高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省秦皇島市青龍滿族自治縣2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題知，直線恒過定點(diǎn)，曲線表示圓心為，半徑為1，且位于直線右側(cè)的半圓，包括點(diǎn)，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，與曲線有2個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，不滿足題意，直線記為，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，與曲線有1個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，滿足題意，直線記為，如圖，當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，由，解得，直線記為，由圖知，當(dāng)或，與曲線有1個(gè)交點(diǎn)，故選：C2.已知向量，，是一組單位向量，且兩兩垂直．若，，則的值為（）．A.7 B. C.28 D.11【答案】C【解析】向量，，是一組單位向量，且兩兩垂直，所以且．因?yàn)椋?，所以．故選：C．3.已知橢圓一個(gè)焦點(diǎn)，離心率為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)闄E圓一個(gè)焦點(diǎn)，所以橢圓的的焦點(diǎn)在橫軸上，且，又因?yàn)樵摍E圓的離心率為，所以有，所以，因此橢圓的方程為：，故選：D4.已知，，，若共面，則實(shí)數(shù)等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：因?yàn)楣裁?，所以存在?shí)數(shù)，使得，所以所以，解得：故選：D5.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，，若以線段為直徑的圓與軸相切，且切點(diǎn)為，則的方程為（）A.或 B.或C.或 D.或【答案】D【解析】由題意知，，設(shè)點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，則，由拋物線的定義知，①，，因?yàn)橐跃€段為直徑的圓與軸相切于點(diǎn)，，解得，而，②，由①②解得，或，所以，拋物線的方程為或．故選：D．6.將上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，得到曲線，若直線與曲線交于兩點(diǎn)，且中點(diǎn)坐標(biāo)為，那么直線的方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】將上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模瑒t設(shè)曲線上的點(diǎn)坐標(biāo)為，故在上，故，即曲線方程為.設(shè)，則，，利用點(diǎn)差法有，，又中點(diǎn)坐標(biāo)為，故，即，直線的斜率為.故直線的方程為，化簡可得.故選：B7.已知圓柱的高為，它的兩個(gè)底面的圓周在半徑為的同一個(gè)球的球面上.則球的體積與圓柱的體積的比值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為，則，所以圓柱的體積為，又球的體積為所以球的體積與圓柱的體積的比故選D8.已知為直角三角形，，點(diǎn)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖建系，,設(shè)，，，則.故選:A.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9.下列說法中，正確的有（）A.過點(diǎn)且在，軸截距相等的直線方程為B.直線的縱截距是-2．C.直線的傾斜角為60°D.過點(diǎn)并且傾斜角為90°的直線方程為【答案】BD【解析】A：因?yàn)橹本€y=2x也過點(diǎn)且在，軸截距相等，故錯(cuò)誤；：對(duì)直線方程，令x=0，可得，則其縱截距為-2，故B正確；C：直線的斜率，設(shè)其傾斜角為，則，又，故該直線傾斜角為30°，故C錯(cuò)誤；D：過點(diǎn)并且傾斜角為90°的直線為，故正確.故選：.10.已知直線與圓交于兩點(diǎn)，為優(yōu)弧上的一點(diǎn)（不包括），若，則的值可能為（）A.2 B.-4 C.1 D.-3【答案】CD【解析】由，得，取的中點(diǎn)，連接，如圖，則.由，得，則，所以圓心到直線的距離，得或，故C、D正確.故選：CD.11.在四棱錐中，已知底面為正方形，平面、平面都與平面垂直，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，則（）A.四邊形BCTS為等腰梯形B.不存在點(diǎn)，使得∥平面C.存在點(diǎn)，使得D.點(diǎn)到兩點(diǎn)距離和的最小值為【答案】BC【解析】因?yàn)槠矫?、平面都與底面垂直，平面平面，所以平面．選項(xiàng)A：如下圖所示：因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，故，又，所以，故四邊形為梯形，但，，故四邊形BCTS不是等腰梯形，故A錯(cuò)誤．選項(xiàng)B：連接，如下圖：因?yàn)槠矫媾c平面相交，而平面，且不會(huì)與平面和平面的交線平行，所以不存在點(diǎn)，使得平面，故B正確．選項(xiàng)C：連接，設(shè)，易知為的中點(diǎn)，如下圖所示，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，則，因?yàn)槠矫?，所以平面．又平面，所以．因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以．因?yàn)椋移矫?，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，故C正確．選項(xiàng)D：易知，將沿著展開，使與在同一個(gè)平面上，連接交于點(diǎn)，如圖所示，則由對(duì)稱性可得，點(diǎn)到兩點(diǎn)距離和的最小值為．在中，其斜邊上的高，所以，所以D錯(cuò)誤．故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.已知直線和，若，則實(shí)數(shù)________．【答案】1或【解析】因?yàn)椋?，即，解得或．故答案為?或.13.如圖，已知平面，，，則向量在上的投影向量等于____.【答案】【解析】平面，則，向量在上的投影向量為故答案為：.14.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為為橢圓上任意一點(diǎn)，為圓：上任意一點(diǎn)，則的最小值為________________.【答案】【解析】由題意知為橢圓上任意一點(diǎn)，為圓：上任意一點(diǎn)，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)取等號(hào)，而,故的最小值為，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.二次函數(shù)與坐標(biāo)軸交于三點(diǎn)，圓為的外接圓，斜率為1的直線與圓相交于不同兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且.（1）求圓的方程；（2）求直線的方程.解：（1）令，得，令得，由題設(shè)知：，設(shè)圓心為，則，∵，弦的中點(diǎn)為，∴弦BC的垂直平分線的方程為：，由得圓心為，，圓的方程為：；（2）設(shè)，直線，∵，即，則，即，得，，∴，代入中得：，∴，直線方程為：16.在正四棱柱中，，為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若為棱的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：以所在直線為軸，以所在直線為軸，以所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則有，，，，，所以，，，；，，，又，平面解：（2）由（1）知，平面的法向量為，易知，設(shè)直線與平面所成角為，則.故直線與平面所成角的正弦值為.17.已知橢圓過點(diǎn)，離心率為.直線與橢圓交于兩點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）若，求直線的斜率.解：（1）依題意，解得，故橢圓的方程為.（2）依題意，聯(lián)立方程組:，消去整理得，，故，因?yàn)?，所以，所以，，即；所以，即，?18.2021年6月17日，神舟十二號(hào)載人飛船順利升空并于6.5小時(shí)后與天和核心艙成功對(duì)接，這是中國航天史上的又一里程碑.如圖1，是神舟十二號(hào)飛船推進(jìn)艙及其推進(jìn)器的簡化示意圖，半徑相等的圓，，，與圓柱底面相切于，，，四點(diǎn)，且圓與，與，與，與分別外切，線段為圓柱的母線.點(diǎn)為線段中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且已知圓柱底面半徑為2，.（1）線段上是否存在一點(diǎn)使得平面，若存在，求出的長；若不存在請(qǐng)說明理由.（2）如圖2，是飛船推進(jìn)艙與即將對(duì)接的天和核心艙的相對(duì)位置的簡化示意圖.天和核心艙為底面半徑為2的圓柱，它與飛船推進(jìn)艙共軸，即，，，共線.核心艙體兩側(cè)伸展出太陽翼，其中三角形為以為斜邊的等腰直角三角形，四邊形為矩形.已知推進(jìn)艙與核心艙的距離為4，即，且，.在對(duì)接過程中，核心艙相對(duì)于推進(jìn)艙可能會(huì)相對(duì)作出逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)你求出在艙體相對(duì)距離保持不變的情況下，在艙體相對(duì)旋轉(zhuǎn)過程中，直線與平面所成角的正弦值的最大值.解：（1）依題意，由對(duì)稱性知，平面，由線段為圓柱的母線，得平面，而平面，則，又平面，則平面，平面，則，要使平面，只需，則，在直角梯形中，，點(diǎn)在線段上，且，則點(diǎn)到直線距離，點(diǎn)到直線的距離，則，，因此，而，所以存在符合條件的點(diǎn)，.（2）以平面為參照面，令平面與圓交于，點(diǎn)在圓上，在圓上運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)，設(shè)，在圓所在平面內(nèi)過作于，由平面垂直于圓所在平面，則平面，連，則為直線與平面所成角，由圖知，的正弦值最大時(shí)，，，在直角梯形中，，，，設(shè)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，直線與平面所成角的正弦值的最大值為.19.在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：（）的離心率且橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最大值為3.（1）求橢圓的方程；（2）在橢圓上，是否存在點(diǎn)，使得直線：與