高中同步學(xué)案優(yōu)化設(shè)計GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHUASHEJI8.4.2空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系第八章內(nèi)容索引0102課前篇自主預(yù)習(xí)課堂篇探究學(xué)習(xí)課標(biāo)闡釋1.借助長方體,了解空間兩條直線間的位置關(guān)系.理解異面直線的定義.(數(shù)學(xué)抽象、直觀想象)2.了解直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系,并能判斷這些位置關(guān)系.(邏輯推理)3.會用符號語言和圖形語言表示直線與直線、直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系.(直觀想象、邏輯推理)思維脈絡(luò)課前篇自主預(yù)習(xí)激趣誘思長方體有8個頂點(diǎn),12條棱,6個面.12條棱對應(yīng)12條棱所在的直線,6個面對應(yīng)6個面所在的平面.如圖所示的長方體ABCD-A'B'C'D',你能發(fā)現(xiàn)這些頂點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系嗎?知識點(diǎn)撥知識點(diǎn)一、空間中直線與直線的位置關(guān)系空間兩條直線的位置關(guān)系有三種:名師點(diǎn)析異面直線(1)圖示

(2)符號語言(以圖①為例)a?α,b∩α=A,A?a?a與b異面.微練習(xí)平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的連線和這個平面內(nèi)直線的關(guān)系是

.

答案相交或異面知識點(diǎn)二、空間中直線與平面的位置關(guān)系

位置關(guān)系公共點(diǎn)個數(shù)圖形語言符號語言直線在平面內(nèi)有無數(shù)個公共點(diǎn)a?α直線與平面相交有且只有一個公共點(diǎn)a∩α=A直線與平面平行沒有公共點(diǎn)a∥α微思考觀察如圖所示的長方體ABCD-A1B1C1D1,線段A1B所在的直線與長方體的六個面所在平面有幾種位置關(guān)系?提示三種.直線A1B在平面ABB1A1內(nèi),與平面CDD1C1平行,與其余四個面相交.知識點(diǎn)三、空間中平面與平面的位置關(guān)系

位置關(guān)系圖形表示符號表示公共點(diǎn)兩個平面平行α∥β沒有公共點(diǎn)兩個平面相交α∩β=l有一條公共直線,所以有無數(shù)個公共點(diǎn)微練習(xí)(1)正方體的六個面中互相平行的平面有(

)A.1對B.2對C.3對D.4對(2)如果在兩個平面內(nèi)分別有一條直線,這兩條直線互相平行,那么這兩個平面的位置關(guān)系是

.

答案(1)C

(2)平行或相交

解析

(1)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,平面ABB1A1∥平面CDD1C1,平面ADD1A1∥平面BCC1B1,故六個面中互相平行的平面有3對.課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一空間中兩條直線位置關(guān)系的判定例1(1)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,判斷下列直線間的位置關(guān)系:①直線A1B與直線D1C

;

②直線A1B與直線B1C

;

③直線D1D與直線CE(E為線段C1D1的中點(diǎn))

;

④直線AB與直線B1C

.

(2)已知三條直線a,b,c,a與b異面,b與c異面,則a與c有什么樣的位置關(guān)系?請畫圖說明.分析(1)(2)根據(jù)異面直線的定義分析.解(1)①平行

②異面

③相交④異面(2)直線a與c的位置關(guān)系有三種情況,如圖所示.直線a與c可能平行,如圖①;可能相交,如圖②;可能異面,如圖③.反思感悟空間中兩條直線位置關(guān)系的判定方法(1)判定兩條直線平行或相交可用平面幾何的方法去判斷.(2)判定兩條直線是異面直線的方法:①定義法:由定義判斷兩直線不可能在同一平面內(nèi);②排除法(反證法):排除兩直線共面(平行或相交);③重要結(jié)論:連接平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線和這個平面內(nèi)不經(jīng)過此點(diǎn)的直線是異面直線.如圖,A?α,B∈α,l?α,B?l?AB與l是異面直線.延伸探究在本例題的正方體中,所有與直線AB異面的棱所在的直線為

.

答案CC1,B1C1,DD1,A1D1探究二直線與平面的位置關(guān)系例2給出下列三個命題:①若直線l平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線,則l∥α;②若直線a在平面α外,則a∥α;③若直線a∥b,直線b?α,則a∥α,其中真命題的個數(shù)為(

)A.1 B.2 C.3 D.0分析判斷直線與平面位置關(guān)系,除了定義法外,還可以借助幾何體模型(如長方體等)和舉反例進(jìn)行逐項判斷.答案D解析對于①,直線l雖與平面α內(nèi)無數(shù)條直線平行,但l有可能在平面α內(nèi),∴l(xiāng)不一定平行于α.故①錯.對于②,∵直線a在平面α外包括兩種情形:a∥α,a與α相交,故②錯.對于③,由直線a∥b,b?α,只能說明a和b無公共點(diǎn),但a可能在平面α內(nèi),故③錯.反思感悟根據(jù)直線與平面公共點(diǎn)個數(shù),直線與平面的位置關(guān)系分為三種,即直線在平面內(nèi),直線與平面相交,直線與平面平行.(1)判斷直線在平面內(nèi),需找到直線上不同的兩點(diǎn)在平面內(nèi),根據(jù)基本事實2知直線在平面內(nèi).(2)判斷直線與平面相交,據(jù)定義只需判定直線與平面有且只有一個公共點(diǎn).(3)判斷直線與平面平行,可根據(jù)定義判斷直線與平面沒有公共點(diǎn),也可以排除直線與平面相交及直線在平面內(nèi)兩種情況,從而判斷直線與平面平行.變式訓(xùn)練1若直線a不平行于平面α,則下列結(jié)論成立的是(

)A.α內(nèi)的所有直線均與a異面B.α內(nèi)不存在與a平行的直線C.α內(nèi)直線均與a相交D.直線a與平面α有公共點(diǎn)答案D解析由于直線a不平行于平面α,則a在α內(nèi)或a與α相交,故A錯;當(dāng)a?α?xí)r,在平面α內(nèi)存在與a平行的直線,故B錯;因為α內(nèi)的直線也可能與a平行或異面,故C錯;由線面平行的定義知D正確.探究三平面與平面的位置關(guān)系例3給出的下列四個命題中,其中正確命題的個數(shù)是(

)①若平面α內(nèi)有兩條直線和平面β平行,則這兩個平面平行;②若平面α內(nèi)有無數(shù)條直線和平面β平行,則α與β平行;③若平面α內(nèi)△ABC的三個頂點(diǎn)到平面β的距離相等,則α與β平行;④若兩個不重合平面有無數(shù)個公共點(diǎn),則這兩個平面的位置關(guān)系是相交.A.0 B.1 C.3 D.4答案B解析如圖甲,平面α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行,但α與β相交;如圖乙,△ABC的三個頂點(diǎn)到β的距離相等,但α與β相交.故①②③均錯.不重合的兩個平面,若它們有公共點(diǎn),則它們有無數(shù)個公共點(diǎn),都在它們的交線上,故④正確.反思感悟平面與平面的位置關(guān)系的判斷方法判斷兩個平面相交,只需找到兩個平面的一個公共點(diǎn),就可根據(jù)基本事實3知,兩個不重合的平面是相交的.判斷兩個平面平行,可根據(jù)定義判斷兩個平面沒有公共點(diǎn),也可以排除兩個平面相交,從而判斷兩平面平行.變式訓(xùn)練2已知下列說法:①若兩個平面α∥β,a?α,b?β,則a∥b;②若兩個平面α∥β,a?α,b?β,則a與b一定不相交;③若兩個平面α∩β=b,a?α,則a與β一定相交.其中正確的是

.(填序號)

答案②解析①錯,a與b也可能異面;②對,∵α∥β,∴α與β無公共點(diǎn).又∵a?α,b?β,∴a與b無公共點(diǎn),即a與b一定不相交;③錯,a與β也可能平行.素養(yǎng)形成平面劃分空間問題典例互不重合的三個平面最多可以把空間分成

部分.

答案八解析互不重合的三個平面將空間分成五種情形:當(dāng)三個平面互相平行時,將空間分成四部分;當(dāng)兩個平面平行,第三個平面與它們相交時,將空間分成六部分;當(dāng)三個平面相交于同一條直線時,將空間分成六部分;當(dāng)三個平面相交于三條直線時,且三條交線交于同一點(diǎn)時,將空間分成八部分;當(dāng)三個平面相交于三條直線,且三條交線互相平行時,將空間分成七部分.即不重合的三個平面可以將空間分成四部分或六部分或七部分或八部分.所以最多將空間分成八部分.方法點(diǎn)睛平面劃分空間問題,應(yīng)根據(jù)平面的位置關(guān)系進(jìn)行討論分析,必要時可以借助空間模型來求解.當(dāng)堂檢測1.直線a與直線b相交,直線c與直線b相交,則直線a與直線c的位置關(guān)系是(

)A.相交 B.平行C.異面 D.以上都有可能答案D解析如圖所示,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB與AA1相交,A1B1與AA1相交,AB∥A1B1;又AD與AA1相交,AB與AD相交;又A1D1與AA1相交,AB與A1D1異面.故選D.2.若a是平面α外的一條直線,則直線a與平面α內(nèi)的直線的位置關(guān)系是(

)A.平行B.相交C.異面D.平行、相交或異面答案D解析若a∥α,則a與α內(nèi)的直線平行或異面;若a與α相交,則a與α內(nèi)的直線相交或異面.3.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,與AA1異面的棱是(

)A