高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省恒一教育集團2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期5月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.下列求導(dǎo)運算結(jié)果不正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，故A錯誤；，故B正確；，故C正確；，故D正確.故選：A.2.2025年U-20男足亞洲杯足球賽于2月份在深圳舉行，東道主中國所在的A組共有四支球隊，四支球隊之間進行單循環(huán)比賽，共進行的比賽的場數(shù)為（）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】B【解析】四支球隊之間進行單循環(huán)比賽，共進行的比賽的場數(shù)為.故選：B3.函數(shù)在處切線斜率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，則，，所以函數(shù)在處的切線斜率為，故選：C4.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則極小值點的個數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】由圖象，設(shè)與軸的交點橫坐標(biāo)為，其中，由圖象可得時，，當(dāng)時，，所以是極小值點，當(dāng)時，，所以不極值點，當(dāng)時，，所以極大值點，時，，所以是極小值點，故極小值點的個數(shù)為2.故選：C.5.小王每次通過英語聽力測試的概率是，且每次通過英語聽力測試相互獨立，他連續(xù)測試3次，那么其中恰有1次通過的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】小王每次通過英語聽力測試的概率是，且每次通過英語聽力測試相互獨立，他連續(xù)測試3次，那么其中恰有1次通過的概率是,故選：A6.設(shè)袋中有8個紅球，4個白球，若從袋中任取4個球，則其中有且只有3個紅球的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】從袋中任取4個球，其中紅球的個數(shù)X服從參數(shù)為的超幾何分布，故有3個紅球的概率為故選：C.7.若隨機變量，則（）A.3.8 B.4.8 C.8.6 D.9.6【答案】D【解析】因為，所以，所以，故選：D8.曲線上的點到直線的最短距離是（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】直線的斜率為，所以，令得，，將代入可得，則在點的切線斜率為，所以切點到直線的距離為：.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知二項式的展開式中各二項式系數(shù)和為，則下列說法正確的是（）A.展開式共有項 B.二項式系數(shù)最大的項是第項C.展開式的常數(shù)項為 D.展開式中各項的系數(shù)和為【答案】BD【解析】由題知，得到，所以展開式共有項，故選項A錯誤，對于選項B，因為，由二項式系數(shù)的性質(zhì)知二項式系數(shù)最大的項是第項，所以選項B正角，對于選項C，二項式的展開式的通項公式為，由，得到，所以展開式的常數(shù)項為，所以選項C錯誤，對于選項D，令，則，所以展開式中各項的系數(shù)和為，故選項D正確，故選：BD.10.某同學(xué)將收集到的六對數(shù)據(jù)制作成散點圖如下，得到其經(jīng)驗回歸方程為計算其相關(guān)系數(shù)為r?，決定系數(shù)為R2.經(jīng)過分析確定點F為“離群點”，把它去掉后，再利用剩下的五對數(shù)據(jù)計算得到經(jīng)驗回歸方程為相關(guān)系數(shù)為r?，決定系數(shù)為.下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】由圖可知兩變量呈現(xiàn)正相關(guān)，故，去掉“離群點”后，相關(guān)性更強，所以故故A正確，B不正確.根據(jù)圖象當(dāng)去掉F點后，相關(guān)性更強，點A，B，C，D，E會更靠近直線，直線的傾斜程度會略向x軸偏向，故斜率會變小，因此可判斷，故C正確，D錯誤.故選：AC.11.甲箱中有2個白球和3個黑球，乙箱中有3個白球和2個黑球．先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱中，以，分別表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再從乙箱中隨機取出一球，以B表示從乙箱中取出的是白球，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】對于A，由古典概型可知，故A錯誤；對于B，由條件概率可知表示在由甲箱中取出的是白球的條件下，從乙箱中取出的是白球的概率，當(dāng)甲箱中取出的是白球放入乙箱后，乙箱中有4個白球和2個黑球，由古典概型可知；對于C，由B選項分析同理可得，由條件概率的定義可知，故C正確；對于D，由全概率公式可得，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在某項測量中，測量結(jié)果服從正態(tài)分布，若在內(nèi)取值的概率為，則在內(nèi)取值的概率為______________．【答案】【解析】因為在內(nèi)取值的概率為，服從正態(tài)分布，所以，且，所以，所以，所以在內(nèi)取值的概率為，故答案為：.13.假設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的一個部件來自三個供應(yīng)商，供貨占比分別是、、，而它們的良品率分別是、、，則該部件的總體良品率是______________．【答案】【解析】由題意可知該部件的總體良品率是：，故答案為：14.函數(shù),若關(guān)于x的不等式的解集為,則實數(shù)a的取值范圍為__________．【答案】【解析】由題意知，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．當(dāng)時，，結(jié)合圖象知；當(dāng)時，，當(dāng)時，顯然成立；當(dāng)時，，令，則，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，所以．綜上，實數(shù)a的取值范圍為．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）求單調(diào)區(qū)間；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值.解：（1）函數(shù)的定義域為R，求導(dǎo)得，由，得或；由，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由（1）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，，則，，所以在區(qū)間上的最大值和最小值分別為.16.某人工智能公司從2018至2024年利潤情況如下表所示：年份2018201920202021202220232024年份代碼x1234567利潤y（單位：億元）2.93.33.64.44.85.25.9（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，推斷變量y與x之間是否線性相關(guān)．計算y與x之間的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01），并推斷它們的相關(guān)程度；（2）求出y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程，并預(yù)測該人工智能公司2025年的利潤；參考數(shù)據(jù)：參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，①相關(guān)系數(shù)為：;②經(jīng)驗回歸直線x的斜率和截距的最小二乘估計公式分別，解：（1）由題設(shè)，易知y與x線性相關(guān)，且，，由于，可以推斷變量y與x成正線性相關(guān)且相關(guān)程度很強．（2）由題設(shè)，，，所以，因此y關(guān)于x的回歸方程為，當(dāng)時，，即預(yù)測該人工智能公司2025的利潤為6.3億元．17.近年來，“家長輔導(dǎo)孩子作業(yè)”已成為家長朋友圈里的一個熱門話題．某研究機構(gòu)隨機調(diào)查了該區(qū)有孩子正在就讀小學(xué)的140名家長，以研究輔導(dǎo)孩子作業(yè)與家長性別的關(guān)系，得到下面的數(shù)據(jù)表：（1）請將下列列聯(lián)表填寫完整，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0．05的前提下，認為是否輔導(dǎo)孩子作業(yè)與家長性別有關(guān)?否輔導(dǎo)家長性別輔導(dǎo)不輔導(dǎo)合計男50女40合計70（2）若從被調(diào)查的50名爸爸中任選2名爸爸，并用A表示事件“至少1名爸爸輔導(dǎo)”，用B表示事件“2名爸爸都輔導(dǎo)”，求．參考公式：其中．參考數(shù)據(jù)：0.150.100.050.0252.0722.7063.8415.024解：（1）列聯(lián)表填寫如下圖所示：是否輔導(dǎo)家長性別輔導(dǎo)不輔導(dǎo)合計男302050女405090合計7070140，所以不能在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為輔導(dǎo)孩子作業(yè)與家長性別有關(guān)；（2）至少一名爸爸輔導(dǎo)的可能情況有種；兩名爸爸輔導(dǎo)的情況有種；所以.18.設(shè)隨機變量X的概率分布列為（1）確定常數(shù)m的值.（2）寫出X的分布列.（3）計算解：（1）隨機變量的概率分布為．，解得．（2）由（1）可得，，，，的分布列為：1234（3）．19.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積.（2）若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.（3）若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）當(dāng)時，，所以.又，所以，則切線方程為.令得，令得，所以切線與坐標(biāo)軸圍成三角形的面積為.（2）由得，