高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省東莞市某校2025屆高三信息卷校本考試（二）數(shù)學試卷一、單選題1．設(shè)集合A=0,1，B=1,a,a+1，若A?B，則a=（A．-1 B．0 C．1 D．-1或0【答案】A【解析】由A?B可知a=0或a+1=0，解得a=0或a=-1；又因為a=0時，集合B中的元素不滿足互異性，舍去；所以a=-1.故選：A2．已知i是虛數(shù)單位，復數(shù)z1、z2在復平面內(nèi)對應的點坐標分別為1,3、-2,1，則z2A．5 B．2 C．2 D．2【答案】D【解析】由題意，z1=1+3iz2故選：D.3．已知a=1,1,b=2，且a在b方向上的投影向量為-12A．π4 B．π3 C．2π【答案】D【解析】a在b方向上的投影向量為acos由已知可得ab因為a=1,1，所以a=所以cosa,b所以a與b的夾角為3π故選：D.4．鏡面反射法是測量建筑物高度的重要方法，在如圖所示的模型中．已知人眼距離地面高度h=1.5m，某建筑物高h1=4.5m，將鏡子（平面鏡）置于平地上，人后退至從鏡中能夠看到建筑物的位置，測量人與鏡子的距離a1=1.2m，將鏡子后移aA．6m B．5m C．4m D．3m【答案】A【解析】如圖：設(shè)建筑物最高點為A，建筑物底部為O，第一次觀察時鏡面位置為B，第一次觀察時人眼睛位置為C處，第二次觀察時鏡面位置為D，設(shè)O到B之間的距離為a0由光線反射性質(zhì)得∠ABO=∠CBD，所以tan∠ABO=tan∠CBD，即同理可得h1a①②兩式相比得a0+aa代入①得a=h故選：A．5．如圖是函數(shù)fx=Asinωx+φA,ω>0,A．12 B．1 C．2 D．【答案】C【解析】由三角函數(shù)對稱性可得π2-0=T故選：C.6．古希臘數(shù)學家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積．如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓E：x2a2+y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點，中心為原點，橢圓E的面積為5πA．55 B．255 C．1【答案】B【解析】由題可知，5π=πab，即ab=5則有：F1F2=P所以PF2=2AF2=2可得：ab=5c=2a2=故選：B．7．二項式x+1x6的展開式中，把展開式中的項重新排列，則有理項互不相鄰的排法種A．A77種 B．A44A53種 C【答案】D【解析】二項式x+1Tr+1令6-3r2∈Z，得把展開式中的項重新排列，先把3項無理項全排列，再把4項有理項插入形成的4個空中，所以有理項互不相鄰的排法種數(shù)為A33故選：D.8．設(shè)D=x-a2+ex-2aA．2 B．2+1 C．3 D．【答案】A【解析】令Qx,ex，Pa,2a，則點Q在函數(shù)f容易知道gx=2x記拋物線焦點為F1,0，過P作拋物線的準線l:x=-1的垂線，垂足為M

則D=x-a當且僅當P在線段FQ上時，取最小值.設(shè)這時Q點坐標為Qx0,所以有ex0?ex所以FQ≥1-02故選：A.二、多選題9．已知空間中異面直線a,b所成的角為60°，若過空間中某點A的直線l與a,b所成的角都為θA．滿足θ=30°直線l有且只有1條 B．滿足θ=60°的直線C．滿足θ=90°的直線l有且只有1條 D【答案】ACD【解析】把異面直線a,b平移到相交直線a,b'，設(shè)其交點為P此時∠EPF=60°，過點P作直線c平分∠EPF，這時c與a,b所成的角為所以滿足θ=30°的直線l只有一條，故A把異面直線a,b平移到直線a,b'，設(shè)其交點為P則a,b所成的角角為60°，其補角為120當l經(jīng)過點P且為120°的角平分線時，l與a,b均成60設(shè)60°角的平分線為c，把c繞P旋轉(zhuǎn)，且再旋轉(zhuǎn)過程中保持與a,b所成角等于θ，則θ逐漸增大，上下旋轉(zhuǎn)各能得到一個位置，使l與a,b均成60所以這的直線l有3條，所以B錯誤.把異面直線a,b平移到相交直線a,b'，設(shè)其交點為此時∠EPF=60°，作直線d所以滿足θ=90°的直線l只有一條，所以C把異面直線a,b平移到相交到直線a,b'，設(shè)其交點為P，此時∠EPF=過點P作直線c平分∠EPF，這時c與a,b所成的角為最小角，且為30°作直線d垂直相交直線所在的平面，這時d與a,b所成的角取得最大角，且為90°綜上θ∈[30°,90故選：ACD.10．設(shè)函數(shù)fx=x-aA．當a=-1時，fx的圖象關(guān)于點0,-2B．當a=0時，方程fx+sinC．當a≥2時，a是fxD．存在實數(shù)a，fx【答案】ABD【解析】對于A選項，當a=-1時，fx因為f-x=-x所以fx的圖象關(guān)于點0,-2對稱，故A對于B選項，當a=0時，fx=x令f'x=0，可得x=0所以，函數(shù)fx在-∞,0上單調(diào)遞增，0,所以fx極大=f0=0由圖可知，直線y=-sin1與函數(shù)即a=0時，方程fx+sin1=0有對于C選項，f'當a=2時，f'x=3x-22≥0，此時函數(shù)對于D選項，當a=2時，函數(shù)fx在R上單調(diào)遞增，此時fx<f故選：ABD．11．若f=x4-y4-4x2+4y2,g=x+y，滿足f≤0且g≤4的點A．Γ的面積為16 B．Γ的周長為4C．Ω的面積為4π+8 D．Ω【答案】AB【解析】由f=x4-所以x-y=0或x+y=0或x2+y2=4由g=x+y=4，當x≥0，以-x代替x方程不變，曲線關(guān)于y軸對稱；以-y代替y方程不變，曲線關(guān)于x軸對稱；以-x、-y代替x、y方程不變，曲線關(guān)于原點對稱；所以曲線x+所以方程x+以0,4、4,0、0,-4、-4,0為頂點的正方形．滿足f≤0且g≤4即x2則x-yx+y≥0x所以滿足f≤0且g≤4的點x,y構(gòu)成的區(qū)域Γ如圖1陰影部分.其Γ的面積為12Γ的周長為2π×2+22滿足f≥0且g≤4即x2則x-yx+y≥0x所以滿足f≥0且g≤4的點x,y構(gòu)成的區(qū)域Γ如圖2陰影部分.其Ω的面積為12Ω的周長為2π×2+22故選：AB三、填空題12．若α+β=π3，則cosα+【答案】-【解析】因為α+β=π所以cos====3所以cosα+cosβ故答案為：-313．函數(shù)fx=x【答案】1【解析】因fx=x令t=xlnx，則則f則f'x>0得x>1e則fx在0,1e則fx的極小值點為x=故答案為：114．“四進制”是一種以4為基數(shù)的計數(shù)系統(tǒng)，使用數(shù)字0，1，2，3來表示數(shù)值．四進制在數(shù)學和計算的世界中呈現(xiàn)出多個維度的特性，對于現(xiàn)代計算機科學和技術(shù)發(fā)展有著深遠的影響．四進制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進制數(shù)的方法是通過將每一位上的數(shù)字乘以4的相應次方（從0開始），然后將所有乘積相加．例如：四進制數(shù)013轉(zhuǎn)換為十進制數(shù)為0×42+1×41+3×40=7；四進制數(shù)0033轉(zhuǎn)換為十進制數(shù)為0×43+0×42+3×41+3×40=15【答案】1【解析】設(shè)a,b,c,d∈1,2,3則4位四進制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進制為a×=a=aC若這個數(shù)能被3整除，則a+b+c+d能被3整除．當這個四進制數(shù)由1，2，3，3組成時，有A4當這個四進制數(shù)由1，1，2，2組成時，有C4這個四進制數(shù)由1，1，1，3組成時，有C4這個四進制數(shù)由2，2，2，3組成時，有C4這個四進制數(shù)都由3組成時，有1個．因為由1，2，3組成的4位四進制數(shù)共有34所以能被3整除的概率P=12+6+4+4+1故答案為：13四、解答題15．在四邊形ABCD中，AB//CD，AD=BD=CD=1.（1）若AB=32，求（2）若AB=2BC，求cos∠BDC解：（1）在三角形ABD中，根據(jù)余弦定理可得，cos∠A=由題得：∠A=∠ABD=∠BDC，所以cos∠BDC=在三角形BCD中，根據(jù)余弦定理可得，BC所以，BC=2（2）設(shè)AB=2BC=2a，在三角形ABD中，根據(jù)余弦定理可得，cos∠A=在三角形BCD中，根據(jù)余弦定理可得，cos∠BDC=所以2-a22=a，得：則cos∠BDC=16．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABB（1）求證：BB1⊥（2）若AB⊥BC，AB=1，BC=CC1=2（1）證明：如圖，取O為△ABC內(nèi)一點，作OE⊥AB，交AB于點E，作OF⊥BC，交BC于點F．因為平面ABB1A1⊥平面ABC且平面ABB1所以O(shè)E⊥平面ABB因為BB1?所以O(shè)E⊥BB1，同理得因為OE∩OF=O，且OE,OF?平面ABC，所以BB1⊥（2）解：因為BC，BA，BB1兩兩垂直，以由題意，得B0,0,0，C2,0,0，A1則BC=2,0,0，BA1=設(shè)平面A1BC的法向量為m令z1=-1，則y1=2，設(shè)平面A1BC1令x2=1，則y2=2，設(shè)二面角C-A1B-C1故二面角C-A1B-17．某工廠的質(zhì)檢部門對擬購買的一批原料進行抽樣檢驗，以判定是接收還是拒收這批原料.現(xiàn)有如下兩種抽樣檢驗方案：方案一：隨機抽取一個容量為10的樣本，并全部檢驗，若樣本中不合格品數(shù)不超過1個，則認為該批原料合格，予以接收.方案二：先隨機抽取一個容量為5的樣本，全部檢驗.若都合格，則予以接收；若樣本中不合格品數(shù)超過1個，則拒收；若樣本中不合格品數(shù)為1個，則再抽取一個容量為5的樣本，并全部檢驗，且只有第二批抽樣全部合格，才予以接收.假設(shè)擬購進的這批原料，合格率為p0<p<1，并用p作為原料中每件產(chǎn)品是合格品的概率.若每件產(chǎn)品的所需的檢驗費用為10元，且費用由工廠承擔（1）若p=23，記方案二中所需的檢驗費用為隨機變量X，求（2）分別計算兩種方案中，這批原料通過檢驗的概率，如果你是原料供應商，你希望該工廠的質(zhì)檢部門采取哪種抽樣檢驗方案？并說明理由.解：（1）依題意，X的可能取值為50，100.P(X=100)=CP(X=50)=1-P(X=100)=1-80故X的分布列為：（2）方案一通過檢驗的概率為P1方案二通過檢驗的概率為P2P=(10=5=-=-=-由0<p<1知：1>p>p2>又p5>0，1-p>0，所以P1所以供應商希望該工廠的質(zhì)檢部門采取方案二檢驗.18．已知雙曲線方程為x2a2-y2b2=1，F(xiàn)1，F(xiàn)2為雙曲線的左、右焦點，離心率為2，點P為雙曲線在第一象限上的一點，且滿足PF1·PF（1）求雙曲線的標準方程；（2）過點F2作直線l交雙曲線于A、B兩點，則在x軸上是否存在定點Q(m，0)使得QA?QB為定值，若存在，請求出解：（1）由題意可得e=ca=2，可得c＝2a，b2＝c2﹣a2＝3所以b=3a又因為PF1·PF2=0，|PF1||PF2|由|PF1|﹣|PF2|＝2a，所以可得|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|＝4a2，而|PF1|2+|PF2|2＝4c2，所以4c2﹣12＝4a2，可得b2＝3，a2＝1，所以雙曲線的方程為：x2-y2（2）由(1)可得F2(2，0)，當直線l的斜率為0時，l：y＝0，此時A(﹣1，0)，B(1，0)，由M(m，0)，則QA·QB=m2﹣1當l的斜率不為0時，設(shè)l：x＝ty+2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立x=ty+23x2-y2=3，整理可得：(3t2﹣1)y因為t2≠13，y1+y2=-12t3t2-1因為QA·QB=(x1﹣m，y1)·(x2﹣m，y2)＝(ty1+2﹣m)(ty2+2﹣m)+y1y2＝(t2+1)y1y2+(2﹣m)t(y1+y2)+(2﹣m)＝(t2+1)·93t2-1+(2﹣m)t·-12t=(12m-15)t2+93t要使QA?QB為定值，則12m-153=9-1，解得m＝﹣所以Q(﹣1，0)．定值為0．19．已知函數(shù)fx=aex（1）當a=1時，判斷函數(shù)fx在區(qū)間-（2）令gx=f'x，若函數(shù)g（