高中同步學(xué)案優(yōu)化設(shè)計(jì)GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHUASHEJI8.2立體圖形的直觀圖第八章內(nèi)容索引0102課前篇自主預(yù)習(xí)課堂篇探究學(xué)習(xí)課標(biāo)闡釋思維脈絡(luò)1.掌握斜二測(cè)畫(huà)法的步驟.(數(shù)學(xué)抽象)2.能借助橢圓模板畫(huà)圓的直觀圖.(直觀想象)3.能用斜二測(cè)法畫(huà)出簡(jiǎn)單空間圖形(長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡(jiǎn)單組合)的直觀圖.(邏輯推理、直觀想象)課前篇自主預(yù)習(xí)激趣誘思皮影戲,舊稱(chēng)“影子戲”或“燈影戲”,是一種用燈光照射獸皮或紙板做成的人物剪影以表演故事的民間戲劇.表演時(shí),藝人們?cè)诎咨徊己竺?一邊操縱戲曲人物,一邊用當(dāng)?shù)亓餍械那{(diào)唱述故事,同時(shí)配以打擊樂(lè)器和弦樂(lè),具有濃厚的鄉(xiāng)土氣息.千百年來(lái),這門(mén)古老的藝術(shù),伴隨著祖祖輩輩的人們,度過(guò)了許多歡樂(lè)的時(shí)光.那么皮影戲中的這個(gè)“影”是什么投影?畫(huà)幾何體的直觀圖與皮影戲中形成的“影”原理一樣嗎?知識(shí)點(diǎn)撥知識(shí)點(diǎn)一、水平放置的平面圖形的直觀圖畫(huà)法用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟微練習(xí)(1)已知在平面直角坐標(biāo)系中,一個(gè)平面圖形上的一條線(xiàn)段AB的實(shí)際長(zhǎng)度為4cm,若AB∥x軸,則畫(huà)出直觀圖后對(duì)應(yīng)線(xiàn)段A'B'=

cm,若AB∥y軸,則畫(huà)出直觀圖后對(duì)應(yīng)線(xiàn)段A'B'=

cm.

答案4

2(2)判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”.①相等的角,在直觀圖中仍相等.(

)②長(zhǎng)度相等的線(xiàn)段,在直觀圖中長(zhǎng)度仍相等.(

)③若兩條線(xiàn)段平行,則在直觀圖中對(duì)應(yīng)的線(xiàn)段仍平行.(

)④若兩條線(xiàn)段垂直,則在直觀圖中對(duì)應(yīng)的線(xiàn)段也互相垂直.(

)××√×知識(shí)點(diǎn)二、空間幾何體的直觀圖畫(huà)法畫(huà)幾何體的直觀圖時(shí),與畫(huà)平面圖形的直觀圖相比,只是多畫(huà)一個(gè)與x軸、y軸都垂直的z軸,并且使平行于z軸的線(xiàn)段的平行性和長(zhǎng)度都不變.名師點(diǎn)析畫(huà)空間幾何體的直觀圖的四個(gè)步驟(1)畫(huà)軸.通常以高所在直線(xiàn)為z軸建系.(2)畫(huà)底面.根據(jù)平面圖形的直觀圖畫(huà)法確定底面.(3)畫(huà)側(cè)棱.利用與z軸平行或在z軸上的線(xiàn)段確定有關(guān)側(cè)棱.(4)連線(xiàn)成圖.畫(huà)圖完成后,擦除輔助線(xiàn),看得見(jiàn)的地方用實(shí)線(xiàn),被遮擋的部分用虛線(xiàn)(或不畫(huà)),就得到了幾何體的直觀圖.微練習(xí)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)長(zhǎng)、寬、高分別為2cm、

cm、1cm的長(zhǎng)方體ABCD-A'B'C'D'的直觀圖.畫(huà)法(1)畫(huà)軸.如圖,畫(huà)x軸、y軸、z軸,三軸相交于點(diǎn)O,使∠x(chóng)Oy=45°,∠x(chóng)Oz=90°.(2)畫(huà)底面.以點(diǎn)O為中點(diǎn),在x軸上取線(xiàn)段MN,使MN=2cm;在y軸上取線(xiàn)段PQ,使PQ=

cm.分別過(guò)點(diǎn)M和N作y軸的平行線(xiàn),過(guò)點(diǎn)P和Q作x軸的平行線(xiàn),設(shè)它們的交點(diǎn)分別為A,B,C,D,四邊形ABCD就是長(zhǎng)方體的底面ABCD.(3)畫(huà)側(cè)棱.過(guò)A,B,C,D各點(diǎn)分別作z軸的平行線(xiàn),并在這些平行線(xiàn)上分別截取1cm長(zhǎng)的線(xiàn)段AA',BB',CC',DD'.(4)成圖.順次連接A',B',C',D',并加以整理(去掉輔助線(xiàn),將被遮擋的部分改為虛線(xiàn)),就得到長(zhǎng)方體的直觀圖.課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀圖例1如圖,畫(huà)出水平放置的等腰梯形的直觀圖.分析建系→定點(diǎn)→連線(xiàn)成圖

畫(huà)法(1)如圖①,取AB所在直線(xiàn)為x軸,AB中點(diǎn)O為原點(diǎn),建立平面直角坐標(biāo)系,畫(huà)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)系x'O'y',使∠x(chóng)'O'y'=45°.①

(2)在圖②中,以點(diǎn)O'為中點(diǎn)在x'軸上取A'B'=AB,在y'軸上取O'E'=OE,以E'為中點(diǎn)畫(huà)C'D'∥x'軸,并使C'D'=CD.②

(3)連接B'C',D'A',并擦去輔助線(xiàn)x'軸和y'軸,所得的四邊形A'B'C'D'就是水平放置的等腰梯形ABCD的直觀圖(如圖③).③

反思感悟畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀圖的技巧(1)在畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀圖時(shí),選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是關(guān)鍵,一般要使得平面多邊形盡可能多的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,以便于畫(huà)點(diǎn).(2)畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀圖,首先畫(huà)與坐標(biāo)軸平行的線(xiàn)段(平行關(guān)系不變),與坐標(biāo)軸不平行的線(xiàn)段通過(guò)與坐標(biāo)軸平行的線(xiàn)段確定它的兩個(gè)端點(diǎn),然后連接成線(xiàn)段.延伸探究把本例圖形換成右圖,試畫(huà)出該圖的直觀圖.畫(huà)法(1)在已知的直角梯形ABCD中,以底邊AB所在直線(xiàn)為x軸,垂直于AB的腰AD所在直線(xiàn)為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.如圖①.(2)畫(huà)相應(yīng)的x'軸和y'軸,使∠x(chóng)'O'y'=45°,在x'軸上取O'B'=AB,在y'軸上取O'D'=AD,過(guò)D'作x'軸的平行線(xiàn)l,在l上沿x'軸正方向取點(diǎn)C'使得D'C'=DC.如圖②.(3)連接B'C',所得四邊形O'B'C'D'就是直角梯形ABCD的直觀圖.如圖③.探究二畫(huà)空間幾何體的直觀圖例2用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出六棱錐P-ABCDEF的直觀圖,其中底面ABCDEF為正六邊形,點(diǎn)P在底面的投影是正六邊形的中心O(尺寸自定).分析畫(huà)軸→畫(huà)底面→畫(huà)頂點(diǎn)→成圖畫(huà)法(1)畫(huà)出六棱錐P-ABCDEF的底面.如圖①所示,在正六邊形ABCDEF中,取AD所在的直線(xiàn)為x軸,對(duì)稱(chēng)軸MN為y軸,兩軸相交于點(diǎn)O.(2)畫(huà)相應(yīng)的x'軸、y'軸和z'軸,三軸相交于點(diǎn)O',使∠x(chóng)'O'y'=45°,∠x(chóng)'O'z'=90°;在圖②中,以O(shè)'為中點(diǎn),在x'軸上取A'D'=AD,在y'軸上取M'N'=MN;以點(diǎn)N'為中點(diǎn)畫(huà)B'C'平行于x'軸,且等于BC;再以點(diǎn)M'為中點(diǎn)畫(huà)E'F'平行于x'軸,且等于EF;連接A'B',C'D',D'E',F'A',得正六邊形ABCDEF水平放置的直觀圖A'B'C'D'E'F'.(3)畫(huà)正六棱錐P-ABCDEF的頂點(diǎn).在z'軸上取點(diǎn)P',使P'O'=PO.(4)成圖.連接P'A',P'B',P'C',P'D',P'E',P'F',并進(jìn)行整理,便得到六棱錐P-ABCDEF的直觀圖P'-A'B'C'D'E'F',如圖③所示.反思感悟利用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)幾何體的直觀圖應(yīng)遵循的基本原則(1)畫(huà)幾何體的直觀圖在要求不太嚴(yán)格的情況下,長(zhǎng)度和角度可適當(dāng)選取.為了增強(qiáng)立體感,被擋住的部分通常用虛線(xiàn)表示.(2)畫(huà)法規(guī)則可簡(jiǎn)記為:兩軸夾角為45°,豎軸垂直仍不變,平行不變,長(zhǎng)度橫豎不變,縱折半.(3)畫(huà)空間幾何體的直觀圖,要注意選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)原點(diǎn),建立坐標(biāo)系畫(huà)出坐標(biāo)軸.變式訓(xùn)練1用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出底面為正方形的四棱臺(tái)的直觀圖,其中上、下底面邊長(zhǎng)分別為2,3,高為2.畫(huà)法(1)畫(huà)軸.畫(huà)x軸、y軸、z軸,三軸相交于點(diǎn)O,使∠x(chóng)Oy=45°,∠x(chóng)Oz=90°.(2)畫(huà)下底面.以O(shè)為中心,在x軸上取線(xiàn)段MN,使MN=3,在y軸上取線(xiàn)段PQ,使PQ=1.5.分別過(guò)點(diǎn)M和點(diǎn)N作y軸的平行線(xiàn),過(guò)點(diǎn)P和點(diǎn)Q作x軸的平行線(xiàn),設(shè)它們的交點(diǎn)分別為A,B,C,D,則四邊形ABCD即為四棱臺(tái)的下底面.(3)畫(huà)上底面.在z軸上取一點(diǎn)O',使OO'=2,過(guò)點(diǎn)O'畫(huà)直線(xiàn)a和直線(xiàn)b,使直線(xiàn)a∥x軸,直線(xiàn)b∥y軸,在平面aO'b內(nèi)以O(shè)'為中心畫(huà)水平放置的邊長(zhǎng)為2的正方形的直觀圖A'B'C'D'.(4)連線(xiàn).被遮擋的線(xiàn)畫(huà)成虛線(xiàn)(如圖①),擦去輔助線(xiàn)并整理就得到四棱臺(tái)的直觀圖(如圖②).探究三直觀圖的還原與計(jì)算問(wèn)題例3如圖,梯形A1B1C1D1是一水平放置的平面圖形ABCD的直觀圖.若A1D1∥O'y',A1B1∥C1D1,A1B1=C1D1=2,A1D1=O'D1=1.試畫(huà)出原四邊形的形狀,并求原圖形的面積.分析解答本題可先由斜二測(cè)畫(huà)法的逆步驟來(lái)作圖,先確定點(diǎn),再連線(xiàn)畫(huà)出原圖,然后進(jìn)行計(jì)算.畫(huà)法如圖,建立平面直角坐標(biāo)系xOy,在x軸上截取OD=O'D1=1,OC=O'C1=2.在過(guò)點(diǎn)D的y軸的平行線(xiàn)上截取DA=2D1A1=2.在過(guò)點(diǎn)A的x軸的平行線(xiàn)上截取AB=A1B1=2.連接BC,即得到了原圖形(如圖).由作法可知,原四邊形ABCD是直角梯形,上、下底長(zhǎng)度分別為AB=2,CD=3,反思感悟直觀圖的還原技巧(1)由直觀圖還原為原圖形是畫(huà)直觀圖的逆過(guò)程:一是在直觀圖中建立坐標(biāo)系x'O'y',使∠x(chóng)'O'y'=45°,對(duì)應(yīng)地建立直角坐標(biāo)系xOy;二是平行x'軸的線(xiàn)段長(zhǎng)度不變,平行y'軸的線(xiàn)段擴(kuò)大為原來(lái)的2倍;三是對(duì)于相鄰兩邊不與x',y'軸平行的頂點(diǎn)可通過(guò)作x'軸、y'軸的平行線(xiàn)變換確定其在xOy中的位置.還原時(shí),要注意坐標(biāo)系變化前后變化的量與不變的量,計(jì)算時(shí)要結(jié)合兩個(gè)坐標(biāo)軸確定數(shù)據(jù).變式訓(xùn)練2如圖,在直觀圖中,四邊形O'A'B'C'為菱形且邊長(zhǎng)為2cm,則在xOy坐標(biāo)中原四邊形OABC為

(填形狀),面積為

cm2.

答案矩形

8解析由題意,結(jié)合斜二測(cè)畫(huà)法可知,四邊形OABC為矩形,且OA=2cm,OC=4cm,所以四邊形OABC的面積S=2×4=8(cm2).素養(yǎng)形成水平放置的平面圖形的直觀圖畫(huà)法典例如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,已知O(0,0),A(1,3),B(3,1),C(4,6),D(2,5).試用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出水平放置的四邊形ABCD的直觀圖.畫(huà)圖(1)先畫(huà)x'軸和y'軸,使∠x(chóng)'O'y'=45°,如圖①.(2)在原圖中作AE⊥x軸,垂足為E(1,0).(3)在x'軸上截取O'E'=OE,作A'E'∥y'軸,截取E'A'=1.5.(4)同理確定點(diǎn)B',C',D',其中B'G'=0.5,C'H'=3,D'F'=2.5.(5)連線(xiàn)成圖(去掉輔助線(xiàn)),如圖②,即水平放置的四邊形ABCD的直觀圖.方法點(diǎn)睛利用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)直觀圖時(shí)應(yīng)注意(1)在已知圖形中x軸,y軸的選取,應(yīng)盡可能多地使圖形的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上,有的點(diǎn)不滿(mǎn)足時(shí)應(yīng)作輔助線(xiàn),與x軸,y軸垂直的線(xiàn)段是最常用的輔助線(xiàn).(2)垂直于x軸,y軸的線(xiàn)段在坐標(biāo)系x'O'y'下的長(zhǎng)度變化切勿混淆.當(dāng)堂檢測(cè)1.(多選題)(2021江蘇廣陵校級(jí)期中)利用斜二測(cè)畫(huà)法得到的下列結(jié)論中正確的是(

)A.水平放置的三角形的直觀圖是三角形B.水平放置的正方形的直觀圖是正方形C.水平放置的菱形的直觀圖是菱形D.水平放置的平行四邊形的直觀圖是平行四邊形答案AD解析對(duì)于A,在水平放置的三角形的直觀圖中,三角形底邊上的高與底邊的夾角為45°或135