2.3函數(shù)的對(duì)稱性、周期性、圖像（精練）（試卷版）-2026年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)《一隅三反》系列（新高考新題型）2.3函數(shù)的對(duì)稱性、周期性、圖像（精練試卷版）一．單選題：本題共8小題，每題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求的。1．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)圖象的對(duì)稱中心是（

）A． B． C． D．2．（2025·廣東·一模）若函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，則（

）A．1 B．3 C．5 D．73．（2025·天津河西·一模）已知函數(shù)，則（

）A．為奇函數(shù) B．為偶函數(shù)C．為奇函數(shù) D．為偶函數(shù)4．（2024·陜西商洛·一模）已知函數(shù)，若不等式成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（2025·湖南長(zhǎng)沙·二模）函數(shù)的部分圖象大致是（

）A． B．C． D．6．（2024·江西景德鎮(zhèn)·一模）函數(shù)的定義域?yàn)?，是奇函?shù)，當(dāng)時(shí)，則的解集是（

）A． B．C． D．7．（23-24寧夏銀川·期中）定義在上的函數(shù)滿足以下條件：①，②對(duì)任意，當(dāng)時(shí)都有，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．8．（2025北京）已知函數(shù)滿足，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱C． D．的周期為3多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每個(gè)小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得6分，不分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．（2025云南）已知直線是函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，則函數(shù)的解析式可以是（

）A． B．C． D．10．（2025哈爾濱）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，其圖象關(guān)于中心對(duì)稱，若，則（

）A． B．C．為奇函數(shù) D．為偶函數(shù)11．（2025·安徽·一模）已知定義在上的偶函數(shù)滿足，設(shè)在上的導(dǎo)函數(shù)為，則（

）A． B．C． D．填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（24-25高三下·山東·開學(xué)考試）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則．13（2025·新疆·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則不等式的解集為.（2025·江西上饒·一模）已知函數(shù)，則不等式的解集為．解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15．（2025黑龍江鶴崗·期末）已知函數(shù)是定義在上的函數(shù)，恒成立，且.(1)確定函數(shù)的解析式；(2)用函數(shù)單調(diào)性的定義證明在上是增函數(shù)；(3)解不等式.16．（2025·上海青浦·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于函數(shù)，其中.(1)若函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)，求的解集；(2)求證：當(dāng)時(shí)，存在使得成等差數(shù)列.17．（2025·上海崇明·二模）已知．(1)是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)是偶函數(shù)？若存在，求實(shí)數(shù)a的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)若且，解關(guān)于x的不等式．18．（2025山西）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若對(duì)于任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（2024·上海靜安·一模）如果函數(shù)滿足以下兩個(gè)條件，我們就稱函數(shù)為型函數(shù).①對(duì)任意的，有；②對(duì)于任意的，若，則.求證：(1)是型函數(shù)；(2)型函數(shù)在上為增函數(shù)；(3)對(duì)于型函數(shù)，有（為正整數(shù)）.2.3函數(shù)的對(duì)稱性、周期性、圖像（精練試卷版）一．單選題：本題共8小題，每題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求的。1．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)圖象的對(duì)稱中心是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】易知的定義域?yàn)?，所以可得，因此，即函?shù)滿足，因此的對(duì)稱中心為.故選：B2．（2025·廣東·一模）若函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，則（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】B【解析】由題意函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，故，即，即，即,故需滿足且，即，則，故選：B3．（2025·天津河西·一模）已知函數(shù)，則（

）A．為奇函數(shù) B．為偶函數(shù)C．為奇函數(shù) D．為偶函數(shù)【答案】D【解析】，則，即故A錯(cuò)誤；，故C錯(cuò)誤；，，則，故B錯(cuò)誤；，，則，故D正確.故選擇：D.4．（2024·陜西商洛·一模）已知函數(shù)，若不等式成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，則，故是奇函數(shù)．不等式等價(jià)于不等式即不等式因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以易證是上的減函數(shù)，則，即，解得．故選：B.5．（2025·湖南長(zhǎng)沙·二模）函數(shù)的部分圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】有意義可得，故，所以或，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，所以函數(shù)為奇函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，令可得，，所以，故，所以函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，零點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，又當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)A的圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，選項(xiàng)B的圖象在內(nèi)的函數(shù)值為負(fù)，選項(xiàng)C的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，故選項(xiàng)ABC不能同時(shí)滿足上述所有要求，而選項(xiàng)D同時(shí)滿足以上所有要求，故選：D.6．（2024·江西景德鎮(zhèn)·一模）函數(shù)的定義域?yàn)?，是奇函?shù)，當(dāng)時(shí)，則的解集是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】∵是奇函數(shù)，∴，即關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．又函數(shù)的定義域?yàn)?，故．?dāng)時(shí)，令，即，解得．根據(jù)對(duì)稱性可知當(dāng)時(shí)，．綜上所述，的解集是．故選：B．7．（23-24寧夏銀川·期中）定義在上的函數(shù)滿足以下條件：①，②對(duì)任意，當(dāng)時(shí)都有，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)槎x在上的函數(shù)滿足條件，所以函數(shù)是偶函數(shù)，對(duì)任意，當(dāng)時(shí)都有，所以不妨設(shè)，則有，因此時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以，，因?yàn)闀r(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，所以，即，故選：A8．（2025北京）已知函數(shù)滿足，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱C． D．的周期為3【答案】D【解析】解法一：令，，則，解得，A正確；令，則，所以，即是偶函數(shù)，所以，所以函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，B正確；令，則，令，則，所以，C正確；令，則①，所以②，①②聯(lián)立得，所以，，即的周期為，D錯(cuò)誤；解法二：構(gòu)造函數(shù)，滿足，且，，A正確；，因?yàn)楸硎镜膱D象向右平移個(gè)單位，且的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以關(guān)于直線對(duì)稱，B正確；由余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知，C正確；的周期，D錯(cuò)誤；故選：D多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每個(gè)小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得6分，不分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．（2025云南）已知直線是函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，則函數(shù)的解析式可以是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】A：函數(shù)圖象由圖象沿軸向右平移1個(gè)單位，再把軸下方的圖象關(guān)于軸對(duì)稱翻折到軸上方，故關(guān)于直線對(duì)稱，故A正確；B：函數(shù)的圖象是由圖象沿軸向右平移1個(gè)單位得到的，而函數(shù)是偶函數(shù)，關(guān)于軸對(duì)稱，其圖象沿軸向右平移1個(gè)單位后的圖象剛好關(guān)于直線對(duì)稱，故B正確；C：令，則該函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，故符合題意，故C正確；D：，顯然，故此函數(shù)不是關(guān)于直線對(duì)稱的，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.10．（2025哈爾濱）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，其圖象關(guān)于中心對(duì)稱，若，則（

）A． B．C．為奇函數(shù) D．為偶函數(shù)【答案】ACD【解析】對(duì)于A，因?yàn)榈膶?duì)稱中心為，所以，將變?yōu)椋冃蔚茫?，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，由A選項(xiàng)知，即，結(jié)合已知，即，令，得，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由的對(duì)稱中心為得，則，令，則，定義域?yàn)椋詾槠婧瘮?shù)，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，對(duì)，令得：，即，故，令，定義域?yàn)?，所以，所以為偶函?shù)，故選項(xiàng)D正確；故選：ACD.11．（2025·安徽·一模）已知定義在上的偶函數(shù)滿足，設(shè)在上的導(dǎo)函數(shù)為，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】由題得，所以即，所以是奇函數(shù)，故，又由得函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，，所以，故，所以，即函數(shù)是周期為6的函數(shù)，所以也是周期為6的函數(shù)，即，由求導(dǎo)得即，所以，對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，由無(wú)法確定的值，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由上也是周期為6的函數(shù)，即，C正確；對(duì)于D，由得，且即，且即，且即，所以，所以，所以，故D正確.故選：ACD填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（24-25高三下·山東·開學(xué)考試）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則．【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故，所以，所以，所以，，所以.故答案為：.13（2025·新疆·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則不等式的解集為.【答案】【解析】設(shè)，均隨著的增大而增大，所以在為增函數(shù)，，則,所以在為增函數(shù)，且當(dāng)分別代入、，可得，所以在上單調(diào)遞增，令，則在上單調(diào)遞增，又.不等式的解集為.故答案為：.14．（2025·江西上饒·一模）已知函數(shù)，則不等式的解集為．【答案】【解析】,則，即，∴，∵，∴，∵，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴，即，∴，即.故答案為：.解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15．（2025黑龍江鶴崗·期末）已知函數(shù)是定義在上的函數(shù)，恒成立，且.(1)確定函數(shù)的解析式；(2)用函數(shù)單調(diào)性的定義證明在上是增函數(shù)；(3)解不等式.【答案】(1)(2)證明見解析(3)【解析】（1）由題意可得，解得，所以，經(jīng)檢驗(yàn)滿足奇函數(shù).（2）設(shè)，則，∵，∴，且，則，則，即，所以函數(shù)在上是增函數(shù).（3）∵，∴，∵是定義在上的增函數(shù)，∴，得，所以不等式的解集為.16．（2025·上海青浦·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于函數(shù)，其中.(1)若函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)，求的解集；(2)求證：當(dāng)時(shí)，存在使得成等差數(shù)列.【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）已知函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)，所以，即，因?yàn)?，所以，則.函數(shù)的定義域?yàn)?，且在定義域上單調(diào)遞增.由可得，解得，所以不等式的解集為.（2）當(dāng)時(shí)，，.若成等差數(shù)列，則，即.所以，即，即，則，移項(xiàng)可得.對(duì)于一元二次方程，，所以方程有實(shí)數(shù)解，即存在使得成等差數(shù)列.17．（2025·上海崇明·二模）已知．(1)是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)是偶函數(shù)？若存在，求實(shí)數(shù)a的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)若且，解關(guān)于x的不等式．【答案】(1)存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)是偶函數(shù)(2)答案見解析【解析】（1）存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)是偶函數(shù).要使函數(shù)有意義，須滿足，即，顯然，即，函數(shù)的定義域.當(dāng)時(shí)，函數(shù)定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，此時(shí)必然存在且，此時(shí)函數(shù)不是偶函數(shù).當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?duì)于任意的，都有，并且因此函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)綜上所述，存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)是偶函數(shù)（2）由，得所以且①．由①得，.因?yàn)榍?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.綜上可得：當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.18．（2025山西）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若對(duì)于任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】（1）∵是R上的奇函數(shù)，∴，∴，∴，又，∴，解得，∴．經(jīng)驗(yàn)證可得為奇函數(shù)，∴，．（2）由（1）知，∴在上為減函數(shù)．∵,∴，又是奇函數(shù)，∴，又