程組得，，，所以橢圓C方程為.（2）假設(shè)存在點(diǎn)，使得恒成立，易知點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)Px1,y1，Qx聯(lián)立方程組得，，則由根與系數(shù)的關(guān)系得，，，（*）若滿足，則，即，整理得，，又，，代入上式得，，整理得，，將（*）式代入得，，又，解得，故存在點(diǎn)使得恒成立.18.已知雙曲線C：的焦點(diǎn)到漸近線的距離為1，A，B分別是C的左、右頂點(diǎn)，P是C上異于A，B的一點(diǎn)，直線，的斜率之積為.（1）求雙曲線C的方程；（2）已知過點(diǎn)的直線：，交C的左、右兩支于D，E兩點(diǎn)（異于A，B）.①求m的取值范圍；②若，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線的方程.解：（1）設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，漸近線方程為，即，根據(jù)題意，，雙曲線的方程為.設(shè)點(diǎn)Px0,y0由，得，，根據(jù)題意，，解得，所以雙曲線C的方程為.（2）（i）設(shè)點(diǎn)，，聯(lián)立方程組得，，易知恒成立，由根與系數(shù)的關(guān)系，，.因?yàn)橹本€與雙曲線左右兩支相交，所以m需滿足，解得或.（ii）由圖易知，，則，所以，解得或，由（i）知，得，直線的方程為，即或.19.通過研究，已知對任意平面向量，把繞其起點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角得到向量，叫做把點(diǎn)B繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角得到點(diǎn)P，（1）已知平面內(nèi)點(diǎn)，點(diǎn)，把點(diǎn)B繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)P，求點(diǎn)P的坐標(biāo)：（2）已知二次方程的圖像是由平面直角坐標(biāo)系下某標(biāo)準(zhǔn)橢圓繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)所得的斜橢圓C，（i）求斜橢圓C的離心率；（ⅱ）過點(diǎn)作與兩坐標(biāo)軸都不平行的直線交斜橢圓C于點(diǎn)M、N，過原點(diǎn)O作直線與直線垂直，直線交斜橢圓C于點(diǎn)G、H，判斷是否為定值，若是，請求出定值，若不是，請說明理由.解：（1）由已知可得，則，設(shè)，則，所以，，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為