第四章3.1二倍角公式基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)課程標(biāo)準(zhǔn)1.掌握二倍角公式及其推導(dǎo)過程.2.靈活運(yùn)用二倍角公式與和角、差角公式解決求值、化簡和證明問題.3.體會(huì)二倍角公式與和角、差角公式的內(nèi)在聯(lián)系.4.能綜合運(yùn)用三角函數(shù)公式解決綜合問題.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過知識(shí)點(diǎn)

二倍角的正弦、余弦和正切公式

三角函數(shù)公式簡記正弦sin2α=

S2α余弦cos2α=cos2α-sin2α=

=

C2α正切tan2α=

T2α2sinαcosα2cos2α-1

1-2sin2α

名師點(diǎn)睛1.二倍角公式中S2α,C2α對(duì)任意角α均成立,但在T2α中,需思考辨析在公式tan2α=中,α有何限制條件?提示

2α和α必須都滿足角的終邊不能在y軸上.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)√√×√2.[人教A版教材例題]已知,求sin4α,cos4α,tan4α的值.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一利用二倍角公式解決給角求值問題【例1】

求下列各式的值:(2)1-2sin2750°;(4)cos20°cos40°cos80°.(2)原式=cos(2×750°)=cos

1

500°=cos(4×360°+60°)=cos

60°=.(3)原式=tan(2×150°)=tan

300°=tan(360°-60°)=-tan

60°=-.規(guī)律方法

對(duì)于給角求值問題,一般有兩類:(1)直接正用或逆用二倍角公式,結(jié)合誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系對(duì)已知角進(jìn)行轉(zhuǎn)化,一般可以化為特殊角.(2)若形式為幾個(gè)非特殊角的三角函數(shù)式相乘,則一般逆用二倍角的正弦公式,在求解過程中,需利用互余關(guān)系配湊出應(yīng)用二倍角公式的條件,使得問題出現(xiàn)可以連用二倍角的正弦公式的形式.變式訓(xùn)練1求下列各式的值:探究點(diǎn)二利用二倍角公式解決條件求值問題(1)求tan2x的值;規(guī)律方法

解決條件求值問題的方法給值求值問題,注意尋找已知式與未知式之間的聯(lián)系,有兩個(gè)觀察方向:(1)有方向地將已知式或未知式化簡,使關(guān)系明朗化;(2)尋找角之間的關(guān)系,看是否適合相關(guān)公式的使用,注意常見角的變換和角之間的二倍關(guān)系.A探究點(diǎn)三利用二倍角公式解決化簡與證明問題【例3】

(1)化簡:cos2(θ+15°)+sin2(θ-15°)+sin(θ+90°)cos(90°-θ);規(guī)律方法

1.對(duì)于三角函數(shù)式的化簡,要注意以下兩點(diǎn):(1)三角函數(shù)式的化簡有四個(gè)方向,即分別從“角”“函數(shù)名”“冪”“形”著手分析,消除差異.(2)三角函數(shù)式的化簡,主要有以下幾類:①對(duì)三角的和式,基本思路是降冪、消項(xiàng)和逆用公式;②對(duì)三角的分式,基本思路是分子與分母的約分和逆用公式,最終變成整式或數(shù)值;③對(duì)二次根式,則需要運(yùn)用倍角公式的變形形式.在具體過程中體現(xiàn)的則是化歸的思想,是一個(gè)“化異為同”的過程,涉及切弦互化,即“函數(shù)名”的“化同”;角的變換,即“單角化倍角”“單角化復(fù)角”“復(fù)角化復(fù)角”等具體手段.2.對(duì)于無條件的恒等式證明,常采用的方法有化繁為簡和左右歸一,關(guān)鍵是分析等式兩邊三角函數(shù)式的特點(diǎn)、角度和函數(shù)關(guān)系,找出差異,尋找突破口;有條件的等式證明,常先觀察條件及式中左右兩邊三角函數(shù)式的區(qū)別與聯(lián)系.另外,需注意二倍角公式本身是“升冪公式”,其變形是“降冪公式”,在證明中應(yīng)靈活選擇.探究點(diǎn)四二倍角公式在三角函數(shù)中的應(yīng)用(1)求f(x)的最小正周期;規(guī)律方法

要研究三角函數(shù)的周期性、單調(diào)區(qū)間、值域等性質(zhì),就必須要把函數(shù)解析式化為f(x)=Asin(ωx+φ)的形式,因此,化簡函數(shù)解析式是研究性質(zhì)的前提.而化簡解析式時(shí),需要用到各種三角函數(shù)公式,例如,同角的三角函數(shù)基本關(guān)系式、兩角和與差的三角函數(shù)公式及倍角公式,特別是當(dāng)解析式的次數(shù)不是1時(shí),經(jīng)常用倍角公式及其變形進(jìn)行降冪,然后用其他相關(guān)公式化簡.變式訓(xùn)練4[人教A版教材習(xí)題]已知函數(shù)f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)當(dāng)x∈

時(shí),求f(x)的最小值以及取得最小值時(shí)x的集合.探究點(diǎn)五二倍角公式在實(shí)際問題中的應(yīng)用【例5】

如圖,有一塊以點(diǎn)O為圓心的半圓形空地,要在這塊空地上劃出一個(gè)內(nèi)接矩形ABCD開辟為綠地,使其一邊AD落在半圓的直徑上,另兩點(diǎn)B,C落在半圓的圓周上.已知半圓的半徑長為20m.(1)如何選擇關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱的點(diǎn)A,D的位置,可以使矩形ABCD的面積最大,最大值是多少?(2)沿著AB,BC,CD修一條步行小路從A到D,如何選擇A,D的位置,使步行小路的距離最遠(yuǎn)?規(guī)律方法

三角函數(shù)與平面幾何有著密切聯(lián)系,幾何中的角度、長度、面積等問題,常借助三角恒等變換來解決;實(shí)際問題的意義常反映在三角形的邊、角關(guān)系上,故常用三角函數(shù)模型解決實(shí)際的優(yōu)化問題.變式訓(xùn)練5等腰三角形一個(gè)底角的余弦值為,那么這個(gè)三角形頂角的正弦值為

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本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)二倍角公式的推導(dǎo);(2)掌握二倍角公式的正用、逆用和變形用,并能進(jìn)行化簡、求值和證明.2.方法歸納:轉(zhuǎn)化法、整體