北京市朝陽區(qū)2024~2025學(xué)年度第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)高一數(shù)學(xué)試卷2025.7（考試時(shí)間120分鐘滿分150分）本試卷分為選擇題（共50分）和非選擇題（共100分）兩部分第一部分（選擇題共50分）一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.復(fù)數(shù)（）A.1 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】利用，可求值.【詳解】.故選：A.2.在平面四邊形中，（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用向量加法法則即可求解.【詳解】.故選：D.3.某學(xué)校高一年級(jí)由名男同學(xué)和名女同學(xué)組成，現(xiàn)用分層抽樣的方法，從高一年級(jí)中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為的樣本進(jìn)行運(yùn)動(dòng)成績(jī)調(diào)查，其中男同學(xué)應(yīng)抽取的人數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用分層抽樣可求得男同學(xué)應(yīng)抽取的人數(shù).【詳解】設(shè)男同學(xué)應(yīng)抽取的人數(shù)為，由分層抽樣可得，解得.故選：C.4.在中，，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理可求得，可求.【詳解】因?yàn)?，，所以，在中，由正弦定理可得，所以，解得，所?故選：A.5.要得到函數(shù)的圖象，只要將函數(shù)的圖象（）A.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】D【解析】【分析】利用三角函數(shù)的平移法則逐項(xiàng)計(jì)算判斷即可.【詳解】對(duì)于A，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得：的圖像，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得：的圖像，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得：的圖像，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得：的圖像，故D正確.故選：D.6.設(shè)l是一條直線，，是兩個(gè)不同的平面，下列命題正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】C【解析】【分析】根據(jù)面面平行、線面平行、線面垂直、面面垂直的判定定理逐一判斷即可.【詳解】A：當(dāng)時(shí)，如果l是平面，外一條直線，當(dāng)時(shí)，顯然，成立，這時(shí)不成立，故本選項(xiàng)的命題不正確；B：當(dāng)時(shí)，設(shè)，顯然當(dāng)時(shí)，且時(shí)，一定有成立，但是不成立，因此本選項(xiàng)的命題不正確；C：因?yàn)?，所以在平面?nèi)一定存在一條直線，而，所以，根據(jù)面面垂直的判定定理可知，因此本選項(xiàng)的命題正確；D：當(dāng)時(shí)，設(shè)，顯然當(dāng)時(shí)，且時(shí)，一定有成立，但是不成立，因此本選項(xiàng)的命題不正確；故選：C7.在正方形中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圖形結(jié)合向量的線性運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以.故選：C.8.如圖，在四面體中，，，且，D為四面體外一點(diǎn)，要使，需要添加的條件是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】取的中點(diǎn)，連接，證明出平面，要使，其中平面，故需平面，只需，又為的中點(diǎn)，故時(shí)，滿足要求.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，，平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，要使，其中平面，故需平面，連接，則平面，故只需，又為的中點(diǎn)，故時(shí)，滿足要求.故選：C.9.已知函數(shù)．若關(guān)于x的方程在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的最大整數(shù)值為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】由已知求得的取值范圍，再根據(jù)三角函數(shù)的圖象得到的不等式，即可得答案；【詳解】因?yàn)?，所以，又的圖象如圖所示，因?yàn)殛P(guān)于x的方程在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則，解得，所以的最大整數(shù)值為.故選：B.10.青花瓷是中國瓷器的主流品種之一，常簡(jiǎn)稱青花.圖1就是一個(gè)青花瓷圓盤，該圓盤可看作兩個(gè)圓心重合的圓（如圖2），若大圓半徑，小圓半徑，點(diǎn)A在大圓上，點(diǎn)B在小圓上，，動(dòng)點(diǎn)C滿足，且，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知可得，令，代入可得，利用可求的最大值.【詳解】因?yàn)?，兩邊平方得，又，，，所以，令，則，所以，所以，所以，所以，解得，所以的最大值為.故選：B.第二部分（非選擇題共100分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.11.若函數(shù)，則______．【答案】##【解析】【分析】利用二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)，代入即可求值.【詳解】因?yàn)?，所?故答案為：.12.已知復(fù)數(shù)，則______；______．【答案】①.②.##【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，即可由模長(zhǎng)公式以及共軛復(fù)數(shù)的概念求解.【詳解】,故，，故答案為：，13.如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面PAB是等邊三角形，若側(cè)面PAB和底面ABCD所成角的正切值為，則四棱錐的體積為______．【答案】##【解析】【分析】過作平面于，過作于，連接，可得為平面PAB和底面ABCD所成的角，進(jìn)而可得，可求體積.【詳解】過作平面于，過作于，連接，因?yàn)槠矫?，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，所以為平面PAB和底面ABCD所成的角，所以，所以，，所以，又因?yàn)槭堑冗吶切?，所以，所以，所以，所以，所?故答案為：.14.若兩個(gè)非零向量滿足，則向量與的夾角是______.【答案】##【解析】詳解】由可得，由平方可得，，因此，由于，故，故答案為：15.已知函數(shù)，如果存在實(shí)數(shù)，，使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，都有，那么的最小值為______.【答案】2π【解析】【分析】由題意得出是的最小值，是的最大值，因此的最小值是半個(gè)周期．求出函數(shù)的周期即可得．【詳解】實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有，則是的最小值，是的最大值，因此的最小值是半個(gè)周期．而函數(shù)的周期是，所以．故答案為：．16.如圖、點(diǎn)E，H，G，F(xiàn)是矩形ABCD中DC，CB，BA，AD邊的中點(diǎn)，依次沿FE，EH，HG，GF，EG折疊，使得矩形四個(gè)頂點(diǎn)D，C，B，A重合于一點(diǎn)，得到三棱錐．若，，給出下面四個(gè)結(jié)論：①三棱錐是正四面體；②二面角為直二面角；③三棱錐的表面積為；④三棱錐的體積為．其中正確結(jié)論的序號(hào)是______.【答案】②③④【解析】【分析】根據(jù)題意作出三棱錐，計(jì)算各邊的長(zhǎng)度，即可根據(jù)正四面體的性質(zhì)求解①，根據(jù)等腰三角形的幾何性質(zhì)可得，即可由二面角的定義，體積公式，表面積公式求解②③④.【詳解】由題意可知三棱錐如圖所示，由于,,故三棱錐不是正四面體，①錯(cuò)誤，取中點(diǎn)為，連接,由于，故,故為二面角的平面角，,,故②正確，由于，平面，故平面，則三棱錐的體積為,表面積為；③④正確，故答案為：②③④三、解答題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.17.已知向量，且．（1）證明：向量；（2）求與夾角的大??；（3）求的最小值．【答案】（1）證明見解析（2）（3）．【解析】【分析】（1）根據(jù)垂直的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解，（2）根據(jù)模長(zhǎng)公式，以及夾角公式即可求解，（3）根據(jù)模長(zhǎng)公式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【小問1詳解】因?yàn)橄蛄浚?，得．解得，則．因此．【小問2詳解】由（1）知，則．又，則．設(shè)與夾角為，因此．又，則，所以與夾角為．【小問3詳解】由（2）知，，則，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．所以最小值為．18.在中，若．（1）求B；（2）再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一確定，求的面積.條件①；條件②的周長(zhǎng)為；條件③BC邊的中線的長(zhǎng)度為，【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）由正弦定理可得答案；（2）若選擇條件①，由邊長(zhǎng)不確定可得答案；若選擇條件②，由正弦定理求出，再由可得答案；若選擇條件③：設(shè)為邊上的中線，由余弦定理、正弦定理、面積公式可得答案.【小問1詳解】因?yàn)?，由正弦定理，所以．因?yàn)?，所以．所以，即．因?yàn)?，所以；【小?詳解】若選擇條件①，由（1）可得，則．三角形存在但不唯一確定；若選擇條件②，由（1）可得，所以．由正弦定理，所以．所以的周長(zhǎng)為，．所以．所以的面積為；若選擇條件③，由（1）可得，所以．設(shè)為邊上的中線，，在中，由余弦定理，所以，解得，則由正弦定理得，所以的面積.19.某學(xué)校為了解本學(xué)期學(xué)生平均每天的課外閱讀時(shí)間（單位：分鐘）情況，隨機(jī)抽取了50名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，得到他們平均每天課外閱讀時(shí)間的頻率分布直方圖如下：（1）估計(jì)這50名學(xué)生平均每天課外閱讀時(shí)間的第70百分位數(shù)；（結(jié)果保留一位小數(shù)）（2）用這50名學(xué)生的情況估計(jì)該校全體學(xué)生的情況.假設(shè)該學(xué)校學(xué)生平均每天課外閱讀時(shí)間相互獨(dú)立.從該學(xué)校全體學(xué)生中隨機(jī)抽取兩人，試估計(jì)這兩人中恰有一人平均每天課外閱讀時(shí)間在內(nèi)，另一人平均每天課外閱讀時(shí)間在內(nèi)的概率；（3）用這50名學(xué)生的情況估計(jì)該校全體學(xué)生的情況.學(xué)校根據(jù)學(xué)生的課外閱讀時(shí)間情況將學(xué)生分為“閱讀積極分子”和“閱讀待提高者”.規(guī)定平均每天課外閱讀時(shí)間不少于40分鐘的學(xué)生為“閱讀積極分子”，少于40分鐘的學(xué)生為“閱讀待提高者”.現(xiàn)在有兩種獎(jiǎng)勵(lì)方案：方案一：給“閱讀積極分子”每人獎(jiǎng)勵(lì)一本價(jià)值22元的書籍，“閱讀待提高者”每人獎(jiǎng)勵(lì)一本價(jià)值8元的書籍；方案二：為了鼓勵(lì)學(xué)生參與課外閱讀活動(dòng)，每人獎(jiǎng)勵(lì)一本價(jià)值15元的書籍.已知該學(xué)校共有1000名學(xué)生，試通過計(jì)算比較哪種獎(jiǎng)勵(lì)方案的費(fèi)用較低.【答案】（1）36.7（2）0.24（3）方案一所需費(fèi)用較低．【解析】【分析】（1）利用百分位數(shù)的定義可求解；（2）不妨設(shè)隨機(jī)抽取的兩人分別為甲、乙，設(shè)“甲平均每天課外閱讀時(shí)間在內(nèi)”為事件，“甲平均每天課外閱讀時(shí)間在內(nèi)”為事件，“乙平均每天課外閱讀時(shí)間在內(nèi)”為事件，“乙平均每天課外閱讀時(shí)間在內(nèi)”為事件，以頻率作為概率，利用求解即可；（3）樣本中“閱讀積極分子”的頻率為，進(jìn)而求得總體中“閱讀積極分子”的人數(shù)的估計(jì)值，進(jìn)而計(jì)算兩種情況下的獎(jiǎng)勵(lì)費(fèi)用，比較可得結(jié)論.【小問1詳解】由圖數(shù)據(jù)可知，學(xué)生平均每天閱讀時(shí)間各區(qū)間的頻率依次為；0.1，0.14，0.26，0.3，0.2，因此第70百分位數(shù)必在區(qū)間內(nèi)，設(shè)該數(shù)，則有，解得．【小問2詳解】不妨設(shè)隨機(jī)抽取的兩人分別為甲、乙設(shè)“甲平均每天課外閱讀時(shí)間在內(nèi)”為事件，“甲平均每天課外閱讀時(shí)間在內(nèi)”為事件，“乙平均每天課外閱讀時(shí)間在內(nèi)”為事件，“乙平均每天課外閱讀時(shí)間在內(nèi)”為事件，“兩人中恰有一人平均每天課外閱讀時(shí)間在內(nèi)，另一人平均每天課外閱讀時(shí)間在內(nèi)”為事件．由課外閱讀時(shí)間在內(nèi)的頻率為0.5，在內(nèi)的頻率為0.24．故與可估計(jì)為0.5，與可估計(jì)為0.24．則由互斥，及相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，可得所以可估計(jì)為．【小問3詳解】由題意可知，樣本中“閱讀積極分子”的頻率為，故總體中“閱讀積極分子”的人數(shù)可估計(jì)為，則“閱讀待提高者”人數(shù)可估計(jì)為800．方案一：獎(jiǎng)勵(lì)費(fèi)用元.方案二：獎(jiǎng)勵(lì)費(fèi)用為元.所以方案一所需費(fèi)用較低.20.如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，，分別為BC，的中點(diǎn)，平面ADE與棱相交于點(diǎn)F．（1）求證：；（2）若．（?。┣笞C：平面平面；（ⅱ）求點(diǎn)B到平面ADE的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）（?。┳C明見解析；（ⅱ）．【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，利用面面平行可得，進(jìn)而可得，可求值；（2）（?。┤〉闹悬c(diǎn)，連接，由面面垂直的性質(zhì)可得平面，可得，進(jìn)而得平面，進(jìn)而可得平面，可證結(jié)論．（ⅱ）利用等體積法可求點(diǎn)到平面的距離.【小問1詳解】取的中點(diǎn)，連接，在三棱柱中，平面平面，且平面平面，平面平面，所以，又因?yàn)閭?cè)面是平行四邊形，且，分別是的中點(diǎn)，所以，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)．所以為的中點(diǎn)，所以．【小問2詳解】（ⅰ）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，又因?yàn)閭?cè)面為正方形，所以．又平面，所以平面，所以．又，所以，因?yàn)?，則平面，所以．由平面平面，所以．又，所以平面．又，所以平面．又平面，所以平面平面．（ⅱ）因?yàn)槠矫?，所以．在平面?nèi)的射影分別為，因?yàn)椋?，所以在中，．所以．設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，可得．所以，即點(diǎn)到平面的距離為．21.已知是個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)組成的行列的數(shù)表，其中且．記第行中所有數(shù)的最大值為，第行第一個(gè)等于的項(xiàng)為，第列中所有數(shù)的最大值為.設(shè)中有個(gè)數(shù)位于第列，且這個(gè)數(shù)之和為（規(guī)定：若，則）．（1）當(dāng)時(shí)，若，求值；（2）求證：若，則；若，則；（3）當(dāng)時(shí)