高中同步學案優(yōu)化設計GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHUASHEJI8.5.1直線與直線平行第八章內(nèi)容索引0102課前篇自主預習課堂篇探究學習課標闡釋思維脈絡1.掌握基本事實4,并會應用其解決相關直線與直線平行問題.(數(shù)學抽象、邏輯推理)2.理解等角定理,并會應用其解決有關問題.(邏輯推理、數(shù)學運算)3.體會“平移”在平行關系中的應用.(直觀想象、邏輯推理)課前篇自主預習激趣誘思如圖,在長方體ABCD-A'B'C'D'中,BB'∥AA',DD'∥AA',BB'與DD'平行嗎?知識點撥知識點一、直線與直線平行

文字語言平行于同一條直線的兩條直線平行圖形語言符號語言直線a,b,c,若a∥b,b∥c,則a∥c作用證明或判斷兩條直線平行說明基本事實4表述的性質(zhì)通常叫做平行線的傳遞性微練習已知在棱長為a的正方體ABCD-A'B'C'D'中,M,N分別為CD,AD的中點,則MN與A'C'的位置關系是

.

答案平行

解析

如圖所示,∵M,N分別為CD,AD的中點,MN

AC,由正方體的性質(zhì)可得AC

A'C',∴MN

A'C',即MN與A'C'平行.知識點二、等角定理如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行,那么這兩個角相等或互補.名師點析(1)如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行,并且方向相同(或相反),那么這兩個角相等,從“平移”的角度,可看作一個角在兩個位置;(2)如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行,并且一邊的方向相同,另一邊的方向相反,那么這兩個角互補.微思考如圖,在四棱柱ABCD-A'B'C'D'中,底面ABCD為菱形,∠ADC與∠A'D'C',∠ADC與∠D'C'B'的兩邊分別對應平行,這兩組角的大小關系如何?提示∠ADC=∠A'D'C',∠ADC+∠D'C'B'=180°.課堂篇探究學習探究一平行線傳遞性的應用例1在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是BC,A1D1的中點.求證:四邊形B1EDF是菱形.分析取B1C1的中點G,證明四邊形GEDD1,FB1GD1都是平行四邊形,從而得到四邊形B1EDF是平行四邊形,再證明B1E=B1F即可.證明取B1C1的中點G,連接GD1,GE,則GE∥C1C∥D1D,GE=C1C=D1D,∴四邊形GEDD1是平行四邊形,GD1∥ED,GD1=ED.∵FD1∥B1G,FD1=B1G,∴四邊形FB1GD1是平行四邊形,∴B1F∥GD1,B1F=GD1,∴B1F∥ED,B1F=ED,∴四邊形B1EDF是平行四邊形,∴B1E=B1F,∴四邊形B1EDF是菱形.要點筆記空間兩條直線平行的證明判斷兩條直線平行,除了平面幾何中常用的判斷方法以外,基本事實4,即平行線的傳遞性,也是判斷兩直線平行的重要依據(jù).解題時要注意中位線的作用.變式訓練1若直線a,b,c滿足a∥b,a,c異面,則b與c(

)A.一定是異面直線

B.一定是相交直線C.不可能是平行直線 D.不可能是相交直線答案C解析若b∥c,由a∥b,知a∥c,這與a,c異面相矛盾,則b與c不可能平行,故選C.探究二等角定理的應用例2如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分別是棱AD和A1D1的中點.(1)求證:四邊形BB1M1M為平行四邊形;(2)求證:∠B1M1C1=∠BMC.分析(1)通過基本事實4證明MM1∥BB1,且MM1=BB1;(2)由(1)知B1M1∥BM,同理證得C1M1∥CM,再由等角定理證得∠BMC=∠B1M1C1.也可以通過證明△BCM≌△B1C1M1證出∠BMC=∠B1M1C1.證明(1)在正方形ADD1A1中,M,M1分別為AD,A1D1的中點,∴MM1

AA1.又AA1

BB1,∴MM1∥BB1,且MM1=BB1,∴四邊形BB1M1M為平行四邊形.(2)(方法一)由(1)知四邊形BB1M1M為平行四邊形,∴B1M1∥BM.由(1)同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形,∴C1M1∥CM.由平面幾何知識可知,∠BMC和∠B1M1C1都是銳角.∴∠BMC=∠B1M1C1.(方法二)由(1)知四邊形BB1M1M為平行四邊形,∴B1M1=BM.由(1)同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形,∴C1M1=CM.又B1C1=BC,∴△B1C1M1≌△BCM,∴∠B1M1C1=∠BMC.反思感悟證明角相等的常用方法證明角相等,利用空間等角定理是常用的思考方法;另外也可以通過證明兩個三角形全等或相似來證明兩角相等.在應用等角定理時,應注意當兩個角的兩邊分別對應平行且方向都相同或相反時,這兩個角相等,否則這兩個角互補.因此,在證明兩個角相等時,只說明兩個角的兩邊分別對應平行是不夠的.變式訓練2如圖,已知三棱錐A-BCD的四個面分別是△ABC,△ABD,△ACD和△BCD,E,F,G分別為線段AB,AC,AD上的點,EF∥BC,FG∥CD.求證:△EFG∽△BCD.∵∠EFG與∠BCD的兩條邊分別對應平行,且方向相同,∴∠EFG=∠BCD.同理∠FGE=∠CDB.∴△EFG∽△BCD.素養(yǎng)形成等角定理的應用典例若∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1,OA與O1A1方向相同,則下列結(jié)論正確的是(

)A.OB∥O1B1,且方向相同B.OB∥O1B1,方向可能不同C.OB與O1B1不平行D.OB與O1B1不一定平行答案D解析當∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1時,OA與O1A1的方向相同,OB與O1B1不一定平行,如圖所示,故選D.方法點睛在討論空間中兩條直線平行的位置關系時,除了運用等角定理,也可以利用數(shù)形結(jié)合思想幫助求解.當堂檢測1.已知直線a∥直線b,直線b∥直線c,直線c∥直線d,則a與d的位置關系是(

)A.平行 B.相交 C.異面 D.不確定答案A解析∵a∥b,b∥c,∴a∥c.又c∥d,∴a∥d.故選A.2.如圖所示,在三棱錐S-MNP中,E,F,G,H分別是棱SN,SP,MN,MP的中點,則EF與HG的位置關系是(

)A.平行B.相交C.異面D.平行或異面答案A解析∵E,F分別是SN和SP的中點,∴EF∥PN.同理可證HG∥PN,∴EF∥HG.3.若OA∥O'A',OB∥O'B',且∠AOB=130°,則∠A'O'B'為(

)A.130°

B.50°C.130°或50° D.不能確定答案C解析根據(jù)定理,∠A'O'B'與∠AOB相等或互補,即∠A'O'B'=130°或∠A'O'B'=50°.4.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N,P分別為A1C1,AC和AB的中點.求證:∠PN