專題23角的比較與運(yùn)算

內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

析教材學(xué)知識：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

練題型強(qiáng)知識：6大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練

第二步：記

串知識識框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測

過關(guān)測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

知識點(diǎn)01角的比較

角的大小比較與線段的大小比較相類似，方法有兩種：

方法1：度量比較法．先用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大?。?/p>

方法2：疊合比較法．把其中的一個角移到另一個角上作比較．

如比較∠AOB和∠A′O′B′的大?。喝缦聢D，由圖（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由圖(2)可得∠AOB

＝∠A′O′B′；由圖(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．

注意：由角平分線的概念產(chǎn)生的合情推理其思維框架與線段中點(diǎn)的思維框架一樣．

知識點(diǎn)02角的運(yùn)算

如圖所示，∠AOB是∠1與∠2的和，記作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB與∠2的差，記作：∠1＝∠AOB-

∠2．

注意：(1)用量角器量角和畫角的一般步驟：①對中(角的頂點(diǎn)與量角器的中心對齊)；②重合(一邊與刻度

尺上的零度線重合)；③讀數(shù)(讀出另一邊所在線的度數(shù))．

(2)利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根據(jù)角的和、差關(guān)系，還可以畫出15°，75°，

105°，120°，135°，150°，165°的角．

1

知識點(diǎn)03角平分線

從一個角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線．如圖所示，OC是∠AOB

1

的角平分線，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC=∠AOB．

2

【題型1角的比較】

例題：（23-24七年級上·江蘇揚(yáng)州·期末）如圖，用同樣大小的三角板此較A和B的大小，下列判斷正

確的是（）

A．ABB．AB

C．ABD．沒有量角器，無法確定

【答案】A

【知識點(diǎn)】角的比較

【分析】本題考查了角的大小比較，根據(jù)圖中的三角尺為等腰直角三角形得A45，B45，利用中間

角比較角的大小是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：∵圖中的三角尺為等腰直角三角形，

∴A45，B45，

∴AB，

故選：A．

【變式訓(xùn)練】

1.（23-24七年級上·河北保定·期末）如圖，下列各式中不一定正確的是（）

A．BODCODB．AOC12

C．123D．AOD1BOD2

2

【答案】C

【知識點(diǎn)】幾何圖形中角度計(jì)算問題、角的比較

【分析】此題考查了角的比較大小與和差，根據(jù)圖形進(jìn)行判斷即可．

【詳解】解：∵COD在BOD的內(nèi)部，

∴BODCOD，選項(xiàng)A正確，不符合題意；

∵AOC12，

∴選項(xiàng)B正確，不符合題意；

根據(jù)題意，無法比較12和3的大小，選項(xiàng)C不一定正確，符合題意；

∵AOD1BODBOD2，

∴選項(xiàng)D正確，不符合題意；

故選：C．

2（.23-24七年級下·山東濰坊·期中）如圖，已知OB是AOC內(nèi)部的一條射線，下列說法一定正確的是（）

A．AOC2BOCB．BOCAOB

C．AOC可以用O表示D．1與AOB表示同一個角

【答案】D

【知識點(diǎn)】角的比較、角的表示方法

【分析】本題主要考查角的大小比較及角的概念，根據(jù)角的大小比較及角的概念進(jìn)行逐一判斷即可．

【詳解】解：A．∵OB是AOC內(nèi)部的一條射線而不是角平分線，∴AOC2BOC，故本選項(xiàng)不符合

題意；

B．BOC可能大于AOB，也可能小于AOB，也有可能等于AOB，故本選項(xiàng)不符合題意；

C．AOC不可以用O表示，故本選項(xiàng)不符合題意；

D．1與AOB表示同一個角，故本選項(xiàng)符合題意．

故選：D．

3.（23-24六年級下·山東淄博·期中）如圖，正方形網(wǎng)格中每個小正方形的邊長都為1，則1與2的大小關(guān)

系為（）

A．12B．12C．12D．無法比較

3

【答案】A

【知識點(diǎn)】角的比較

【分析】本題考查了角的大小比較，利用平移的方法是解題的關(guān)鍵．將1平移，讓1與2兩個角的頂點(diǎn)

重合，即可解答．

【詳解】解：將1平移，讓1與2兩個角的頂點(diǎn)重合，

如圖：

可得：1在2的內(nèi)部，

所以12．

故選：A．

【題型2角度的四則運(yùn)算】

例題：（24-25七年級上·全國·假期作業(yè)）計(jì)算：

(1)89352020（結(jié)果用度、分、秒表示）；

(2)123246036（結(jié)果用度表示）．

【答案】(1)10955

(2)62.8

【知識點(diǎn)】角的單位與角度制、角度的四則運(yùn)算

【分析】本題考查了度分秒的換算，熟練掌握度分秒的進(jìn)制是解題的關(guān)鍵．

（1）兩個度數(shù)相加，度與度，分與分對應(yīng)相加，分的結(jié)果若滿60，則轉(zhuǎn)化為度；

（2）先將分都轉(zhuǎn)化為度，再進(jìn)行減法計(jì)算，兩個度數(shù)相減時，應(yīng)先算最后一位，后面的位上的數(shù)不夠減是

向前一位借數(shù)．

【詳解】（1）解：89352020

10955；

（2）解：123246036

123.460.6

62.8．

【變式訓(xùn)練】

1．（24-25七年級上·廣西南寧·階段練習(xí)）計(jì)算：

(1)40263030306；

(2)1353332531．

4

【答案】(1)45315

(2)93329

【知識點(diǎn)】角度的四則運(yùn)算

【分析】本題考查了度分秒的換算和計(jì)算，熟知進(jìn)率、正確計(jì)算是解題關(guān)鍵..

（1）先進(jìn)行度、分、秒的除法計(jì)算，再算加法．

（2）先進(jìn)行度、分、秒的乘法計(jì)算，再算減法．

【詳解】（1）解：4026+3030306402655545315

（2）135333253141393253193329

2．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）計(jì)算：

(1)18018156；

(2)90783613104．

【答案】(1)7030

(2)144130

【知識點(diǎn)】角度的四則運(yùn)算

【分析】本題考查角度的四則運(yùn)算，熟知度分秒的換算、掌握度分秒之間的進(jìn)率是解題的關(guān)鍵．

（1）利用度分秒之間的進(jìn)率計(jì)算即可．

（2）利用度分秒之間的進(jìn)率先算乘除法，再算加法即可．

【詳解】（1）解：18018156

18010930

7030；

（2）解：90783613104

''

90783612681204

90783631730

90751830

144130．

3．（24-25七年級上·全國·假期作業(yè)）計(jì)算：

(1)1532942264032；

(2)42155；

(3)6224174；

(4

【答案】(1)1801014

(2)827

(3)249378

(4)12333

5

【知識點(diǎn)】角的單位與角度制、角度的四則運(yùn)算

【分析】本題考查角度的運(yùn)算，熟練掌握度、分、秒的進(jìn)制是解題的關(guān)鍵．

（1）兩個度數(shù)相加，度與度，分與分對應(yīng)相加，分的結(jié)果若滿60，則轉(zhuǎn)化為度；

（2）首先將度轉(zhuǎn)化為分，然后計(jì)算除法即可；

（3）根據(jù)角度的乘法運(yùn)算法則求解即可；

（4）首先計(jì)算括號內(nèi)加法，然后計(jì)算減法即可．

【詳解】（1）解：1532942264032

1796974

1801014；

（2）解：42155

4260155

25355

507

827；

（3）解：6224174

2489668

249378；

（4）解/p>

1805627

12333．

【題型3三角板中角度計(jì)算問題】

例題：（23-24七年級上·重慶·期末）如圖，將一副三角尺疊放在一起，使直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)O，若

COB3AOD，OE為AOD的角平分線，則COE的度數(shù)是（）

A．45B．60C．65D．67.5

【答案】D

【知識點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算、三角板中角度計(jì)算問題

【分析】本題考查了三角板中的角度計(jì)算和角平分線的定義，找出角度之間的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．設(shè)

1

AODx，則COB3x，得到BOC180x，則180x3x，解得x45，則DOEAOD22.5，

2

6

即可求出COE的度數(shù)．

【詳解】解：設(shè)AODx，則COB3x，

由題意可知，AOBCOD90，

BOCAOBCODAOD9090x180x，

∴180x3x

解得，x45，

∴AOD45，

∵OE為AOD的角平分線，

1

∴DOEAOD22.5，

2

∴COECODDOE67.5

故選：D．

【變式訓(xùn)練】

1.（23-24七年級下·遼寧鞍山·開學(xué)考試）如圖，將一副三角板擺成如圖形狀，如果AOB＝158，那么COD

的度數(shù)是．

【答案】/22度

【知識點(diǎn)】22三°角板中角度計(jì)算問題

【分析】本題考查三角板中角度的計(jì)算．正確的識圖，理清角的和差關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

利用AOBAOCCOBAOCBODCOD即可求解．

【詳解】解：由圖可知：AOCBOD90，

AOBAOCCOBAOCBODCOD，

1589090COD，

COD22．

故答案為：22．

2.（23-24七年級上·河南洛陽·期末）將一副直角三角尺按如圖1方式疊放，

BD90，DEADAE45，BAC30，C60．如圖2，現(xiàn)將三角尺ADE固定，令三角尺

ABC繞頂點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)一周．若要使BC∥AD，則CAE的度數(shù)為．

7

【答案】105或75

【知識點(diǎn)】三角板中角度計(jì)算問題、根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)

【分析】本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意畫出圖形，利用平行線的性質(zhì)及直角三角板的性質(zhì)

求解是解答此題的關(guān)鍵．分兩種情況進(jìn)行討論，分別依據(jù)平行線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可得到CAE的度數(shù)．

【詳解】如圖，當(dāng)BC∥AD時，BDAB180，

DAB180B90，

DAC90BAC903060，

CAEEADDAC4560105；

如圖，當(dāng)BC∥AD時，BDAB90，

DAC90BAC9030120，

CAEDACEAD1204575；

綜上所述，要使BC∥AD，則CAE的度數(shù)為105或75，

故答案為：105或75

3.（24-25八年級上·河北邢臺·開學(xué)考試）直角三角板的一個頂點(diǎn)O在直線AB上，COD60．

(1)如圖1，三角板在直線AB上方．

8

①若AOC70，則BOD；

②若OC平分AOD，則BOD；

(2)若三角板OCD在直線AB下方，AOC2BOD．求AOD的度數(shù)；

(3)類比探究：如圖3，在數(shù)軸上，點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)A表示的數(shù)是2，AB12，線段CD在數(shù)軸上移動，且

CD3（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），當(dāng)AC2BD時，求出點(diǎn)C表示的數(shù)．

【答案】(1)①50；②60

(2)100

(3)4或16

【知識點(diǎn)】三角板中角度計(jì)算問題、角平分線的有關(guān)計(jì)算、數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離、線段的和與差

【分析】本題考查三角板中角度的計(jì)算，與角平分線有關(guān)的計(jì)算，線段的和與差．

（1）①利用平角的定義，進(jìn)行計(jì)算即可；②根據(jù)角平分線平分角，求出AOD的度數(shù)，再根據(jù)平角的定義，

求解即可；

（2）根據(jù)AOCBODCOD180，結(jié)合AOC2BOD，得到2BODBOD60180，求

解即可；

（3）分線段CD在線段AB上，線段CD在線段AB右側(cè)與線段CD在線段AB左側(cè)，三種情況進(jìn)行討論求解

即可．

正確的識圖，找準(zhǔn)角度之間的和差關(guān)系，線段之間的和差關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．

【詳解】（1）解：①∵AOC70，COD60，

∴BOD180706050；

故答案為：50；

②∵OC平分AOD，

∴AOD2COD120，

∴BOD18012060，

故答案為：；

（2）由圖26可0°知，AOCBODCOD180，

COD60，AOC2BOD，

2BODBOD60180，

BOD80，

AOD180BOD100；

（3）點(diǎn)A表示的數(shù)是2，AB12，

點(diǎn)B表示的數(shù)為10，

①當(dāng)線段CD在線段AB上時，如圖，

9

由圖可知，ABACCDBD12，

CD3，AC2BD，

2BD3BD12，

BD3，

OCOBBDCD10334，

點(diǎn)C表示的數(shù)為4；

②當(dāng)線段CD在線段AB右側(cè)時，如圖，

由圖可知，ABACCDBD12，

CD3，AC2BD，

2BD3BD12，

BD9，

OCOBBDCD109316，

點(diǎn)C表示的數(shù)為16；

③當(dāng)線段CD在線段AB左側(cè)時，此種情況不成立．

綜上，點(diǎn)C表示的數(shù)為4或16．

【題型4實(shí)際問題中角度計(jì)算問題】

例題：（24-25九年級下·河南信陽·階段練習(xí)）如圖，陽光與水平面成30°角，若要用平面鏡使陽光豎直射入

井中（物理學(xué)中，反射角入射角），則陽光與平面鏡的夾角（1）為

【答案】30

【知識點(diǎn)】實(shí)際問題中角度計(jì)算問題

【分析】本題考查了角的計(jì)算，根據(jù)光的反射定律內(nèi)容即可求解，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：補(bǔ)上反射光線如圖：

10

由題意可知，DOEAOB90，

∴BOC3090120，

∴COD60，

∴1906030，

故答案為：30．

【變式訓(xùn)練】

1．（24-25七年級上·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，甲從O處出發(fā)沿北偏東15向走向A處，乙從O處出發(fā)沿

南偏西55方向走到B處，則BOA的度數(shù)是．

【答案】140

【知識點(diǎn)】與方向角有關(guān)的計(jì)算題、實(shí)際問題中角度計(jì)算問題

【分析】本題考查方向角的計(jì)算，角的和差關(guān)系．如圖，利用BOA123進(jìn)行計(jì)算即可．

【詳解】解：如圖，由題意知115，290，3905535，

BOA123159035140，

故答案為：140．

2．（2024·江西吉安·一模）如圖所示，若入射光線與平面鏡成25夾角，且入射光線與反射光線與平面鏡所

成的角度相等，則入射光線與反射光線的夾角的度數(shù)為．

【答案】130/130度

11

【知識點(diǎn)】實(shí)際問題中角度計(jì)算問題

【分析】本題主要考查了角的和差，將物理情景轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題成為解題的關(guān)鍵．

如圖：由題意可得BOCAOD25，然后根據(jù)平角的定義列式計(jì)算即可．

【詳解】解：∵BOCAOD25,

∴AOB180AODBOC1802525130，即入射光線與反射光線的夾角的度數(shù)為130．

故答案為：130．

3．（24-25七年級上·河南商丘·期末）“宋韻開封·菊香中國”，中國開封第42屆菊花文化節(jié)于2024年10月

18日至11月18日在開封舉辦．小亮與家人在周末前往清明上河園觀賞菊花，由于觀賞游客較多，小亮與

媽媽一組，和爸爸分別走不同路線進(jìn)行觀賞．如圖所示，一小時后，小亮和媽媽（B點(diǎn)）在東門（A點(diǎn)）的

北偏西）3230方向，爸爸（C點(diǎn)）在小亮他們（B點(diǎn)）的南偏西50.2方向，則ABC的度數(shù)為．

【答案】8242/82.7

【知識點(diǎn)】與方向角有關(guān)的計(jì)算題、實(shí)際問題中角度計(jì)算問題

【分析】本題考查了方位角的計(jì)算，角度的計(jì)算，如圖，根據(jù)題意得133230',250.2，由

ABC12即可求解．

【詳解】解：如圖，

根據(jù)題意：33230',250.2，

則133230'，

∴ABC123230'50.232.550.282.78242'，

故答案為：8242'．

【題型5角平分線的有關(guān)計(jì)算】

例題：（23-24七年級上·全國·單元測試）如圖，點(diǎn)A，O，B在一條直線上，AOC80，COE50，

OD是AOC的平分線．

12

(1)求AOE和DOE的度數(shù)；

(2)OE是COB的平分線嗎？為什么？

【答案】(1)AOE130，DOE90

(2)OE是COB的平分線，理由見詳解

【知識點(diǎn)】求一個角的補(bǔ)角、角平分線的有關(guān)計(jì)算

【分析】本題考查了角的和差，補(bǔ)角的定義，角平分線的定義；

（1）由角的和差得AOEAOCCOE，由角的平分線及角的和差得DOECODCOE，即可

求解；

（2）由補(bǔ)角的定義得BOE180AOE，由角平分線的定義即可求解；

理解補(bǔ)角的定義，角平分線的定義，能用角的和差表示出所求的角是解題的關(guān)鍵．

【詳解】（1）解：AOC80，COE50，

AOEAOCCOE

8050

130；

OD是AOC的平分線，

1

CODAOC40，

2

DOECODCOE

4050

90；

（2）解：OE是COB的平分線；

理由如下：

BOE180AOE，

180130，

50，

COEBOE，

OE是COB的平分線．

【變式訓(xùn)練】

1（.23-24七年級上·廣東惠州·期末）（1）如圖1，射線OC在AOB的內(nèi)部，OM平分AOC，ON平分BOC，

若AOB110，求MON的度數(shù)；

13

（2）射線OC，OD在AOB的內(nèi)部，OM平分AOC，ON平分BOD，若AOB100，COD20，

求MON的度數(shù)；

（3）在（2）中，AOBm°，CODn，其他條件不變，請用含m，n的代數(shù)式表示MON的度數(shù)（不

用說理）．

1

【答案】（1）55；（2）60，（3）MON(mn)

2

【知識點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算、幾何圖形中角度計(jì)算問題

【分析】本題是有關(guān)角的計(jì)算，考查了角平分線的定義及角的和差倍分，注意利用數(shù)形結(jié)合的思想．

11

（1）根據(jù)角平分線的定義可得：COMAOC，CONBOC，相加可得MON的度數(shù)；

22

11

（2）根據(jù)角平分線的定義可得：COMAOC，DONBOD，將MON分成三個角相加，并

22

等量代換可得結(jié)論；

（3）同理可得結(jié)論．

【詳解】解：（1）QOM平分AOC，

1

COMAOC，

2

1

同理CONBOC，

2

MONCOMCON，

1111

MONAOCBOCAOB11055；

2222

（2）QOM平分AOC，

1

COMAOC，

2

1

同理可得：DONBOD，

2

MONCOMDONCOD，

11

AOCBODCOD，

22

14

1

(AOCBOD)COD，

2

1

(AOBCOD)COD，

2

1

(AOBCOD)，

2

AOB100，COD20，

1

MON(10020)60，

2

（3）QOM平分AOC，

1

COMAOC，

2

1

同理可得：DONBOD，

2

MONCOMDONCOD，

11

AOCBODCOD，

22

1

(AOCBOD)COD，

2

1

(AOBCOD)COD，

2

1

(AOBCOD)，

2

AOBm，CODn，

1

MON(mn)．

2

2.（23-24七年級上·四川達(dá)州·期末）如圖①，已知射線OC、OD在AOB的內(nèi)部(OC在OD右側(cè)），

AOB120，COD60．

(1)如果射線OE平分BOC，DOE10，如圖②，則BOC；

(2)如果射線OD、ON分別平分BOM、DOC，如圖③，求AOCDOM的度數(shù)；

(3)在（2）的條件下，當(dāng)DOM5MON時，求BOC的度數(shù)．

【答案】(1)100

(2)60

15

(3)85

【知識點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算、幾何圖形中角度計(jì)算問題

【分析】本題考查了角的運(yùn)算，利用角的和差得出DOMMON6MON30是解題關(guān)鍵．

（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合可得答案；

（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，角的和差，數(shù)形結(jié)合可得答案；

（3）根據(jù)角的和差，可得DOMMON6MON30，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得BOD，根據(jù)角

的和差可得答案．

【詳解】（1）解：COD60，DOE10，

COECODDOE601050，

OE平分BOC，

BOC2COE100，

故答案為：100；

（2）解：OD平分BOM，

DOMBOD，

AOB120，COD60，

AOCDOMAOCBODAOBCOD1206060；

（3）解：ON平分DOC，COD60，

1

DONCOD30，

2

由DOM5MON，得DONDOMMON6MON30，

MON5，DOM25，

OD平分BOM，

BODDOM25，

由角的和差可得BOCBODCOD256085．

3.（23-24七年級上·廣西貴港·期末）劉星對幾何中角平分線等興趣濃厚，請你和他一起探究下面問題吧．已

知AOB100，射線OE，OF分別是AOC和COB的角平分線．

(1)如圖1，若射線OC在AOB的內(nèi)部，且AOC30，求EOF的度數(shù)；

(2)如圖2，若射線OC在AOB的內(nèi)部繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，求EOF的度數(shù)

(3)若射線OC在AOB的外部繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)中AOC，BOC均指小于180的角），其余條件不變，

16

請借助圖3探究EOF的大?。?/p>

【答案】(1)50

(2)50

(3)50或130

【知識點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算、幾何圖形中角度計(jì)算問題

【分析】本題考查的是角的計(jì)算，角平分線的定義，熟知從一個角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個角分成相等的兩個

角的射線叫做這個角的平分線是解答此題的關(guān)鍵．注意分類思想的運(yùn)用．

（1）先求出BOC度數(shù)，根據(jù)角平分線定義求出EOC和FOC度數(shù)，求和即可得出答案；

111

（2）根據(jù)角平分線定義得出COEAOC，COFBOC，求出EOFEOCFOCAOB，

222

代入求出即可；

1

（3）分兩種情況：①射線OE，OF只有1個在AOB外面，根據(jù)角平分線定義得出COEAOC，

2

11

COFBOC，求出EOFFOCCOEAOB；②射線OE，OF2個都在AOB外面，根據(jù)

22

111

角平分線定義得出EOFAOC，COFBOC，求出EOFEOCCOF(360AOB)，

222

代入求出即可．

【詳解】（1）解：OE是AOC的平分線，AOC30，

1

COEAOC15

2

AOB100

COBAOBAOC70

OF是COB的平分線，

1

COFCOB35，

2

EOFCOECOF153550；

（2）解：AOB100，

AOCCOB100，

11

COEAOCCOFCOB，

22

1

EOFCOECOF(AOCCOB)50；

2

（3）解：OE是AOC的平分線，OF是COB的平分線，

11

COEAOC，COFCOB，

22

①延長BO至點(diǎn)D，當(dāng)OC在AOD的內(nèi)部，

17

AOB100

COBAOC100

1

EOFCOFCOE(COBAOC)50；

2

②延長BO至點(diǎn)D，延長AO至點(diǎn)M，當(dāng)OC在DOM內(nèi)部，

AOB100

COBAOC360AOB260，

1

EOFCOFCOE(COBAOC)130；

2

③延長AO至點(diǎn)M，當(dāng)OC在BOM內(nèi)部，

AOB100，

AOCCOB100，

1

EOFCOECOF(AOCCOB)50，

2

綜上，度數(shù)為50或130．

【題型6角n等分線的有關(guān)計(jì)算】

例題：（23-24七年級上·山西大同·期末）在AOB的內(nèi)部作射線OC，射線OC把AOB分成兩個角，分

11

別為AOC和BOC，若AOCAOB或BOCAOB，則稱射線OC為AOB的三等分線．若

33

AOB60，射線OC為AOB的三等分線，則AOC的度數(shù)為（）

A．20B．40C．20或40D．20或30

【答案】C

【知識點(diǎn)】角n等分線的有關(guān)計(jì)算

18

【分析】根據(jù)題意得出AOC20或BOC20，再根據(jù)角之間的數(shù)量關(guān)系，得出AOC40，綜合即

可得出答案．

【詳解】解：∵AOB60，射線OC為AOB的三等分線．

11

∴AOCAOB20或BOCAOB20，

33

∴AOCAOBBOC602040，

∴AOC的度數(shù)為20或40．

故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查了角度的計(jì)算，理解題意，分類討論是解本題的關(guān)鍵．

【變式訓(xùn)練】

1.（23-24七年級上·江西撫州·期中）定義：從AOB的頂點(diǎn)出發(fā)，在角的內(nèi)部引一條射線OC，把AOB分

成1:2的兩部分，射線OC叫做AOB的三等分線．若在MON中，射線OP是MON的三等分線，射線OQ

是MOP的三等分線，設(shè)MOQx，則MON用含x的代數(shù)式表示為．

99

【答案】x或x或9x

42

【知識點(diǎn)】角n等分線的有關(guān)計(jì)算

【分析】本題考查角的計(jì)算．解題關(guān)鍵是做出圖形，列方程計(jì)算．注意要分類討論．

【詳解】如圖，

∵射線OP是MON的三等分線，

∴OP把MON分成1:2的兩部分，

3

∴MON3MOP或MONMOP，

2

∵射線OQ是MOP的三等分線，

∴OQ把MOP分成1:2的兩部分，

3

∴MOP3MOQ或MOPMOQ，

2

∵M(jìn)OQx，

33

∴MOP3MOQ3x或MOPMOQx，

22

39

當(dāng)MOP3x時，MON3MOP9x或MONMOPx，

22

19

3939

當(dāng)MOPx時，MON3MOPx或MONMOPx，

2224

99

故答案為：x或x或9x．

42

一、單選題

1．（24-25七年級上·廣西河池·期末）在AOB內(nèi)任取一點(diǎn)C，作射線OC，那么一定有（）

A．AOBAOCB．AOCBOC

C．BOCAOBD．AOCBOC

【答案】A

【知識點(diǎn)】角的比較

【分析】本題考查比較角的大小，角的和差，根據(jù)射線OC在AOB的內(nèi)部，得到AOBAOCBOC，

進(jìn)行判斷即可．

【詳解】解：∵射線OC在AOB的內(nèi)部，

∴AOBAOCBOC，

∴AOBAOC,AOBBOC，

AOC,BOC的大小關(guān)系跟OC的位置有關(guān)，AOC可能大于、小于或等于BOC；

故選A．

2．（2025·甘肅白銀·三模）如圖，將三角板按如圖所示的方式擺放，若125，則2等于（）

20

A．75B．65C．55D．50

【答案】B

【知識點(diǎn)】三角板中角度計(jì)算問題

【分析】本題考查三角板中角度的計(jì)算，直接根據(jù)平角的定義進(jìn)行求解即可．

【詳解】解：由圖可知：1290180，

∵125，

∴265；

故選：B．

3．（24-25七年級下·云南昭通·期中）如圖，已知127，AOC=90，點(diǎn)B、O、D在同一條直線上，

則2的度數(shù)為（）

A．107B．127C．117D．63

【答案】C

【知識點(diǎn)】幾何圖形中角度計(jì)算問題

【分析】本題主要考查了求余角與補(bǔ)角的計(jì)算，先根據(jù)余角的定義得出BOC90163，再根據(jù)補(bǔ)角

的定義即可求出2180BOC117．

【詳解】解：127，AOC=90，

BOC90∵163，

∴點(diǎn)B、O、D在同一條直線上，

∵2180BOC117，

∴故選：C

4．（24-25六年級下·山東淄博·期中）已知OC是AOB內(nèi)的一條射線，下列條件中不能確定射線OC平分

AOB的是（）

1

A．BOCAOBB．AOB2AOC

2

C．AOCBOCD．AOBAOCBOC

21

【答案】D

【知識點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算

【分析】此題主要考查了角平分線的定義，正確把握角平分線的定義是解題關(guān)鍵．直接利用角平分線的定

義分別分析得出答案．

1

【詳解】解：A、BOCAOB，能確定OC平分AOB，故此選項(xiàng)不合題意；

2

B、AOB2AOC，能確定OC平分AOB，故此選項(xiàng)不合題意；

C、AOCBOC，能確定OC平分AOB，故此選項(xiàng)不符合題意；

D、AOBAOCBOC不能確定OC平分AOB，故此選項(xiàng)符合題意．

故選：D．

5．（24-25七年級下·廣西防城港·期中）如圖，小軒的乒乓球掉到沙發(fā)下，他借助平面鏡反射的原理找到了

乒乓球的位置．已知法線OCMN，反射光線AO與水平線的夾角AOD56，則平面鏡MN與水平線BD

的夾角DON的大小為（入射光線與鏡面的夾角等于反射光線與鏡面的夾角）（）

A．28B．30C．34D．56

【答案】A

【知識點(diǎn)】幾何圖形中角度計(jì)算問題

【分析】本題考查了求一個角的余角與補(bǔ)角、垂直、對頂角相等，熟練掌握求一個角的余角與補(bǔ)角的方法

1

是解題關(guān)鍵．先求出AOB124，再求出AOCBOCAOB62，根據(jù)垂直的定義可得

2

COM90，從而可得BOM28，最后根據(jù)對頂角相等即可得．

【詳解】解：∵AOD56，

∴AOB180AOD124，

∵入射光線與鏡面的夾角等于反射光線與鏡面的夾角，

1

∴AOCBOCAOB62，

2

∵OCMN，

∴COM90，

22

∴BOMCOMBOC28，

由對頂角相等得：DONBOM28，

故選：A．

二、填空題

6．（24-25七年級上·四川樂山·期末）27423445．

【答案】6227

【知識點(diǎn)】角度的四則運(yùn)算、角的單位與角度制

【分析】本題考查角的計(jì)算和度分秒的換算，解題的關(guān)鍵是掌握角的單位之間的換算關(guān)系：160，160．

【詳解】解：2742344561876227．

故答案為：6227．

7．（24-25七年級下·四川雅安·期中）已知AOC50，AOB:BOC2:3，則BOC的度數(shù)為．

【答案】150或30

【知識點(diǎn)】幾何圖形中角度計(jì)算問題

【分析】本題考查了角的計(jì)算．通過分析，可知有兩種情況：①OB在OA左邊；②OB在OA右邊，畫圖后

分別計(jì)算即可．

【詳解】解：①OB在OA左邊，如圖，

∵AOC50，AOB:BOC2:3，

∴AOB:AOBAOC2:3，

∴AOB100，

∴BOC10050150；

②OB在OA右邊，如圖，

∵AOC50，AOB:BOC2:3，

∴AOB20，

∴BOC30．

故答案為：150或30．

8．（24-25六年級下·山東煙臺·期中）如圖，一副三角板，將一個三角板60角的頂點(diǎn)與另一個三角板的直

23

角頂點(diǎn)重合，12654，則2的度數(shù)是．

【答案】56.9

【知識點(diǎn)】三角板中角度計(jì)算問題、幾何圖形中角度計(jì)算問題

【分析】本題主要考查了幾何圖形中角的計(jì)算，三角板中角度的計(jì)算，先根據(jù)1265426.9，求出

∠EAC6026.933.1，再求出∠290∠EAC56.9即可．

【詳解】解：∵1265426.9，

∴∠EAC6026.933.1，

∴∠290∠EAC56.9．

故答案為：56.9．

9．（24-25六年級下·山東東營·期中）如圖，A1OA，射線OA2是A1OA的角平分線，射線OA3是A1OA2

的角平分線，射線OA4是A1OA3的角平分線……以此類推，請借助所給圖形思考A1OA2025的度數(shù)

為．

1

【答案】

22024

【知識點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算、用代數(shù)式表示數(shù)、圖形的規(guī)律

【分析】本題主要考查角平分線的定義以及用代數(shù)式表示規(guī)律，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得AOA1，

122

23n1

AOA1，AOA1，AOA1，得出AOA即可．

1321421n212025

【詳解】解：A1OA，射線OA2是A1OA的角平分線，

AOA1，∵

122

∴

射線OA3是A1OA2的角平分線，

2

∵AOA111，

13222

∴

射線OA4是A1OA3的角平分線，

∵

24

23

AOA111，

14222

∴n1

AOA1，

1n2

∴1

則AOA．

1202522024

1

故答案為：．

22024

10．（24-25六年級下·山東泰安·期中）如圖，已知OC是AOB內(nèi)部的一條射線，圖中有三個角：AOB，

AOC和BOC，當(dāng)其中一個角是另一個角的兩倍時，稱射線OC為AOB的“巧分線”，如果MPN78

且PQ是MPN的“巧分線”，則MPQ的度數(shù)為．

【答案】26或39或52

【知識點(diǎn)】幾何圖形中角度計(jì)算問題、角平分線的有關(guān)計(jì)算

【分析】本題考查了新定義、角度計(jì)算問題、角平分線的定義，理解“巧分線”的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)“巧

分線”的定義分情況討論，畫出對應(yīng)的示意圖，再結(jié)合圖形利用角度之間的和差倍分關(guān)系即可求解．

【詳解】解：①若PQ平分MPN，

則MPN2MPQ2QPN，

∴PQ是MPN的“巧分線”，

11

∴MPQMPN7839；

22

②若QPN2MPQ，此時PQ是MPN的“巧分線”，

∴MPN3MPQ，

25

11

∴MPQMPN7826；

33

③若MPQ2QPN，此時PQ是MPN的“巧分線”，

∴MPN3QPN，

11

∴QPNMPN7826，

33

∴MPQ2QPN22652；

∴綜上所述，MPQ的度數(shù)為26或39或52．

故答案為：26或39或52．

三、解答題

11．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）計(jì)算：

(1)475343534742；

(2)92563465754．

【答案】(1)1014125

(2)45589

【知識點(diǎn)】角度的四則運(yùn)算

【分析】本題主要考查了角的四則運(yùn)算，注意160，160．掌握度、分、秒的計(jì)算方法和它們之間的

進(jìn)率是解題的關(guān)鍵．

（1）先度分秒分別相加，再根據(jù)滿60進(jìn)1的原則求出即可；

（2）先進(jìn)行單位的換算，再度分秒分別相減即可．

【詳解】（1）解：475343534742

10010085

1014125；

（2）解：92563465754

9111563''465754''

45589．

12．（24-25七年級下·湖北武漢·期中）如圖，直線AB,CD相交于點(diǎn)O,OB平分EOD．

26

(1)若AOC35，求EOC的度數(shù)；

(2)若EOC:BOD3:1，求AOC的度數(shù)．

【答案】(1)110

(2)36

【知識點(diǎn)】幾何圖形中角度計(jì)算問題、幾何問題(一元一次方程的應(yīng)用)

【分析】本題主要考查了幾何圖形中角度的相關(guān)計(jì)算，角平分線的相關(guān)計(jì)算，對頂角相等等知識．

（1）根據(jù)OB平分EOD，得出BODBOE，由AOC35，結(jié)合對頂角相等得出

BODBOEAOC35，再根據(jù)平角定義即可求出EOC；

（2）由EOC:BOD3:1，設(shè)BODx，則EOC3x，則AOCBODBOEx，由

EOCBODBOE180，列方程5x180，即可求解．

【詳解】（1）解：QOB平分EOD，

BODBOE，

由AOC35，

BODBOEAOC35，

EOC180BODBOE110；

（2）解：由EOC:BOD3:1，

設(shè)BODx，則EOC3x，

則AOCBODBOEx，

由EOCBODBOE180，

即5x180，

x36，

即AOC36．

13．（24-25七年級上·陜西咸陽·期末）如圖，已知在同一平面內(nèi)AOB90,AOC60．

(1)求BOC的度數(shù)；

(2)如果OD平分BOC,OE平分AOC，求DOE的度數(shù)．

27

【答案】(1)150

(2)45

【知識點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算、幾何圖形中角度計(jì)算問題

【分析】本題考查了角的平分線，角的和差運(yùn)算；

（1）根據(jù)圖形可得BOCAOCAOB，代入數(shù)據(jù)即可求解；

11

（2）根據(jù)角角平分線的定義，可得CODBOC75,COEAOC30，進(jìn)而根據(jù)圖形可得

22

DOECODCOE，即可求解．

【詳解】（1）解：AOB90,AOC60，

BOCAOCAOB6090150；

（2）解：OD平分BOC,OE平分AOC,BOC150,AOC60，

11

CODBOC75,COEAOC30，

22

DOECODCOE45．

14．（24-25七年級上·廣東佛山·期末）如圖，將兩塊直角三角板AOB與COD的直角頂點(diǎn)O重合在一起，

其中直角邊OB在COD內(nèi)部，且A45，C30．