極限題目及詳細答案

單項選擇題（每題2分，共10題）1.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=$（）A.0B.1C.-1D.不存在2.$\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=$（）A.eB.0C.1D.∞3.若$\lim_{x\toa}f(x)=A$，則$f(a)$（）A.等于AB.一定有定義C.不一定有定義D.無意義4.$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=$（）A.0B.1C.-1D.25.當$x\to0$時，$x^2$是$x$的（）A.高階無窮小B.低階無窮小C.同階無窮小D.等價無窮小6.$\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3}=$（）A.0B.3C.6D.97.函數(shù)$y=\frac{1}{x-1}$在$x\to1$時極限（）A.0B.1C.∞D.不存在8.$\lim_{x\to0}\cosx=$（）A.0B.1C.-1D.不存在9.若$\lim_{x\to+\infty}f(x)=A$，則函數(shù)$y=f(x)$的圖像有（）A.鉛直漸近線B.水平漸近線C.斜漸近線D.無漸近線10.$\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}=$（）A.0B.1C.-1D.2多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下極限存在的是（）A.$\lim_{x\to0}\frac{1}{x}$B.$\lim_{x\to0}\sinx$C.$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}$D.$\lim_{x\to\infty}x$2.當$x\to0$時，與$x$等價無窮小的有（）A.$\sinx$B.$\tanx$C.$e^x-1$D.$\ln(1+x)$3.極限運算的法則有（）A.$\lim_{x\toa}[f(x)+g(x)]=\lim_{x\toa}f(x)+\lim_{x\toa}g(x)$B.$\lim_{x\toa}[f(x)g(x)]=\lim_{x\toa}f(x)\lim_{x\toa}g(x)$C.$\lim_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\toa}f(x)}{\lim_{x\toa}g(x)}(\lim_{x\toa}g(x)\neq0)$D.$\lim_{x\toa}kf(x)=k\lim_{x\toa}f(x)$（$k$為常數(shù)）4.函數(shù)$y=f(x)$在$x_0$處極限存在的充要條件是（）A.$\lim_{x\tox_0^+}f(x)$存在B.$\lim_{x\tox_0^-}f(x)$存在C.$\lim_{x\tox_0^+}f(x)=\lim_{x\tox_0^-}f(x)$D.$f(x)$在$x_0$處連續(xù)5.下列極限值為1的是（）A.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$B.$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}$C.$\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}$D.$\lim_{x\to0}\frac{1-\cosx}{x^2}$6.關于無窮小量說法正確的是（）A.無窮小量是一個很小的數(shù)B.0是無窮小量C.有限個無窮小量的和是無窮小量D.無窮小量與有界函數(shù)的乘積是無窮小量7.函數(shù)極限$\lim_{x\to\infty}f(x)$存在，則（）A.$\lim_{x\to+\infty}f(x)$存在B.$\lim_{x\to-\infty}f(x)$存在C.$\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}f(x)$D.$f(x)$為常數(shù)函數(shù)8.以下函數(shù)在$x\to0$時極限為0的是（）A.$x\sin\frac{1}{x}$B.$\frac{\sinx}{x}$C.$x^2\cos\frac{1}{x}$D.$\frac{1-\cosx}{x}$9.計算極限時可以使用的方法有（）A.直接代入法B.約去零因子法C.等價無窮小替換法D.洛必達法則10.若$\lim_{x\toa}f(x)=0$，$\lim_{x\toa}g(x)=\infty$，則$\lim_{x\toa}f(x)g(x)$（）A.可能為0B.可能為∞C.可能為常數(shù)D.極限不存在判斷題（每題2分，共10題）1.無窮大量與無窮小量互為倒數(shù)。（）2.若$\lim_{x\toa}f(x)$存在，$\lim_{x\toa}g(x)$不存在，則$\lim_{x\toa}[f(x)+g(x)]$不存在。（）3.當$x\to0$時，$x$與$2x$是等價無窮小。（）4.函數(shù)在某點極限存在則一定在該點連續(xù)。（）5.$\lim_{x\to\infty}x\sinx$不存在。（）6.若$\lim_{x\toa}f(x)=A$，則$f(x)$在$x=a$處有定義。（）7.無窮多個無窮小量的和一定是無窮小量。（）8.極限$\lim_{x\to0}\frac{1}{x^2}=\infty$。（）9.函數(shù)$y=\frac{1}{x}$在$x\to0$時極限為0。（）10.若$\lim_{x\toa}f(x)=A$，$\lim_{x\toa}g(x)=B$，則$\lim_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}$。（）簡答題（每題5分，共4題）1.簡述極限的定義。答案：設函數(shù)$f(x)$在點$x_0$的某一去心鄰域內有定義，如果存在常數(shù)$A$，對于任意給定的正數(shù)$\varepsilon$（無論它多么?。?，總存在正數(shù)$\delta$，使得當$x$滿足不等式$0<|x-x_0|<\delta$時，對應的函數(shù)值$f(x)$都滿足不等式$|f(x)-A|<\varepsilon$，那么常數(shù)$A$就叫做函數(shù)$f(x)$當$x\tox_0$時的極限。2.說明等價無窮小替換的條件。答案：在求極限的乘除運算中，當自變量趨于某值時，無窮小量可以用其等價無窮小替換。但在加減運算中一般不能隨意替換，只有在替換后不改變極限值時才行。3.如何判斷函數(shù)在某點極限是否存在？答案：函數(shù)$y=f(x)$在$x_0$處極限存在的充要條件是左極限$\lim_{x\tox_0^-}f(x)$和右極限$\lim_{x\tox_0^+}f(x)$都存在且相等，即$\lim_{x\tox_0^-}f(x)=\lim_{x\tox_0^+}f(x)$。4.簡述無窮小量與無窮大量的關系。答案：在自變量的同一變化過程中，如果$f(x)$為無窮大量，則$\frac{1}{f(x)}$為無窮小量；反之，如果$f(x)$為無窮小量，且$f(x)\neq0$，則$\frac{1}{f(x)}$為無窮大量。討論題（每題5分，共4題）1.討論極限在實際生活中的應用。答案：極限在生活中應用廣泛。比如在計算物體的瞬時速度時，通過取時間間隔趨于0的極限得到；在經濟學中，求邊際成本、邊際收益等也用到極限概念，幫助分析經濟變量的變化趨勢，輔助決策。2.探討等價無窮小替換在復雜極限計算中的作用與局限性。答案：作用是簡化復雜極限計算，在乘除運算中合理替換可快速得出結果。局限性在于加減運算中使用受限，替換不當會導致錯誤結果，需謹慎判斷能否替換。3.談談如何理解函數(shù)極限與函數(shù)連續(xù)性的關系。答案：函數(shù)在某點連續(xù)，則該點極限一定存在且等于該點函數(shù)值；但極限存在函數(shù)不一定連續(xù)，若極限存在且等于函數(shù)值才連續(xù)。即連續(xù)是極限存在的一種特殊情況，極限存在是連續(xù)的必要條件。4.舉例說明極限運算中洛必達法則的使用條件及注意事項。答案：使用條件是函數(shù)為$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$型未定式。注意事項有每次使用前需驗證是否仍為未定式，若不是則不能用；還可能出現(xiàn)循環(huán)情況，需結合其他方法求解；且法則只是一種求極限的手段，并非所有情況都適用。答案單項選擇題1.B