高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省茂名市高州市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知向量，若，則的值為（）A. B. C.2 D.4【答案】D【解析】因?yàn)椋?，則，解出.故選：D.2.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】由，可得復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，所在的象限為第一象限.故選：A．3.已知向量，滿足，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)橄蛄?，滿足，，，所以．故選：A．4.某圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖扇形的弧長(zhǎng)為，扇形的半徑為5，則圓錐的體積為（）A. B.75 C. D.【答案】D【解析】設(shè)底面圓的半徑為，則，解得：，設(shè)圓錐的高為，則，則圓錐的體積為.故選：D5.在中，若滿足，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由正弦定理得，，由于，所以.故選：D6.如圖，不同在一個(gè)平面內(nèi)的三條平行直線和兩個(gè)平行平面相交，兩個(gè)平面內(nèi)以交點(diǎn)為頂點(diǎn)的兩個(gè)三角形是（）A.相似但不全等的三角形B.全等三角形C.面積相等的不全等三角形D.以上結(jié)論都不對(duì)【答案】B【解析】由題意知，所以平面，面，由面面平行的性質(zhì)定理，得，則四邊形為平行四邊形，.同理，.故選：B．7.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，則，即，由，則，聯(lián)立，解得，所以.故選：C.8.圭表是我國(guó)古代一種通過(guò)測(cè)量正午日影長(zhǎng)度來(lái)推定節(jié)氣的天文儀器，它包括一根水平長(zhǎng)尺（稱為“圭”）和一根直立于圭面的標(biāo)桿（稱為“表”）.如圖，利用圭表測(cè)得南京市在夏至日的早上和中午的太陽(yáng)高度角約為和.設(shè)表高為1米，則影差約為（參考數(shù)據(jù)：）（）A.2.747米 B.5.494米 C.8.241米 D.10.988米【答案】B【解析】在中，.在中，由正弦定理得，即，所以.故選：B二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，B正確；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，，D錯(cuò)誤.故選：BC10.下列說(shuō)法中正確的是（）A.在中，，則的面積為B.已知向量，則C.在中，若，則是等腰三角形D.已知向量與的夾角為鈍角，則的取值范圍是【答案】AC【解析】，故A正確；，故B錯(cuò)誤；記的中點(diǎn)為D，由于，因此中線垂直于，所以是等腰三角形，故C正確；與的夾角為鈍角，且，，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11.在正方體中，分別是棱，，的中點(diǎn)，，則（）A.平面 B.平面C.三點(diǎn)共線 D.平面平面【答案】CD【解析】對(duì)于A，如圖，連接，，則，連接，，設(shè)，交于點(diǎn)，由可得交于點(diǎn)，則平面，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B，由A知在平面內(nèi)，不在平面內(nèi)，所以與平面，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C，由A知，三點(diǎn)共線，所以C選項(xiàng)正確；對(duì)于D，連接，，因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，所以，平面，平面，故平面，即平面，又，平面，平面，故平面，，平面，故平面平面，所以D選項(xiàng)正確.故選：CD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.如圖：已知菱形，用斜二測(cè)畫(huà)法作出菱形的直觀圖即四邊形，則四邊形的面積為_(kāi)_________.【答案】【解析】作出直觀圖如下圖所示：由題意可知，四邊形為平行四邊形，且，，，.故答案為：.13.已知，是與方向相同的單位向量，若在上的投影向量為，則_______.【答案】4【解析】在上的投影向量為，所以4.故答案為：4.14.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)為偶函數(shù)，則__________.【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即，解得，由題意，因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，，所以，解得.故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明?證明過(guò)程及演算步驟.15.已知復(fù)數(shù)是一元二次方程（，）的根.（1）求的值；（2）若復(fù)數(shù)（其中）為純虛數(shù)，求復(fù)數(shù)的模.解：（1）因?yàn)槭且辉畏匠痰母?，所以也是一元二次方程的根，故，解?（2）因?yàn)閺?fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以，且，即.所以復(fù)數(shù)，故.16.記銳角三角形中內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.（1）求；（2）求的值；（3）若，且，求的面積.解：（1）因?yàn)?，由正弦定理得，由，所以，整理得，又，則，所以，故.（2）因?yàn)?，則，.（3）由（1），，則，且，解得，，由正弦定理，，又，，所以.17.如圖，在正三棱臺(tái)中，，，，分別是，的中點(diǎn)，為上一點(diǎn).（1）若是的中點(diǎn)，求證：平面；（2）若平面，求點(diǎn)的位置，并說(shuō)明理由.解：（1）取中點(diǎn)，連接，由三棱臺(tái)中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)可得，又，所以，平面，平面，故平面，又，分別是，的中點(diǎn)，所以，平面，平面，故平面，又，平面，平面，所以平面平面，又平面，所以平面；（2）在等腰梯形中，，，所以，又平面，平面，故平面，由平面，，平面，平面，所以平面平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以，在中，，所以，即為上靠近的三等分點(diǎn)處.18.函數(shù)的部分圖象如圖所示，該圖象與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)為最高點(diǎn)，的面積為．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若對(duì)任意的，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）由題意可知：的面積，可得，所以周期，則，由，得，又，于是，所以；（2）由，則，得，即．由，得，即在上恒成立，亦即，因?yàn)?，所以，解得，即?shí)數(shù)的取值范圍是．19.如圖，設(shè)是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，分別是與軸?軸正方向同向的單位向量.若向量，則把有序?qū)崝?shù)對(duì)叫做向量在坐標(biāo)系中的