第五章1.2復(fù)數(shù)的幾何意義基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)課程標(biāo)準(zhǔn)1.了解復(fù)平面的概念.2.理解復(fù)數(shù)、復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)、復(fù)平面內(nèi)的向量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.3.掌握復(fù)數(shù)模的概念,會(huì)求復(fù)數(shù)的模.4.掌握共軛復(fù)數(shù)的概念及幾何意義.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)知識(shí)點(diǎn)一

復(fù)平面

如圖,點(diǎn)Z的橫坐標(biāo)是a,縱坐標(biāo)是b,復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)可以用點(diǎn)Z(a,b)表示.這個(gè)通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面稱為復(fù)平面,x軸稱為

,y軸稱為

.顯然,實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù);除了_______

外,虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù).

實(shí)軸

虛軸原點(diǎn)思考辨析虛軸上的點(diǎn)都對(duì)應(yīng)著唯一的純虛數(shù)嗎?提示

不是.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)(1)實(shí)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù).(

)(2)虛軸上的點(diǎn)表示虛數(shù).(

)(3)復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為復(fù)數(shù)的實(shí)部.(

)√××2.在復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)(0,-5)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是

.

-5i知識(shí)點(diǎn)二

復(fù)數(shù)的幾何意義1.復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z=a+bi與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)是一一對(duì)應(yīng)的,即復(fù)數(shù)z=a+bi

復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b).2.復(fù)數(shù)與向量的對(duì)應(yīng)如圖,復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)與復(fù)平面內(nèi)的向量

=(a,b)也是一一對(duì)應(yīng)的,即復(fù)數(shù)z=a+bi

平面向量

.只有向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)才有這種一一對(duì)應(yīng)關(guān)系

名師點(diǎn)睛1.復(fù)數(shù)的實(shí)質(zhì)是有序?qū)崝?shù)對(duì).2.根據(jù)復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng),復(fù)數(shù)與平面向量一一對(duì)應(yīng),可知復(fù)數(shù)z=a+bi、復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)和平面向量

之間的關(guān)系可用圖表示.思考辨析在復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)(1,6)和(6,1)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)一樣嗎?提示

不一樣,對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是1+6i,6+i.自主診斷1.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z=i+2i2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(

)

A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限B解析

∵z=i+2i2=-2+i,∴實(shí)部為-2,虛部為1,故復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.2.[人教A版教材習(xí)題]在復(fù)平面內(nèi),O是原點(diǎn),向量

對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是2+i.(1)如果點(diǎn)A關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B,求向量

對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù);(2)如果(1)中點(diǎn)B關(guān)于虛軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C,求點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).(2)點(diǎn)B(2,-1)關(guān)于虛軸的對(duì)稱點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-2,-1),則點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是-2-i.(1)點(diǎn)A(2,1)關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,-1),則向量

對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2-i.知識(shí)點(diǎn)三

復(fù)數(shù)的模定義:向量

的模稱為復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的模,記作|z|或|a+bi|.由向量模的定義可知,|z|=|a+bi|=

.

如果b=0,那么z=a+bi是一個(gè)實(shí)數(shù)a,它的模

=|a|(a的絕對(duì)值).雖然兩個(gè)復(fù)數(shù)一般不能比較大小,但它們的模是非負(fù)實(shí)數(shù),可以比較大小.名師點(diǎn)睛1.模的幾何意義:復(fù)數(shù)模的幾何意義就是復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z(a,b)到原點(diǎn)(0,0)的距離,也就是向量

的模,即|z|=||.2.兩個(gè)復(fù)數(shù)相等,其模必相等;但模相等的兩個(gè)復(fù)數(shù)未必相等.思考辨析已知在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(m,n),如何求z的模?自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)(1)復(fù)數(shù)的模一定是正實(shí)數(shù).(

)(2)若z1=z2,則|z1|=|z2|.(

)(3)若z1>z2,則|z1|>|z2|.(

)(4)若|z1|=|z2|,則z1=z2.(

)2.[人教A版教材習(xí)題]求復(fù)數(shù)z1=3+4i及

的模,并比較它們的模的大小.×√××知識(shí)點(diǎn)四

共軛復(fù)數(shù)若兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部

,而虛部互為

,則稱這兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù).復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用

表示.當(dāng)z=a+bi(a,b∈R)時(shí),=a-bi.顯然,在復(fù)平面內(nèi),表示兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱,并且它們的模相等.另外,當(dāng)復(fù)數(shù)z=a+bi的虛部b=0

時(shí),有

=z.也就是說(shuō),任意一個(gè)實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)仍是它本身,反之亦然.相等

相反數(shù)

名師點(diǎn)睛1.已知z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R,則z1,z2互為共軛復(fù)數(shù)的充要條件是a=c且b=-d.2.共軛復(fù)數(shù)的特點(diǎn)(1)在復(fù)平面內(nèi),表示兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離相等.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)(1)若兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù),則它們的模相等.(

)(2)在復(fù)平面內(nèi),表示共軛復(fù)數(shù)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱.(

)√×2.[2024北京大興高一質(zhì)檢]已知在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-3,4),則||=(

)

A.3 B.4

C.5 D.4C重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系【例1】

求實(shí)數(shù)a分別取何值時(shí),復(fù)數(shù)

對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z滿足下列條件:(1)在復(fù)平面的第二象限內(nèi).(2)在復(fù)平面內(nèi)的實(shí)軸上方.變式探究(1)本例中題設(shè)條件不變,求復(fù)數(shù)z表示的點(diǎn)Z在實(shí)軸上時(shí),實(shí)數(shù)a的值.解

因?yàn)辄c(diǎn)Z在實(shí)軸上,所以a2-2a-15=0且a+3≠0,所以a=5.故當(dāng)a=5時(shí),點(diǎn)Z在實(shí)軸上.(2)本例中條件不變,如果點(diǎn)Z在直線x+y+7=0上,求實(shí)數(shù)a的值.規(guī)律方法

利用復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系的解題步驟(1)找對(duì)應(yīng)關(guān)系:復(fù)數(shù)的幾何表示法即復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)可以用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)來(lái)表示,是解決此類問(wèn)題的根據(jù).(2)列出方程:此類問(wèn)題可建立復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)滿足的條件,通過(guò)解方程(組)或不等式(組)求解.變式訓(xùn)練1在復(fù)平面內(nèi),若復(fù)數(shù)z=(m2-2m-8)+(m2+3m-10)i對(duì)應(yīng)的點(diǎn):(1)在虛軸上;(2)在第二象限;(3)在第二、四象限;(4)在直線y=x上,分別求實(shí)數(shù)m的值或取值范圍.解

復(fù)數(shù)z=(m2-2m-8)+(m2+3m-10)i的實(shí)部為m2-2m-8,虛部為m2+3m-10.(1)由題意得m2-2m-8=0,解得m=-2或m=4.解得2<m<4.故在第二象限時(shí),實(shí)數(shù)m的取值范圍是(2,4).(3)由題意得,(m2-2m-8)(m2+3m-10)<0,∴2<m<4或-5<m<-2.故在第二、四象限時(shí),實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-5,-2)∪(2,4).(4)由題得,m2-2m-8=m2+3m-10,故m=.探究點(diǎn)二復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)向量的對(duì)應(yīng)【例2】

在復(fù)平面上,點(diǎn)A,B,C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1+4i,-3i,2,O為復(fù)平面的坐標(biāo)原點(diǎn).(2)求平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).規(guī)律方法

1.若復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R),則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量

=(a,b).2.復(fù)平面內(nèi)向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)可以通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得.3.一個(gè)向量不管怎樣平移,它所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是不變的,但其起點(diǎn)與終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)改變.A.-2-i B.-2+I

C.1+2i

D.-1+2iB(2)四邊形ABCD是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形,A,B,C三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是1+3i,-i,2+i.①求點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù);②求△ABC的邊BC上的高.解

①?gòu)?fù)平面內(nèi)A,B,C對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(1,3),(0,-1),(2,1).設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x,y),即x-1=2,y-3=2,解得x=3,y=5,故點(diǎn)D(3,5),其對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為3+5i.②因?yàn)锽(0,-1),C(2,1),所以直線BC的方程為x-y-1=0,探究點(diǎn)三復(fù)數(shù)的模及其應(yīng)用角度1.復(fù)數(shù)的模的幾何意義【例3】

設(shè)z∈C,在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z,試說(shuō)明滿足下列條件的點(diǎn)Z的集合是什么圖形.(1)|z|=2;(2)1≤|z|≤2.解

(1)(方法一)|z|=2說(shuō)明復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z到原點(diǎn)的距離為2,這樣的點(diǎn)Z的集合是以原點(diǎn)O為圓心,2為半徑的圓.(方法二)設(shè)z=a+bi(a,b∈R),由|z|=2,得a2+b2=4.故點(diǎn)Z對(duì)應(yīng)的集合是以原點(diǎn)O為圓心,2為半徑的圓.不等式|z|≤2的解集對(duì)應(yīng)圓|z|=2及該圓內(nèi)部所有點(diǎn)的集合.不等式|z|≥1的解集對(duì)應(yīng)圓|z|=1及該圓外部所有點(diǎn)的集合.這兩個(gè)集合的交集,對(duì)應(yīng)滿足條件1≤|z|≤2的點(diǎn)的集合.如圖中的陰影部分,所求點(diǎn)的集合是以O(shè)為圓心,以1和2為半徑的兩圓所夾的圓環(huán),并且包括圓環(huán)的邊界.規(guī)律方法

解決復(fù)數(shù)的模的幾何意義的問(wèn)題,應(yīng)把握兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):一是|z|表示點(diǎn)Z到原點(diǎn)的距離,可依據(jù)|z|滿足的條件判斷點(diǎn)Z的集合表示的圖形;二是|z1-z2|表示復(fù)數(shù)z1,z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離.變式訓(xùn)練3若復(fù)數(shù)z滿足|z|≤,則z在復(fù)平面所對(duì)應(yīng)的圖形的面積為

.

2π

角度2.復(fù)數(shù)的模的計(jì)算【例4】

(1)已知復(fù)數(shù)z1=6-5i,z2=-2+3i,若z1,z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,線段AB的中點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z,則|z|=(

)AA.|z1|>|z2| B.|z1|<|z2|C.|z1|=|z2| D.不能確定A規(guī)律方法

1.在計(jì)算與模有關(guān)的問(wèn)題時(shí),首先分清復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部,若給出的復(fù)數(shù)不是標(biāo)準(zhǔn)形式,要先化為標(biāo)準(zhǔn)形式再利用公式

求解.2.復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的模對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的集合是以原點(diǎn)為圓心,為半徑的圓.變式訓(xùn)練4(1)復(fù)數(shù)z1=a+2i,z2=-2+i,若|z1|<|z2|,那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.

(-1,1)(2)已知復(fù)數(shù)z=3+ai,且|z|<4,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

.

(方法二)利用復(fù)數(shù)的幾何意義,由|z|<4知,z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心,4為半徑的圓內(nèi)(不包括邊界).由z=3+ai知z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線x=3上,故線段AB(除去端點(diǎn))為動(dòng)點(diǎn)Z的集合,探究點(diǎn)四共軛復(fù)數(shù)及其應(yīng)用【例5】

設(shè)z=-3+2i,則在復(fù)平面內(nèi)

對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限C解析

由z=-3+2i,得

=-3-2i,則在復(fù)平面內(nèi)

對(duì)應(yīng)