高中同步學(xué)案優(yōu)化設(shè)計GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHUASHEJI8.5.2直線與平面平行第八章內(nèi)容索引0102課前篇自主預(yù)習(xí)課堂篇探究學(xué)習(xí)課標(biāo)闡釋思維脈絡(luò)1.理解并掌握直線與平面平行的判定定理.(數(shù)學(xué)抽象)2.理解并掌握直線與平面平行的性質(zhì)定理.(數(shù)學(xué)抽象)3.會證明直線與平面平行的性質(zhì)定理.(邏輯推理)4.能夠應(yīng)用直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理證明相關(guān)問題.(邏輯推理、直觀想象)課前篇自主預(yù)習(xí)激趣誘思在教室里,一般地,日光燈所在的直線與地面是平行的;將一本書平放在桌面上,翻動書的硬皮封面,則封面的外邊緣所在直線與桌面是平行的;我們還注意到門的兩邊是平行的,當(dāng)門繞著一邊轉(zhuǎn)動時,另一邊始終與門框所在的平面是平行的.這些生活中的實例都給我們留下了直線與平面平行的印象.知識點撥知識點一、直線與平面平行的判定定理

文字語言如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,那么該直線與此平面平行包括線面平行與線面相交兩類圖形語言符號語言a?α,b?α,且a∥b?a∥α作用證明直線與平面平行名師點析(1)線面平行的判定定理包含三個條件:①平面外一條直線;②平面內(nèi)一條直線;③兩條直線平行.這三個條件缺一不可.(2)定理充分體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化思想,它將線面平行問題轉(zhuǎn)化為線線平行問題,即線線平行?線面平行.微思考如果直線a與平面α內(nèi)的一條直線b平行,直線a與平面α一定平行嗎?提示不一定,直線a可能在平面α內(nèi).微練習(xí)能保證直線a與平面α平行的條件是(

)A.b?α,a∥bB.b?α,c∥α,a∥b,a∥cC.b?α,A,B∈a,C,D∈b,且AC∥BDD.a?α,b?α,a∥b答案D知識點二、直線與平面平行的性質(zhì)定理

文字語言一條直線與一個平面平行,如果過該直線的平面與此平面相交,那么該直線與交線平行圖形語言符號語言a∥α,a?β,α∩β=b?a∥b作用證明兩條直線平行名師點析(1)定理的條件可理解為有三條:①a∥α;②α∩β=b;③a?β.這三個條件缺一不可.(2)當(dāng)a∥α?xí)r,過a的任何平面與α的交線都與a平行,即a可以和α內(nèi)的無數(shù)條直線平行,但不是任意的.平面α內(nèi)凡是不與a平行的直線,都與a異面.微練習(xí)(1)如圖,在三棱錐S-ABC中,E,F分別是SB,SC上的點,且EF∥平面ABC,則(

)A.EF與BC相交B.EF∥BCC.EF與BC異面D.以上均有可能(2)判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)畫“√”,錯誤的畫“×”.①若直線l∥平面α,直線a?平面α,則l∥a.(

)②若直線l∥平面α,則l與平面α內(nèi)的任意一條直線都不相交.(

)③若直線m∥平面α,n∥平面α,則m∥n.(

)答案(1)B

(2)①×

②√

③×解析

(1)∵平面SBC∩平面ABC=BC,又∵EF∥平面ABC,∴EF∥BC.課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一直線與平面平行的判定例1(2021江蘇高一期末改編)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,M,N分別為棱AB,PD的中點.求證:直線MN∥平面PBC.證明取PC的中點E,連接NE,EB,又因為N為PD的中點,因為底面ABCD為矩形,所以AB∥CD,AB=CD,所以MB∥NE,且MB=NE,則四邊形MBEN為平行四邊形,所以MN∥EB,又MN?平面PBC,EB?平面PBC,所以直線MN∥平面PBC.反思感悟證明線面平行的思路及步驟證明直線與平面平行,可以用定義,也可以用判定定理,但說明直線與平面沒有公共點不是很容易(當(dāng)然也可用反證法),所以更多的是用判定定理,用判定定理證明直線與平面平行的步驟如下:變式訓(xùn)練如圖,P是?ABCD所在平面外一點,E,F分別為AB,PD的中點,求證:AF∥平面PEC.證明設(shè)PC的中點為G,連接EG,FG.∵F為PD的中點,∴GF∥CD,且GF=CD.∵AB∥CD,AB=CD,E為AB的中點,∴GF∥AE,GF=AE,∴四邊形AEGF為平行四邊形,∴EG∥AF.又∵AF?平面PEC,EG?平面PEC,∴AF∥平面PEC.探究二直線與平面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用例2如圖,用平行于四面體ABCD的一組對棱AB,CD的平面截此四面體.求證:截面MNPQ是平行四邊形.分析根據(jù)已知AB∥平面MNPQ,CD∥平面MNPQ,根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理,找出經(jīng)過直線的平面與平面MNPQ的交線,轉(zhuǎn)化為線線平行即可得證.證明因為AB∥平面MNPQ,平面ABC∩平面MNPQ=MN,且AB?平面ABC,所以由線面平行的性質(zhì)定理,知AB∥MN.同理,AB∥PQ,所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.所以截面MNPQ是平行四邊形.反思感悟1.利用線面平行的性質(zhì)定理解題的步驟

2.運(yùn)用線面平行的性質(zhì)定理時,應(yīng)先確定線面平行,再尋找過已知直線的平面與這個平面相交的交線,然后確定線線平行.延伸探究2若本例中添加條件:AB⊥CD,AB=10,CD=8,且BP∶PD=1∶1,求四邊形MNPQ的面積.解由例2知,四邊形MNPQ是平行四邊形,∵AB⊥CD,∴PQ⊥QM,∴四邊形MNPQ是矩形.∴PQ=5,QM=4,∴四邊形MNPQ的面積為5×4=20.探究三線面平行性質(zhì)定理與判定定理的綜合應(yīng)用例3求證:如果一條直線和兩個相交平面都平行,那么該直線與相交平面的交線平行.分析先寫出已知求證,再借助線面平行的性質(zhì)定理與判定定理求解.解已知:a,l是直線,α,β是平面.a∥α,a∥β,且α∩β=l.求證:a∥l.證明:如圖,在平面α內(nèi)任取一點A,且使A?l.∵a∥α,∴A?a.故點A和直線a確定一個平面γ,設(shè)γ∩α=m.同理,在平面β內(nèi)任取一點B,且使B?l,則點B和直線a確定平面δ,設(shè)δ∩β=n.∵a∥α,a?γ,γ∩α=m,∴a∥m.同理a∥n,則m∥n.又m?β,n?β,∴m∥β.∵m?α,α∩β=l,∴m∥l.又a∥m,∴a∥l.反思感悟利用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理,可以完成線線平行與線面平行的相互轉(zhuǎn)化,轉(zhuǎn)化思想是一種重要數(shù)學(xué)思想.該轉(zhuǎn)化過程可概括為:延伸探究若本例中條件改為“α∩β=l,γ∩β=m,γ∩α=n,且l∥m”,試判斷直線l,m,n的位置關(guān)系,并說明你的理由.解三條直線l,m,n相互平行.證明如下,如圖,∵l∥m,m?γ,l?γ,∴l(xiāng)∥γ.又l?α,α∩γ=n,∴l(xiāng)∥n.又l∥m,∴m∥n,即直線l,m,n相互平行.素養(yǎng)形成分類討論思想在線面平行中的應(yīng)用典例已知BC∥平面α,D在線段BC上,A?α,直線AB,AC,AD分別交α于點E,G,F,且BC=a,AD=b,DF=c,求EG的長.解(1)當(dāng)BC位于點A與平面α之間時,如圖①,AB∩AC=A,由AB,AC確定平面β,所以BC?β,α∩β=EG.因為BC∥平面α,①

(2)當(dāng)點A在BC與平面α之間時,如圖②,因為BC∥平面α,②

(3)當(dāng)點A和BC位于平面α兩側(cè)時,如圖③.③

方法點睛本題中點A的位置有三種情況:①BC在點A與平面α之間;②點A在BC與平面α之間;③平面α在點A與BC之間.解題時容易只考慮其中一種情形而漏解.當(dāng)堂檢測1.平面α與△ABC的兩邊AB,AC分別交于點D,E,且AD∶DB=AE∶EC,如圖所示,則BC與α的位置關(guān)系是(

)A.平行 B.相交C.異面 D.BC?α答案A解析在△ABC中,∵AD∶DB=AE∶EC,∴BC∥DE.∵BC?α,DE?α,∴BC∥α.2.如圖所示,過正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1,則BB1與EE1的位置關(guān)系是(

)A.平行 B.相交 C.異面 D.不確定答案A解析∵BB1∥CC1,BB1?平面CDD1C1,CC1?平面CDD1C1,∴BB1∥平面CDD1C1.又BB1?平面BEE1B1,平面BEE1B1∩平面CDD1C1=EE1,∴BB1∥EE1.3.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,與BC平行的平面是

;與BC1平行的平面是

;與平面A1B1C1D1和平面A1B1BA都平行的棱是

.

答案平面A1B1C1D1與平面ADD1A1

平面ADD1A1

DC解析觀察題圖,根據(jù)判定定理可知,與BC平行的平面是平面A1B1C1D1與平面ADD1A1;與BC1平行的平面是平面ADD1A1;因為與平面A1B1C1D1平行的棱有AB和DC,與平面A1B1BA平行