第1頁(yè)|共2頁(yè)2007年福建高考文科數(shù)學(xué)真題及答案第I卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。（1）已知全集U=|1,2,3,4,5|,且A＝{2,3,4},B={1,2},則（CUB）等于A.{2} B.{5} C.{3,4} D.{2,3,4,5}解析：（CUB）={3，4，5}，（CUB）={3，4}，選C(2)等比數(shù)列{an}中，a4=4,則a2·a6等于A.4 B.8 C.16 D.32解析：a2·a6=a42=16，選C(3)sin15°cos75°+cos15°sin105°等于A.0 B. C. D.1解析：sin15°cos75°+cos15°sin105°=sin215°+cos215°=1，選D（4）“|x|<2”是“x2-x-6<0A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析：由|x|<2得-2<x<2,由x2-x-6<0得-2<x<3，選A（5）函數(shù)y=sin(2x+)的圖象A.關(guān)于點(diǎn)（，0）對(duì)稱(chēng) B.關(guān)于直線x=對(duì)稱(chēng)C.關(guān)于點(diǎn)（，0）對(duì)稱(chēng) D.關(guān)于直線x=對(duì)稱(chēng)解析：由2x+=kπ得x=，對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（，0）（），當(dāng)k=1時(shí)為（，0），選A（6）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分別為AA1、AB、BB1、BC1A.45° B.60° C.90° D.120°解析：連A1B、BC1、A1C1，則A1B=BC1=A1C1，且EF∥A1B、GH∥BC1，所以異面直線EF與GH所成的角等于.60°，選B（7）已知f(x)為R上的減函數(shù)，則滿足的實(shí)數(shù)x的取值范圍是A.（-，1） B.（1，+）C.（-，0）（0，1） D.（-，0）（1，+）解析：由已知得解得或x>1，選D（8）對(duì)于向量a、b、c和實(shí)數(shù)，下列命題中真命題是A.若a·b＝0，則a=0或b=0 B.若a=0,則＝0或a=0C.若a2=b2,則a=b或a=-b D.若a-b=a·c，則b=c解析：a⊥b時(shí)也有a·b＝0，故A不正確；同理C不正確；由a·b=a·c得不到b=c，如a為零向量或a與b、c垂直時(shí)，選B(9)已知m,n為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是A.∥，n∥∥B.∥，，m∥nC.m⊥，m⊥nn∥D.n∥m,n⊥m⊥解析：A中m、n少相交條件，不正確；B中分別在兩個(gè)平行平面的兩條直線不一定平行，不正確；C中n可以在內(nèi)，不正確，選D(10)以雙曲線x2-y2=2的右焦點(diǎn)為圓心，且與其右準(zhǔn)線相切的圓的方程是A.x2+y2-4x-3=0 B.x2+y2-4x+3=0C.x2+y2+4x-5=0 D.x2+y2+4x+5=0解析：雙曲線x2-y2=2的右焦點(diǎn)為（2，0），即圓心為（2，0），右準(zhǔn)線為x=1，半徑為1，圓方程為，即x2+y2-4x+3=0，選B(11)已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x,有f（-x）=-f(x)，g(-x)=g(x),且x>0時(shí)f’’(x)>0,g’(x)>0,則x<0時(shí)A.f’(x)>0,g’(x)>0 B.f’(x)>0,g’(x)<0C.f’(x)<0,g’(x)<0 D.f’ (x)<0,g’(x)<0解析：由已知f(x)為奇函數(shù),圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),在對(duì)稱(chēng)區(qū)間的單調(diào)性相同;g(x)為偶函數(shù),在對(duì)稱(chēng)區(qū)間的單調(diào)性相反,x>0時(shí)f’’(x)>0,g’(x)>0,遞增,當(dāng)x<0時(shí),f(x)遞增,f’(x)>0;g(x)遞減,g’(x)<0,選B(12)某通訊公司推出一組手機(jī)卡號(hào)碼，卡號(hào)的前七位數(shù)字固定，從“×××××××0000”到“×××××××9999”共10000個(gè)號(hào)碼.公司規(guī)定：凡卡號(hào)的后四位帶有數(shù)字“4”的一律作為“優(yōu)惠卡”，則這組號(hào)碼中“優(yōu)惠卡”的個(gè)數(shù)為A.2000 B.4096 C.5904 D.8320解析：10000個(gè)號(hào)碼中不含4、7的有84=4096，故這組號(hào)碼中“優(yōu)惠卡”的個(gè)數(shù)為10000-4096=5904，選C第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。把答案填在答題卡的相應(yīng)位置。（13）（x2+）6的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是.（用數(shù)字作答）解析：法一：由組合數(shù)性質(zhì)，要使出現(xiàn)常數(shù)項(xiàng)必須取2個(gè)x2，4個(gè)，故常數(shù)項(xiàng)為法二：展開(kāi)后可得常數(shù)項(xiàng)為15（14）已知實(shí)數(shù)x、y滿足則z=2x-y的取值范圍是.解析：畫(huà)出可行域知z=2x-y在（-1，3）取得最小值-5，在（5，3）取得最大值7，范圍是[-5，7]（15）已知長(zhǎng)方形ABCD，AB＝4，BC＝3，則以A、B為焦點(diǎn)，且過(guò)C、D兩點(diǎn)的橢圓的離心率為。解析：由已知C=2，（16）中學(xué)數(shù)學(xué)中存在許多關(guān)系，比如“相等關(guān)系”、“平行關(guān)系”等等.如果集合A中元素之間的一個(gè)關(guān)系“-”滿足以下三個(gè)條件：（1）自反性：對(duì)于任意a∈A,都有a-a;(2)對(duì)稱(chēng)性：對(duì)于a,b∈A，若a-b,則有b-a;(3)傳遞性：對(duì)于a,b,c∈A,若a-b,b-c,則有a-c.則稱(chēng)“-”是集合A的一個(gè)等價(jià)關(guān)系.例如：“數(shù)的相等”是等價(jià)關(guān)系，而“直線的平行”不是等價(jià)關(guān)系（自反性不成立）.請(qǐng)你再列出兩個(gè)等價(jià)關(guān)系：.解析：答案不唯一，如“圖形的全等”、“圖形的相似”、“非零向量的共線”、“命題的充要條件”等等.三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.（17）（本小題滿分12分）在△ABC中，tanA=,tanB=.(I)求角C的大小;(II)若AB邊的長(zhǎng)為，求BC邊的長(zhǎng)本小題主要考查兩角和差公式，用同角三角函數(shù)關(guān)系等解斜三角形的基本知識(shí)以及推理知運(yùn)算能力.滿分12分.解：（I）∵C＝-(A+B),∴tanC=-tan(A+B)=又∵0<C<,∴C=(II)由且A∈（0，），得sinA=∵∴BC＝AB·.（18）（本小題滿分12分）甲、乙兩名跳高運(yùn)動(dòng)員一次試跳2米高度成功的概率分別為0.7、0.6，且每次試跳成功與否相互之間沒(méi)有影響，求：（I）甲試跳三次，第三次才能成功的概率;(II)甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功的概率;(III)甲、乙各試跳兩次，甲比乙的成功次數(shù)恰好多一次的概率.本小題主要考查概率的基礎(chǔ)知識(shí)，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，以及推理與運(yùn)算能力.解：記“甲第i次試跳成功”為事件A1，“乙第i次試跳成功”為事件B1.依題意得P（A1）＝0.7，P（B1）＝0.6，且A1B1（i=1,2,3）相互獨(dú)立.(I)“甲第三次試跳才成功”為事件A3，且三次試跳相互獨(dú)立，∴P（A3）＝P（）P=0.3×0.3×0.7=0.063.答：甲第三次試跳才成功的概率為0.063.(II)甲、乙兩支在第一次試跳中至少有一人成功為事件C，解法一：C＝A1彼此互斥，∴P（C）＝ ＝0.7×0.4+0.3×0.6+0.7×0.6= 0.88.解法二：P（C）＝1-＝1-0.3×0.4=0.88.答：甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功的概率為0.88.（III）設(shè)“甲在兩次試跳中成功i次”為事件Mi（i=0,1,2）,“乙在兩次試跳中成功i次”為事件Ni(i=0,1,2),∵事件“甲、乙各試跳兩次，甲比乙的成功次數(shù)恰好多一次”可表示為M1N0+M2N1,且M1N0、M2N1為互斥事件.∴所求的概率為＝×0.7×0.3×0.42+0.72××0.6×0.4=0.0672+0.2352=0.3024.答：甲、乙每人試跳兩次，甲比乙的成功次數(shù)恰好多一次的概率為0.3024.（19）（本小題滿分12分）如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2，D為CC1中點(diǎn).(I)求證：AB1⊥平面A1BD;(II)求二面角A-A1D-B的大小.本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系，三面角的大小等知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力解法一：（I）取BC中點(diǎn)O，連結(jié)AO.∵△ABC為正三角形，∴AO⊥BC.∵正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B∴AO⊥平面BCC1B1,連結(jié)B1O，在正方形BB1C1C∴B1O⊥BD,∴AB1⊥BD.在正方形ABB1A1中，AB1⊥A1∴AB1⊥平面A1BD.(II)設(shè)AB1與A1B交于點(diǎn)C，在平面A1BD中，作GF⊥A1D于F，連結(jié)AF，由（I）得AB1⊥平面A1BD，∴∠AFG為二面A-A1B-B的平面角.在△AA1D中，由等面積法可求得AF＝，又∵AG＝=,∴sin∠AFG=,所以二面角A-A1D-B的大小為arcsin.解法二：（I）取BC中點(diǎn)O，連結(jié)AO.∵△ABC為正三角形，∴AO⊥BC.∵正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1∴AO⊥平面BCC1B1.取B1C1中點(diǎn)O1，以a為原點(diǎn)，的方向?yàn)閤、y、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則B（1,0,0）,D(-1,1,0),A1(0,2,),A(0,0,),B1(1,2,0),∴∵∴⊥⊥,∴AB1⊥平面A1BD.(II)設(shè)平面A1AD的法向量為n=(x,y,z).∵n⊥⊥,∴∵∴令z=1得a=(-,0,1)為平面A1AD的一個(gè)法向量.由（I）知AB1⊥A1BD.∴為平面A1BD的法向量.cos<n1>===-.∴二面角A-A1D-B的大小為arccos.(20)（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R,t>0).(I)求f(x)的最小值h(t);(II)若h(t)<-2t+m對(duì)t∈(0,2)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值以及函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力.解：（I）∵（），∴當(dāng)x=-t時(shí)，f(x)取最小值f(-t)=-t2+t-1,即h(t)=-t3+t-1.(II)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,由g’(t)=-3t2+3=0得t=1,t=-1（不合題意，舍去）.當(dāng)t變化時(shí)g’(t)、g(t)的變化情況如下表：T(0,1)1(1,2)g’(t)+0-g(t)遞增極大值1-m遞減∴g(t)在（0，2）內(nèi)有最大值g(1)=1-mh(t)<-2t+m在（0，2）內(nèi)恒成立等價(jià)于g(t)<0在（0，2）內(nèi)恒成立，即等價(jià)于1-m<0所以m的取值范圍為m>1（21）（本小題滿分12分）數(shù)列{an}的前N項(xiàng)和為Sn,a1=1,an+1=2Sn(n∈N*).(I)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an;(II)求數(shù)列｛nan｝的前n項(xiàng)和T.本小題考查數(shù)列的基本知識(shí)，考查等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式及數(shù)列的求和，考查分類(lèi)討論及歸的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理和運(yùn)算能力.滿分12分.解：（I）∵an+1=2Sn,,∴Sn+1-Sn=2Sn,∴=3.又∵S1＝a1=1,∴數(shù)列｛Sn｝是首項(xiàng)為1、公比為3的等比數(shù)列，Sn=3n-1(n∈N*).∴當(dāng)n2時(shí)，an-2Sn-1=2·3n-2(n2),∴an=(II)Tn=a1+2a2+3a3+…+nan.當(dāng)n=1時(shí)，T1=1;當(dāng)n2時(shí)，Tn=1+4·30+6·31+2n·3n-2,…………①3Tn=3+4·31+6·32+…+2n·3n-1,…………②①-②得：-2Tn=-2+4+2(31+32+…+3n-2)-2n·3n-1 =2+2· =-1+(1-2n)·3n-1∴Tn=+(n-)3n-1(n2).又∵Tn=a1=1也滿足上式，∴Tn=+(n-)3n-1(n∈N*)(22)（本小題滿分14分）如圖，已知點(diǎn)F（1，0），直線l:x=-1,P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作l的垂線，垂足為點(diǎn)Q，且·（I）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程;（II）過(guò)點(diǎn)F的直線交軌跡C于A、B兩點(diǎn)，交直線l于點(diǎn)M.（1）已知的值;(2)求||·||的最小值.)本小題考查直線、拋物線、向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查軌跡方程的求法以及研究曲線幾何特征的基本方法，考查運(yùn)算能力和綜合解題能力.滿分14分.解法一：（I）設(shè)點(diǎn)P（x,y）,則Q（-1，y）,由得：(x+1,0)·(2,-y)=(x-1,y)·(-2,y),化簡(jiǎn)得C：y2=4x.(II)（1）設(shè)直線AB的方程為：x=my+1(m≠0).設(shè)A（x1,y1）,B(x2,y2),又M（-1,-）.聯(lián)立方程組,消去x得：