9.3.1平面向量基本定理(教學(xué)方式:深化學(xué)習(xí)課——梯度進(jìn)階式教學(xué))[課時(shí)目標(biāo)]1.理解平面向量基本定理及其意義,理解基底、正交分解的概念.2.能推導(dǎo)平面向量基本定理和運(yùn)用平面向量基本定理解決某些數(shù)學(xué)問(wèn)題.1.平面向量基本定理?xiàng)l件e1,e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)結(jié)論對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1,λ2,使a=基底把的向量e1,e2叫作這個(gè)平面的一組基底2.正交分解由平面向量基本定理知,平面內(nèi)任一向量a可以用一組基底e1,e2表示成a=λ1e1+λ2e2的形式.我們稱(chēng)為向量a的分解.當(dāng)e1,e2所在直線時(shí),這種分解也稱(chēng)為向量a的正交分解.|微|點(diǎn)|助|解|1.平面向量基本定理的作用平面內(nèi)任何一個(gè)向量都可以沿著兩個(gè)不共線的方向分解成兩個(gè)向量的和,并且這種分解是唯一的.2.基底的性質(zhì)(1)不共線性:平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量才可以作為一組基底.由于零向量與任何向量共線,所以零向量不可以作為基底.(2)不唯一性:對(duì)基底的選取不唯一,平面內(nèi)任一向量a都可被這個(gè)平面的一組基底e1,e2線性表示.基礎(chǔ)落實(shí)訓(xùn)練1.判斷正誤(正確的畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)任意兩個(gè)向量都可以作為基底.()(2)平面向量的基底不是唯一的.()(3)零向量不可作為基底中的向量.()2.設(shè)O為平行四邊形ABCD的對(duì)稱(chēng)中心,AB=4e1,BC=6e2,則2e1-3e2等于()A.OA B.OB C.OC D.OD3.如圖所示,向量OA可用向量e1,e2表示為.

4.向量e1,e2不共線,實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,則x-y的值為.題型(一)對(duì)基底的理解[例1](多選)設(shè)e1,e2是兩個(gè)不共線的向量,則下列四組向量中,能作為平面向量的一組基底的是()A.e1+e2和e1-e2B.e1+2e2和e2+2e1C.3e1-2e2和4e2-6e1D.e2和e2+e1聽(tīng)課記錄:|思|維|建|模|判斷所給的兩個(gè)向量能否作為一組基底的方法由基底的定義可知,要判斷兩個(gè)向量a,b能否作為一組基底只需判斷兩向量是否共線,而判斷向量是否共線就要看是否存在λ∈R,使a=λb成立.另外,作為一組基底的向量必為非零向量.[針對(duì)訓(xùn)練]1.設(shè)e1,e2是平面內(nèi)一組基底,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,則向量e1+e2可以表示為另一組基底a,b的線性組合,即e1+e2=a+b.

2.已知e1,e2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量,a=e1+2e2,b=2e1+λe2,若a,b能作為一組基底,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為.題型(二)用基底表示向量[例2]設(shè)M,N,P是△ABC三邊上的點(diǎn),它們使BM=13BC,CN=13CA,AP=13AB,若AB=a,AC=b,試用a,b將MN聽(tīng)課記錄:|思|維|建|模|平面內(nèi)任何一個(gè)向量都可以用兩個(gè)基底進(jìn)行表示,轉(zhuǎn)化時(shí)一定要看清轉(zhuǎn)化的目標(biāo),要充分利用向量加法、減法的三角形法則和平行四邊形法則,同時(shí)結(jié)合實(shí)數(shù)與向量積的定義,牢記轉(zhuǎn)化方向,把未知向量逐步往基底方向進(jìn)行組合或分解.[針對(duì)訓(xùn)練]3.在△ABC中,AB=a,AC=b,BD=13BC,則AD=(A.13a+23b B.23aC.35a+45b D.45a4.如圖所示,矩形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,E為AO的中點(diǎn),若DE=λAB+μAD,則λ+μ等于()A.-12 B.12 C.1 D.題型(三)平面向量基本定理的應(yīng)用[例3]如圖,在長(zhǎng)方形ABCD中,E為邊DC的中點(diǎn),F為邊BC上一點(diǎn),且CFCB=23,設(shè)AB=a,AD=(1)試用基底a,b表示AE,AF,EF;(2)若G為長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)部一點(diǎn),且AG=34a+23b,求證:E,G,F聽(tīng)課記錄:|思|維|建|模|用向量解決平面幾何問(wèn)題的一般步驟(1)選取不共線的兩個(gè)平面向量為基底;(2)將相關(guān)的向量用基向量表示,將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題;(3)利用向量知識(shí)進(jìn)行向量運(yùn)算,得向量問(wèn)題的解;(4)再將向量問(wèn)題的解轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題的解.[針對(duì)訓(xùn)練]5.平面內(nèi)有一個(gè)△ABC和一點(diǎn)O(如圖),線段OA,OB,OC的中點(diǎn)分別為E,F,G,BC,CA,AB的中點(diǎn)分別為L(zhǎng),M,N,設(shè)OA=a,OB=b,OC=c.(1)試用a,b,c表示向量EL,FM,GN;(2)求證:線段EL,FM,GN交于一點(diǎn)且互相平分.9.3.1平面向量基本定理?課前預(yù)知教材1.不共線的向量λ1e1+λ2e2兩個(gè)不共線2.λ1e1+λ2e2互相垂直[基礎(chǔ)落實(shí)訓(xùn)練]1.(1)×(2)√(3)√2.選B如圖,OB=12DB=12(AB-BC)=2e1-33.4e1+3e24.3?課堂題點(diǎn)研究[例1]選ABDe1+e2和e1-e2沒(méi)有倍數(shù)關(guān)系,二者不共線,可作為平面向量的一組基底;e1+2e2和e2+2e1沒(méi)有倍數(shù)關(guān)系,二者不共線,可作為平面向量的一組基底;4e2-6e1=-2(3e1-2e2),二者是共線向量,不能作為平面向量的一組基底;e2和e2+e1不共線,可作為平面向量的一組基底.[針對(duì)訓(xùn)練]1.解析:由題意,設(shè)e1+e2=ma+nb.因?yàn)閍=e1+2e2,b=-e1+e2,所以e1+e2=m(e1+2e2)+n(-e1+e2)=(m-n)e1+(2m+n)e2.由平面向量基本定理,得m所以m答案:23-2.解析:若a,b能作為一組基底,則向量a,b不共線.由題可知,若向量a,b共線,則有λ=4,故當(dāng)向量a,b不共線時(shí),λ≠4,即實(shí)數(shù)λ的取值范圍是(-∞,4)∪(4,+∞).答案:(-∞,4)∪(4,+∞)[例2]解:如圖,MN=CN-CM=-13AC=-13AC-23(AB=13AC-23AB=13NP=AP-AN=13AB-23AC=13PM=-MP=-(MN+NP)=13a+13[針對(duì)訓(xùn)練]3.選B∵AB=a,AC=b,∴BC=AC-AB=b-a.又BD=13BC,∴AD=AB+BD=a+13BC=a+13(b-a)=23a+4.選A由平面向量基本定理,得DE=DA+AE=DA+14AC=-AD+14(AB+AD)=14AB-34AD,所以λ=即λ+μ=-12,故選A[例3]解:(1)AE=AD+DE=AD+12DC=AD+12AB=1AF=AB+BF=AB+13BC=AB+13AD=aEF=EA+AF=-AE+AF=-12a+b+a+13b=1(2)證明:由(1)知AE=12a+b,AF=a+13b,設(shè)AG=λAE+μ則34a+23b=λ12a+b+μa+即12λ故AG=12AE+12AF,12+12=1,故E[針對(duì)訓(xùn)練]5.解:(1)如題圖,∵OE=12a,OL=12(b+c∴EL=OL-OE=12