高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省保定市六校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚．3．考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．4．本卷命題范圍：人教A版必修第一冊第五章第5～7節(jié)，必修第二冊第六章～第七章．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知i為虛數(shù)單位，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】.故選：B2.已知向量，，若，則（）．A. B.2 C. D.5【答案】C【解析】因為，所以，所以，所以．故選：C．3.如圖，已知為平行四邊形內(nèi)一點，，則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵，∴.故選：A.4.中，“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】因為，由大角對大邊可得，由正弦定理得，且，所以，故，充分性成立，同理當時，，，由正弦定理可得，由大邊對大角可得，必要性成立，“”是“”的充要條件.故選：C5.已知平面向量、滿足，，，則在上的投影向量為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為，則，且，，則，可得，所以，在上的投影向量為.故選：B.6.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，，，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為為的內(nèi)角，則，由二倍角的余弦公式可得，解得，由正弦定理可得，所以，.故選：A.7.已知函數(shù)在區(qū)間上至少有3個零點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以，因為函數(shù)在區(qū)間上至少有3個零點，所以，解得，所以的取值范圍是.故選：C.8.已知正方形的邊長為4，點滿足，則的最大值為（）A. B.0 C.12 D.【答案】D【解析】以為坐標原點，，所在直線分別為，軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，則，，，，，因為，，，所以，所以當時，取得最大值.故選:D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知復(fù)數(shù)，，為的共軛復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論中一定成立的是（）A.為實數(shù) B.C.若，則 D.【答案】ABD【解析】對于A，設(shè)復(fù)數(shù)，則，則，為實數(shù)，故A正確；對于B，，，則，故B正確；對于C，若，不妨取，則不成立，故C錯誤；對于D，，則，，則，則，故D正確.故選：ABD.10.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C.函數(shù)在上單調(diào)遞減D.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度可得函數(shù)的圖象【答案】AB【解析】由圖知，，所以，解得，因為的圖象過點，所以，又因為，所以，所以．因為，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，故A正確；，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，故B正確；令，，解得，，令，得，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故C錯誤；的圖象向右平移個單位長度，可得，故D錯誤．故選：AB．11.已知是邊長為3的等邊三角形，點在內(nèi)或邊界上，則下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則點P的軌跡長度為 D.若，則【答案】ABD【解析】對于A,當時，為的中點，則,故，A正確，對于B，，則，由余弦定理可得，B正確，對于C,若，則點P的軌跡為以圓心，以為半徑的圓（在內(nèi)部及邊界部分），故長度為，C錯誤，對于D，當，則位于邊的高上，故,又，故，D正確，故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.復(fù)數(shù)z滿足，則________．【答案】或【解析】設(shè)，則，所以解得或所以或．故答案為：或．13.的三個內(nèi)角所對應(yīng)的邊分別為，若，角的平分線交于，則_____．【答案】2【解析】由圖可知，記，方法一：由余弦定理可得，，因為，解得：，由可得，，解得：．方法二：由余弦定理可得，，因為，解得：，由正弦定理可得，，解得：，因為，所以，又，所以，即．故答案為：.14.費馬點是在三角形中到三個頂點距離之和最小的點，具體位置取決于三角形的形狀，如果三角形的三個內(nèi)角均小于，費馬點是三角形內(nèi)部對三邊張角均為的點；如果三角形有一個內(nèi)角大于或等于，費馬點就是該內(nèi)角所在的頂點.已知中，角所對的邊分別為，為費馬點.若，則的值為______.【答案】【解析】由，顯然最大角為，且，所以為小于的鈍角，且，所以費馬點在內(nèi)部，且，所以，則，所以，由.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知是虛數(shù)單位，表示的共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)滿足（1）求的值；（2）在復(fù)平面內(nèi)，若對應(yīng)的點在第三象限，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）令且，則，所以，則，可得，所以，則；（2）由，故對應(yīng)點在第三象限，則，所以，即.16.記銳角三角形的內(nèi)角的對邊分別為，已知，．（1）求；（2）求的最大值．解：（1）因為，所以．又為銳角三角形，故，則．因為，所以．又，故．（2）由正弦定理得，則，．由（1）知，則．所以，因為為銳角三角形，所以，所以，所以，所以當時，即時，取得最大值．17.已知，且的圖象上相鄰兩條對稱軸之間的距離為.（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（3）若方程在有兩個根，求的取值范圍.解：（1）函數(shù)，由的圖象上相鄰兩條對稱軸之間的距離為，得的最小正周期，解得，所以函數(shù)的解析式為.（2）由，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.（3）當時，，由，得，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)值從增大到0，在上單調(diào)遞減，函數(shù)值從0減小到，當時，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，即方程在有兩個根，所以的取值范圍.18.如圖，圓的半徑為3（圓心為），其中為圓上的兩點．（1）若，當為何值時，與垂直？（2）若為的重心，直線過點交邊于點，交邊于點，且，，，求的最小值；（3）若的最小值為1，求的值．解：（1）因為，，所以，若與垂直，則，所以，所以，解得，即時，與垂直．（2）因為為的重心，所以，又因為，，所以，由于三點共線，所以存在實數(shù)，使得，所以，化簡得，所以．顯然，，則，當且僅當時，即時等號成立，則的最小值為2．（3）設(shè)，與的夾角為θ，在中，，所以，又，所以當時，有最小值，所以，解得，即取最小值1時，．19.在平面直角坐標系中，為坐標原點，對任意兩個向量.作：，，當不共線時，記以為