高中同步學(xué)案優(yōu)化設(shè)計GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHUASHEJI10.2事件的相互獨(dú)立性第十章內(nèi)容索引0102課前篇自主預(yù)習(xí)課堂篇探究學(xué)習(xí)課標(biāo)闡釋1.理解相互獨(dú)立事件的意義,弄清事件“互斥”與“相互獨(dú)立”是兩個不同的概念.(數(shù)學(xué)抽象)2.掌握兩個相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率乘法公式.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)3.能夠綜合運(yùn)用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式解決一些較簡單的相關(guān)概率計算問題.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)4.培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力,提高學(xué)生數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化與化歸的能力.(邏輯推理)思維脈絡(luò)課前篇自主預(yù)習(xí)激趣誘思常言道:“三個臭皮匠頂個諸葛亮.”怎樣從數(shù)學(xué)上來解釋呢?將問題具體化:假如對某事件諸葛亮想出計謀的概率為0.88,三個臭皮匠甲、乙、丙想出計謀的概率各為0.6,0.5,0.5.問這三個臭皮匠能勝過諸葛亮嗎?知識點(diǎn)撥知識點(diǎn)一、兩個事件相互獨(dú)立對任意兩個事件A與B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,則稱事件A與事件B相互獨(dú)立,簡稱為獨(dú)立.A與B的發(fā)生互不影響

名師點(diǎn)析(1)如果A與B相互獨(dú)立,那么A與

也都相互獨(dú)立.(2)必然事件Ω、不可能事件?都與任意事件相互獨(dú)立.因為必然事件Ω總會發(fā)生,不會受任何事件是否發(fā)生的影響,不可能事件?總不會發(fā)生,也不受任何事件是否發(fā)生的影響.當(dāng)然,它們也不影響其他事件是否發(fā)生.(3)對于n個事件A1,A2,…,An,如果其中任意一個事件發(fā)生的概率不受其他事件是否發(fā)生的影響,則稱n個事件A1,A2,…,An相互獨(dú)立.微思考分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣,事件A=“第一枚硬幣正面朝上”,事件B=“第二枚硬幣反面朝上”.你覺得事件A發(fā)生與否會影響事件B的發(fā)生嗎?P(A),P(B)與P(AB)有怎樣的關(guān)系?提示因為分別拋擲兩枚硬幣,故事件A發(fā)生與否不會影響事件B的發(fā)生.正面朝上且第二枚硬幣反面朝上,列出樣本空間為{(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)},共4種情況,而AB為(正,反),1種情況.故P(AB)=.所以P(AB)=P(A)·P(B).微練習(xí)若事件A與B相互獨(dú)立,則下面的事件不相互獨(dú)立的是(

)答案A解析

A與

是對立事件.知識點(diǎn)二、兩個相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率乘法公式

若A,B是兩個相互獨(dú)立事件,則有P(AB)=P(A)P(B)成立.條件,必不可少

名師點(diǎn)析(1)三個事件A,B,C兩兩互斥,則P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)成立.但三個事件A,B,C兩兩獨(dú)立時,等式P(ABC)=P(A)P(B)P(C)一般不成立.(2)A,B,C相互獨(dú)立的充要條件是:P(AB)=P(A)P(B),P(BC)=P(B)P(C),P(CA)=P(C)P(A),P(ABC)=P(A)P(B)P(C),4個條件每個都必不可少.微練習(xí)已知甲、乙兩球落入盒子的概率分別為

.假定兩球是否落入盒子互不影響,則甲、乙兩球至少有一球落入盒子的概率為

.

微思考如果連續(xù)10次擲一枚骰子,結(jié)果都是出現(xiàn)1點(diǎn),你認(rèn)為這枚骰子的質(zhì)地均勻嗎?為什么?提示可以推測這枚骰子的質(zhì)地不均勻,并且很有可能是標(biāo)有6點(diǎn)的那面比較重,使得出現(xiàn)1點(diǎn)的概率最大,才會連續(xù)10次都出現(xiàn)1點(diǎn).如果這枚骰子的質(zhì)地均勻,那么拋擲一次出現(xiàn)1點(diǎn)的概率為

,連續(xù)10次都出現(xiàn)1點(diǎn)的概率為

≈0.000000016538,這是一個小概率事件,幾乎不可能發(fā)生.課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一相互獨(dú)立事件的判斷例1拋擲一枚均勻的骰子一次,記事件A=“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”,B=“出現(xiàn)3點(diǎn)或6點(diǎn)”,則事件A與B的關(guān)系是(

)A.互斥

B.相互獨(dú)立C.既互斥又相互獨(dú)立 D.既不互斥又不相互獨(dú)立答案B解析因為A={2,4,6},B={3,6},A∩B={6},所以A與B相互獨(dú)立.反思感悟判斷兩個事件A,B是否相互獨(dú)立,一般有兩種思路,一種是直接法,即從是否相互影響其發(fā)生(偏感性認(rèn)識)判斷;第二種是定義法,即利用定義P(AB)=P(A)P(B)進(jìn)行理性判斷.變式訓(xùn)練1袋內(nèi)有3個白球和2個黑球,從中不放回地摸球,記A=“第一次摸的白球”,B=“第二次摸的白球”,則A與B(

)A.互斥 B.相互獨(dú)立C.對立 D.不相互獨(dú)立答案D探究二相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率例2(2021浙江溫州期末)本著健康、低碳的生活,租共享電動自行車出行的人越來越多,某共享電動自行車租車點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是起步價2元(20分鐘及以內(nèi)),超過20分鐘每10分鐘收費(fèi)1元(不足10分鐘的部分按10分鐘計算).現(xiàn)有甲、乙、丙三人來該租車點(diǎn)租車,已知三人租車是相互獨(dú)立的(各租一車(1)求甲、乙、丙三人的租車費(fèi)用不完全相同的概率;(2)求甲、乙、丙三人的租車費(fèi)用和為10元的概率.(1)答案B解析由比分可知甲從現(xiàn)在起需勝3次,輸1次,且甲第四次勝,第1次或第2次輸,故在比分為24∶24平且甲隊發(fā)球的情況下,甲隊以27∶25贏下比賽的概探究三相互獨(dú)立事件概率的綜合應(yīng)用例3小王某天乘火車從重慶到上海去辦事,若當(dāng)天從重慶到上海的三列火車正點(diǎn)到達(dá)的概率分別為0.8,0.7,0.9,假設(shè)這三列火車之間是否正點(diǎn)到達(dá)互不影響.求:(1)這三列火車恰好有兩列正點(diǎn)到達(dá)的概率;(2)這三列火車至少有一列正點(diǎn)到達(dá)的概率.解用A,B,C分別表示這三列火車正點(diǎn)到達(dá)的事件,則P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.9,反思感悟明確事件中的“至少有一個發(fā)生”“至多有一個發(fā)生”“恰好有一個發(fā)生”“都發(fā)生”“都不發(fā)生”“不都發(fā)生”等詞語的意義.一般地,已知兩個事件A,B,它們的概率分別為P(A),P(B),那么:(1)A,B中至少有一個發(fā)生為事件A+B.(2)A,B都發(fā)生為事件AB.延伸探究在例3中條件不變,試求恰有一列火車正點(diǎn)到達(dá)的概率.解恰有一列火車正點(diǎn)到達(dá)的概率為

=0.8×0.3×0.1+0.2×0.7×0.1+0.2×0.3×0.9=0.092.變式訓(xùn)練3某機(jī)械廠制造一種汽車零件,已知甲機(jī)床的正品率是0.96,乙機(jī)床的次品率是0.05,現(xiàn)從它們制造的產(chǎn)品中各任意抽取一件,試求:(1)兩件產(chǎn)品都是正品的概率;(2)恰有一件是正品的概率;(3)至少有一件是正品的概率.=0.96×0.05+0.04×0.95=0.086.(3)由于事件AB與C互斥,所以P(D)=P(AB∪C)=P(AB)+P(C)=0.912+0.086=0.998.素養(yǎng)形成概率問題中的數(shù)學(xué)思想

典例在一段線路中并聯(lián)著3個自動控制的常開開關(guān),只要其中有1個開關(guān)能夠閉合,線路就能正常工作.假定在某段時間內(nèi)每個開關(guān)閉合的概率都是0.7,計算在這段時間內(nèi)線路正常工作的概率.分析該線路是并聯(lián)電路,當(dāng)且僅當(dāng)三個開關(guān)都不閉合時,線路才不通,故本題可采用對立事件求解.解分別記這段時間內(nèi)開關(guān)JA,JB,JC能夠閉合為事件A,B,C.由題意知,這段時間內(nèi)3個開關(guān)是否能夠閉合相互之間沒有影響.根據(jù)相互獨(dú)立事件概率的方法點(diǎn)睛概率問題中的數(shù)學(xué)思想(1)正難則反.靈活應(yīng)用對立事件的概率關(guān)系(P(A)+P()=1)簡化問題,是求解概率問題最常用的方法.(2)化繁為簡.將復(fù)雜事件的概率轉(zhuǎn)化為簡單事件的概率,即尋找所求事件與已知事件之間的關(guān)系.弄清“所求事件”是分幾類(考慮加法公式,轉(zhuǎn)化為互斥事件)還是分幾步(考慮乘法公式,轉(zhuǎn)化為相互獨(dú)立事件).(3)方程思想.利用有關(guān)的概率公式和問題中的數(shù)量關(guān)系,建立方程(組),通過解方程(組)使問題獲解.當(dāng)堂檢測答案B答案C3.一件產(chǎn)品要經(jīng)過2道獨(dú)立的加工程序,第一道工序的次品率為a,第二道工序的次品率為b,則產(chǎn)品的正品率為(

)A.1-a-b B.1-abC.(1-a)(1-b) D.1-(1-a)(1-b)答案C解析設(shè)A表示“第一道工序的產(chǎn)品為正品”,B表示“第二道工序的產(chǎn)品為正品”,且P(AB)=P(A)P(B)=(1-a)(1-b).4.(2021山東菏澤期末)如圖所示,用K,A1,A2三個不同的元件連接成一個系統(tǒng).當(dāng)K正常工作且A1,A2至少有一個正常工作時,系統(tǒng)正常工作.已知K,A1,A2正常工作的概率依次為0.9,0.8,0.5,則系統(tǒng)正常工作的概率為

.

答案0.81解析當(dāng)K正常工作且A1,A2至少有一個正常工作時,系統(tǒng)正常工作.K,A1,A2正常工作的概率依次為0.9,0.8,0.5,則系統(tǒng)正常工作的概率為P=0.9×[1-(1-0.8)