恒成立題目及答案

單項選擇題（每題2分，共10題）1.不等式\(x^2+2x+a>0\)對任意\(x\)恒成立，則\(a\)的取值范圍是（）A.\(a>1\)B.\(a\geq1\)C.\(a<1\)D.\(a\leq1\)2.函數(shù)\(f(x)=ax+3\)，\(x\in[-1,1]\)，\(f(x)\geq0\)恒成立，則\(a\)的取值范圍是（）A.\(-3\leqa\leq3\)B.\(a\geq-3\)C.\(a\leq3\)D.\(a\leq-3\)或\(a\geq3\)3.若不等式\(mx^2-mx+1>0\)對任意實數(shù)\(x\)恒成立，則\(m\)的取值范圍是（）A.\(0<m<4\)B.\(0\leqm<4\)C.\(m<0\)或\(m>4\)D.\(m\leq0\)或\(m\geq4\)4.對于任意\(x\inR\)，不等式\(x^2-2ax+a^2+a-1>0\)恒成立，則實數(shù)\(a\)的取值范圍是（）A.\(a<1\)B.\(a\leq1\)C.\(a>1\)D.\(a\geq1\)5.已知函數(shù)\(f(x)=x^2-2x+a\)，若\(f(x)\geq0\)在區(qū)間\([0,3]\)上恒成立，則\(a\)的取值范圍是（）A.\(a\geq1\)B.\(a\geq-1\)C.\(a\geq0\)D.\(a\geq2\)6.不等式\(ax^2+bx+c<0\)的解集為\(R\)，則（）A.\(a<0\)，\(\Delta>0\)B.\(a<0\)，\(\Delta<0\)C.\(a>0\)，\(\Delta>0\)D.\(a>0\)，\(\Delta<0\)7.若\(f(x)=kx+1\)，在\(x\in[-1,1]\)上\(f(x)\geq0\)恒成立，則\(k\)的取值范圍是（）A.\(-1\leqk\leq1\)B.\(k\geq-1\)C.\(k\leq1\)D.\(k\leq-1\)或\(k\geq1\)8.不等式\(x^2+bx+1\geq0\)對任意\(x\inR\)恒成立，則\(b\)的取值范圍是（）A.\(-2\leqb\leq2\)B.\(b\leq-2\)或\(b\geq2\)C.\(-2<b<2\)D.\(b<-2\)或\(b>2\)9.函數(shù)\(y=\sqrt{ax^2+ax+1}\)的定義域為\(R\)，則\(a\)的取值范圍是（）A.\(0<a\leq4\)B.\(0\leqa\leq4\)C.\(a\geq4\)D.\(a<0\)或\(a>4\)10.不等式\(a\leq3x^2-x+1\)對任意\(x\inR\)恒成立，則\(a\)的最大值為（）A.\(\frac{11}{12}\)B.\(\frac{13}{12}\)C.\(\frac{11}{11}\)D.\(\frac{13}{13}\)多項選擇題（每題2分，共10題）1.若不等式\(ax^2+bx+c>0\)恒成立，則（）A.\(a>0\)B.\(\Delta=b^2-4ac<0\)C.\(a=0\)，\(b>0\)D.\(a=0\)，\(b=0\)，\(c>0\)2.已知函數(shù)\(f(x)=ax^2+2x+a\)，\(f(x)>0\)對任意\(x\)恒成立，則（）A.\(a>0\)B.\(\Delta=4-4a^2<0\)C.\(a>1\)D.\(a\geq1\)3.不等式\(m\leqx^2-2x+3\)對任意\(x\inR\)恒成立，則實數(shù)\(m\)的取值可以是（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(0\)D.\(-1\)4.若\(f(x)=kx^2-4x+k-3\)，\(f(x)<0\)對任意\(x\)恒成立，則（）A.\(k<0\)B.\(\Delta=16-4k(k-3)<0\)C.\(k<-1\)D.\(k>4\)5.對于函數(shù)\(y=a-\sinx\)，\(y\geq0\)恒成立，則\(a\)的取值可以是（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(0\)D.\(-1\)6.不等式\(x^2+2ax+a^2-1<0\)的解集不是\(R\)，則\(a\)的可能取值為（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(-1\)D.\(2\)7.若\(f(x)=x^2-mx+m\)，\(f(x)\geq0\)在\([0,+\infty)\)上恒成立，則\(m\)的取值范圍可能是（）A.\(0\leqm\leq4\)B.\(m\leq0\)C.\(m\geq4\)D.\(m\leq2\)8.不等式\(ax^2+(a-1)x+a-1<0\)對任意\(x\)恒成立，則（）A.\(a<0\)B.\(\Delta=(a-1)^2-4a(a-1)<0\)C.\(a<-\frac{1}{3}\)D.\(a>1\)9.已知函數(shù)\(y=\sqrt{mx^2-6mx+m+8}\)的定義域為\(R\)，則\(m\)的取值范圍是（）A.\(0<m\leq1\)B.\(m=0\)C.\(m<0\)D.\(m\geq1\)10.若不等式\(a\leq\frac{1}{x^2+1}\)對任意\(x\inR\)恒成立，則\(a\)的取值范圍是（）A.\(a\leq0\)B.\(a\leq1\)C.\(a\geq0\)D.\(a\geq1\)判斷題（每題2分，共10題）1.不等式\(x^2+1>0\)對任意\(x\inR\)恒成立。（）2.若\(f(x)=ax+b\)，\(f(x)\geq0\)在\([0,1]\)上恒成立，則\(f(0)\geq0\)且\(f(1)\geq0\)。（）3.不等式\(ax^2+bx+c\leq0\)恒成立，則\(a<0\)且\(\Delta\leq0\)。（）4.函數(shù)\(y=x^2+2x+3\)，\(y\geq2\)恒成立。（）5.若\(f(x)=k\)（\(k\)為常數(shù)），\(f(x)\geq0\)恒成立，則\(k\geq0\)。（）6.不等式\(x^2-2x+1\geq0\)對任意\(x\inR\)恒成立。（）7.若\(ax^2+bx+c>0\)的解集為\(R\)，則\(a=0\)不成立。（）8.函數(shù)\(y=\sinx+a\)，\(y\geq0\)恒成立，則\(a\geq1\)。（）9.不等式\(m\leqx^2\)對任意\(x\inR\)恒成立，則\(m\leq0\)。（）10.若\(f(x)=x^2+ax+1\)，\(f(x)\geq0\)在\((-\infty,-1]\)上恒成立，則\(a\leq2\)。（）簡答題（每題5分，共4題）1.若不等式\(x^2+bx+1\geq0\)對任意\(x\inR\)恒成立，求\(b\)的取值范圍。答：對于二次函數(shù)\(y=x^2+bx+1\)，要使其恒大于等于\(0\)，則\(\Delta=b^2-4\leq0\)，即\((b-2)(b+2)\leq0\)，解得\(-2\leqb\leq2\)。2.已知函數(shù)\(f(x)=ax^2+4x+a\)，\(f(x)>0\)對任意\(x\)恒成立，求\(a\)的取值范圍。答：首先\(a>0\)，且\(\Delta=16-4a^2<0\)，即\(a^2>4\)，結(jié)合\(a>0\)，解得\(a>2\)。3.不等式\(m\leq2x^2-3x+4\)對任意\(x\inR\)恒成立，求\(m\)的最大值。答：對于\(y=2x^2-3x+4\)，其最小值為\(y=2(x-\frac{3}{4})^2+\frac{23}{8}\geq\frac{23}{8}\)，所以\(m\leq\frac{23}{8}\)，\(m\)最大值為\(\frac{23}{8}\)。4.函數(shù)\(f(x)=-x^2+2x+a\)，\(f(x)\geq0\)在\([0,3]\)上恒成立，求\(a\)的取值范圍。答：\(f(x)=-(x-1)^2+1+a\)，在\([0,3]\)上\(f(x)_{\min}=f(3)=-3+a\)，要使\(f(x)\geq0\)恒成立，則\(-3+a\geq0\)，解得\(a\geq3\)。討論題（每題5分，共4題）1.討論不等式\(ax^2+bx+c>0\)恒成立的條件。答：當\(a=0\)時，若\(b=0\)，則\(c>0\)；若\(b\neq0\)，則\(b>0\)。當\(a\neq0\)時，需\(a>0\)且\(\Delta=b^2-4ac<0\)，綜合起來滿足這些情況不等式恒成立。2.對于函數(shù)\(f(x)=x^2+kx+1\)，討論\(f(x)\geq0\)在不同區(qū)間上恒成立時\(k\)的取值范圍。答：\(\Delta=k^2-4\)。在\(R\)上恒成立則\(\Delta\leq0\)，即\(-2\leqk\leq2\)；在\([0,+\infty)\)上，對稱軸\(x=-\frac{k}{2}\leq0\)且\(f(0)\geq0\)，得\(k\geq0\)等，不同區(qū)間情況不同。3.已知不等式\(a\leq\frac{x^2+1}{x}\)對任意\(x>0\)恒成立，討論\(a\)的取值范圍。答：\(\frac{x^2+1}{x}=x+\frac{1}{x}\geq2\)（\(x>0\)，均值不等式），所以\(a\)要小于等于\(\frac{x^2+1}{x}\)的最小值，即\(a\leq2\)。4.討論不等式\(mx^2-2mx+1>0\)對任意\(x\inR\)恒成立時\(m\)的取值。答：當\(m=0\)時，\(1>0\)恒成立；當\(m\neq0\)時，需\(m>0\)且\(\Delta=4m^2