任務(wù)群（四）立體幾何任務(wù)1幾何體的表面積和體積[核心整合]幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S圓柱側(cè)＝2πrl，S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝S底·h錐體(棱錐和圓錐)S圓柱側(cè)＝πrl，S表面積＝S側(cè)＋S底V＝eq\f(1,3)S底·h臺體(棱臺和圓臺)S圓臺側(cè)＝π(r上＋r下)l，S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3角度1空間幾何體的表面積[例1](1)已知一個圓柱底面半徑為2，高為3，上底面的同心圓半徑為1，以這個圓面為上底面，圓柱下底面為下底面的圓臺被挖去，剩余的幾何體表面積等于()A．(9＋3eq\r(10))πB．(14＋3eq\r(10))πC．(5＋2eq\r(10))πD．(15＋3eq\r(10))π(2)攢尖是中國古建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，常見的有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、六角攢尖等，多見于亭閣式建筑，蘭州市著名景點三臺閣的屋頂部分也是典型的攢尖結(jié)構(gòu)．如圖所示是某研究性學習小組制作的三臺閣仿真模型的屋頂部分，它可以看作是不含下底面的正四棱臺和正三棱柱的組合體．已知正四棱臺上底、下底、側(cè)棱的長度(單位：dm)分別為2，6，4，正三棱柱各棱長均相等，則該結(jié)構(gòu)表面積為()A．(34eq\r(3)＋8)dm2B．(34eq\r(3)＋44)dm2C．(34eq\r(3)＋48)dm2D．(34eq\r(5)＋8)dm2[規(guī)律總結(jié)]空間幾何體表面積的類型及求法求多面體的表面積只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積求旋轉(zhuǎn)體的表面積可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何體特征入手，將其展開后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應(yīng)側(cè)面展開圖中的邊長關(guān)系求不規(guī)則幾何體的表面積通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺體的表面積，再通過求和或作差，求出所給幾何體的表面積角度2空間幾何體的體積[例2](1)一個五面體ABC-DEF.已知AD∥BE∥CF，且兩兩之間距離為1.已知AD＝1，BE＝2，CF＝3，則該五面體的體積為()A．eq\f(\r(3),6)B．eq\f(3\r(3),4)＋eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),2)D．eq\f(3\r(3),4)－eq\f(1,2)(2)科技是一個國家強盛之根，創(chuàng)新是一個民族進步之魂，科技創(chuàng)新鑄就國之重器，極目一號(如圖1)是中國科學院空天信息創(chuàng)新研究院自主研發(fā)的系留浮空器.2022年5月，“極目一號”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大氣科學觀測，最高升空至9050m，超過珠穆朗瑪峰，創(chuàng)造了浮空艇大氣科學觀測海拔最高的世界紀錄，彰顯了中國的實力．“極目一號”Ⅲ型浮空艇長55m，高19m，若將它近似看作一個半球、一個圓柱和一個圓臺的組合體，正視圖如圖2所示，則“極目一號”Ⅲ型浮空艇的體積約為()(參考數(shù)據(jù)：9.52≈90，9.53≈857，315×1005≈316600，π≈3.14)A．9064m3B．9004m3C．8944m3D．8884m3[規(guī)律總結(jié)]求幾何體體積的基本方法(1)直接法：對于規(guī)則的幾何體，可利用相關(guān)公式直接計算求解．(2)割補法：對于不規(guī)則的幾何體，可將其分割成規(guī)則的幾何體，進行體積計算；也可把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則的幾何體，進行體積計算．(3)轉(zhuǎn)換法：主要用于求三棱錐(四面體)的體積，將三棱錐的頂點和底面進行轉(zhuǎn)換，使其底面的面積可求(或容易求)，高可求(或容易求)，從而代入公式求得體積．[對點練習]1.(1)廡殿式屋頂是中國古代建筑中等級最高的屋頂形式，分為單檐廡殿頂與重檐廡殿頂．單檐廡殿頂主要有一條正脊和四條垂脊，前后左右都有斜坡(如圖①)，類似五面體FE-ABCD的形狀(如圖②)，若四邊形ABCD是矩形，AB∥EF，且AB＝CD＝2EF＝2BC＝8，EA＝ED＝FB＝FC＝3，則五面體FE-ABCD的表面積為________．(2)已知圓臺甲、乙的上底面半徑均為r1，下底面半徑均為r2，母線長分別為2(r2－r1)，3(r2－r1)，則圓臺甲與乙的體積之比為________．任務(wù)2球的切、接問題[核心整合]設(shè)正方體的棱長為a，球的半徑為R，①若球為正方體的外接球，則2R＝eq\r(3)a；②若球為正方體的內(nèi)切球，則2R＝a；③若球與正方體的各棱相切，則2R＝eq\r(2)a.長方體的共頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).當且僅當長方體為正方體(即a＝b＝c)，才有內(nèi)切球．角度1外接球[例3]已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為3eq\r(3)和4eq\r(3)，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為()A．100πB．128πC．144πD．192π[延伸探究](變條件)本例中的“正三棱臺”改為“高為1，底面邊長為4eq\r(3)的正三棱錐”，求該球的表面積．[規(guī)律總結(jié)]求空間多面體外接球半徑的常用方法(1)補形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)庀嗟鹊哪Ｐ停梢赃€原到正方體或長方體中去求解．(2)定義法：到各個頂點距離均相等的點為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)到其他頂點的距離也是半徑，列關(guān)系式求解即可．角度2內(nèi)切球[例4](1)在《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑．在鱉臑A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB＝BC＝CD＝1，則其內(nèi)切球表面積為()A．3πB．eq\r(3)πC．(3－2eq\r(2))πD．(eq\r(2)－1)π(2)已知某圓臺的上、下底面半徑分別為r1，r2，且r2＝2r1，若半徑為2的球與圓臺的上、下底面及側(cè)面均相切，則該圓臺的體積為()A．eq\f(28π,3)B．eq\f(40π,3)C．eq\f(56π,3)D．eq\f(112π,3)[規(guī)律總結(jié)]幾何體內(nèi)切球問題的求解策略(1)體積分割法求內(nèi)切球半徑．(2)作出合適的截面(過球心、切點等)，轉(zhuǎn)化為平面圖形求解．(3)多球相切的問題，連接各球球心，轉(zhuǎn)化為處理多面體問題．[對點練習]2.(1)在三棱錐P-ABC中，已知PA＝BC＝2eq\r(13)，AC＝BP＝eq\r(41)，CP＝AB＝eq\r(61)，則三棱錐P-ABC外接球的表面積為()A．77πB．64πC．108πD．72π(2)如圖所示的由4個直角三角形組成的各邊長均相等的六邊形是某棱錐的側(cè)面展開圖，若該六邊形的面積為1＋eq\r(2)，則該棱錐的內(nèi)切球半徑為________.任務(wù)3空間直線、平面位置關(guān)系的判定[例1](1)若m，n為兩條不同的直線，α為一個平面，則下列結(jié)論中正確的是()A．若m∥α，n∥α，則m⊥nB．若m∥α，n∥α，則m∥nC．若m∥α，n⊥α，則m⊥nD．若m∥α，n⊥α，則m與n相交(2)(多選)如圖，四棱錐A-BCDE是所有棱長均為2的正四棱錐，三棱錐A-CDF是正四面體，G為BE的中點，則下列結(jié)論正確的是()A．A，B，C，F(xiàn)四點共面B．FG⊥平面ACDC．FG⊥CDD．平面ABE∥平面CDF[規(guī)律總結(jié)]判斷空間直線、平面位置關(guān)系的常用方法(1)根據(jù)空間線面平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理逐項判斷；(2)利用直線的方向向量、平面的法向量判斷；(3)必要時可以借助空間幾何模型，如從長方體、四面體等模型中觀察直線、平面的位置關(guān)系，并結(jié)合有關(guān)定理進行判斷．[對點練習]1.(1)(多選)設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列四個命題正確的是()A．若m?β，α⊥β，則m⊥αB．若m?β，α∥β，則m∥αC．若m⊥α，m⊥β，n⊥α，則n⊥βD．若m∥α，m∥β，n∥α，則n∥β(2)(多選)已知四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，則()A．若PC⊥BD，則AC⊥BDB．若AC⊥BD，則PB＝PDC．若PB＝PD，則AB＝ADD．若AB＝AD，則PC⊥BD任務(wù)4空間平行、垂直關(guān)系的證明角度1幾何法[核心整合]1．線面、面面平行的判定及性質(zhì)定理2．線面、面面垂直的判定及性質(zhì)定理3．向量法：設(shè)直線l的方向向量為a＝(a1，b1，c1)，平面α，β的法向量分別為μ＝(a2，b2，c2)，ν＝(a3，b3，c3).則有：①線面平行l(wèi)∥α?a⊥μ?a·μ＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.②線面垂直l⊥α?a∥μ?a＝kμ?a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.③面面平行α∥β?μ∥v?μ＝λν?a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3.④面面垂直α⊥β?μ⊥ν?μ·ν＝0?a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.[例2]如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，平面ADE⊥平面ABCD，EF＝1，AE＝DE＝eq\r(2).(1)求證：CD∥平面ABFE；(2)求證：平面ABFE⊥平面CDEF.[規(guī)律總結(jié)]空間平行、垂直關(guān)系證明的技巧(1)明確空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，明確其中已有的平行、垂直關(guān)系．(2)熟練掌握線面平行、面面平行、線面垂直、面面垂直的判定定理及性質(zhì)定理，并能靈活運用．(3)證明線線平行的常用方法：①三角形的中位線定理；②平行公理；③線面平行的性質(zhì)定理；④面面平行的性質(zhì)定理．(4)證明線線垂直的常用方法：①等腰三角形三線合一；②勾股定理的逆定理；③利用線面垂直的性質(zhì)證線線垂直．角度2向量法[例3]如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，點E為棱PC的中點．證明：(1)BE⊥DC；(2)BE∥平面PAD；(3)平面PCD⊥平面PAD.[規(guī)律總結(jié)]利用向量證明平行與垂直的一般步驟(1)建立空間直角坐標系，建系時要盡可能地利用條件中的垂直關(guān)系；(2)建立空間圖形與空間向量之間的關(guān)系，用空間向量表示出問題中所涉及的點、直線、平面等要素；(3)通過空間向量的運算求出直線的方向向量或平面的法向量，再研究平行、垂直關(guān)系；(4)根據(jù)運算結(jié)果解釋相關(guān)問題．注意：運用向量知識判定空間位置關(guān)系時，仍然離不開幾何定理．如用直線的方向向量與平面的法向量垂直來證明線面平行時，仍需強調(diào)直線在平面外．[對點練習]2.如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E是B1C1的中點，D是BC上一點．(1)若D是BC中點，求證：平面AC1D∥平面A1BE；(2)若AD⊥C1D，求證：D是BC中點．3．如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝eq\f(1,2)PD.(1)證明：平面PQB⊥平面DCQ；(2)證明：PC∥平面BAQ.重點題型(九)截面與交線問題【編者按】立體幾何中，截面是指用一個平面去截幾何體得到的平面圖形，確定截面的形狀及內(nèi)含的數(shù)量關(guān)系，首先要確定交線．“截面、交線”問題是高考對立體幾何知識考查最具創(chuàng)新意識的題型之一，它滲透了一些動態(tài)的線、面等元素，給靜態(tài)的立體幾何題賦予了活力．求截面、交線問題常與解三角形、多邊形面積、扇形弧長及面積、平面的基本性質(zhì)等綜合命題，有些問題還要借助于空間向量坐標運算求解．題型一截面問題角度1多面體中的截面問題[例1](多選)如圖，已知棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1，點P是棱AB的中點，過點P作正方體ABCD-A1B1C1D1的截面，下列判斷正確的是()A．截面的形狀可能是正三角形B．截面的形狀可能是直角梯形C．此截面可以將正方體體積分成1∶3D．若截面的形狀是六邊形，則其周長為定值角度2球的截面問題[例2]如圖，棱長為2的正四面體ABCD中，M，N分別為棱AD，BC的中點，O為線段MN的中點，球O的表面正好經(jīng)過點M，則球O被平面BCD截得的截面面積為__________．[規(guī)律總結(jié)]作幾何體截面的方法(1)利用平行直線找截面；(2)利用相交直線找截面．[對點練習]1.(1)如圖所示，正四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，上底面邊長為3，下底面邊長為6，體積為eq\f(63\r(2),2)，點E在AD上且滿足DE＝2AE，過點E的平面α與平面D1AC平行，且與正四棱臺各面相交得到截面多邊形，則該截面多邊形的周長為()A．7eq\r(2)B．8eq\r(2)C．3eq\r(3)＋4eq\r(2)D．4eq\r(3)＋4eq\r(2)(2)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長均為2，D為棱AB的中點，則過點D的平面截該三棱柱外接球所得截面面積的取值范圍為___________．題型二交線問題角度1多面體中的交線問題[例3]正三棱臺A1B1C1-ABC中，A1B1＝1，AB＝AA1＝2，點E，F(xiàn)分別為棱BB1，A1C1的中點，若過點A，E，F(xiàn)作截面，則截面與上底面A1B1C1的交線長為________．角度2與球有關(guān)的交線問題[例4]已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱長均為2，∠BAD＝60°.以D1為球心，eq\r(5)為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長為________．[規(guī)律總結(jié)]找交線的方法(1)線面交點法：各棱線與截平面的交點．(2)面面交線法：各棱面與截平面的交線．[對點練習]2.(1)如圖，已知在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝AB＝2，且點E，F(xiàn)分別為棱BB1，A1C1的中點.過點A，E，F(xiàn)作三棱柱截面交C1B1于點P，則線段B1P的長度為_________．(2)在正三棱錐A-BCD中，底面△BCD的邊長為4，E為AD的中點，AB⊥CE，則以D為球心，AD為半徑的球截該棱錐各面所得交線長為________．重點題型(十)立體幾何中的動態(tài)問題【編者按】立體幾何中的“動態(tài)”問題，是指空間圖形中的某些點、線、面的位置是不確定的，是可變的．由于“動態(tài)”的存在，也使立體幾何問題更趨多元化，將立體幾何問題與平面幾何中的軌跡問題、解三角形問題等之間架設(shè)了橋梁，可以靈活轉(zhuǎn)化．立體幾何中的動態(tài)問題主要有兩個類型：(1)研究動點的軌跡，主要方法有定義法(如圓錐曲線定義)、解析法、交軌法；(2)與動點有關(guān)的最值、范圍問題，主要方法有幾何法、函數(shù)法．題型一動點的軌跡問題[例1](多選)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為4，M為DD1的中點，N為ABCD所在平面上一動點，則下列命題正確的是()A．若MN與平面ABCD所成的角為eq\f(π,4)，則點N的軌跡為圓B．若MN＝4，則MN的中點P的軌跡所圍成圖形的面積為2πC．若點N到直線BB1與直線DC的距離相等，則點N的軌跡為拋物線D．若D1N與AB所成的角為eq\f(π,3)，則點N的軌跡為雙曲線[規(guī)律總結(jié)]解決與幾何體有關(guān)的動點軌跡問題的方法(1)幾何法：根據(jù)平面的性質(zhì)進行判定．(2)定義法：轉(zhuǎn)化為平面軌跡問題，用圓錐曲線的定義判定或用代數(shù)法進行計算．(3)特殊值法：根據(jù)空間圖形線段長度關(guān)系取特殊值或特殊位置進行檢驗排除．[對點練習]1.已知線段AB垂直于定圓所在的平面，B、C是圓上的兩點，H是點B在AC上的射影，當C運動，點H運動的軌跡()A.是圓B．是橢圓C．是拋物線D．不是平面圖形題型二幾何體的表面展開問題[例2]正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，M是面BCC1B1內(nèi)一動點，且DM⊥A1C，N是棱CC1上一動點，則△DMN周長的最小值為()A．2B．eq\r(3)＋1C．eq\r(2)＋2D．eq\f(\r(6),2)＋eq\f(\r(10),2)[規(guī)律總結(jié)]在解決空間折線(段)最短問題時，一般考慮其展開圖，采用化曲為直的策略，將空間問題平面化．注意多面體表面展開圖可能有不同的排布(如長方體)，一定先觀察立體圖形每個面的形狀，全面考慮問題，借助展開圖，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)．[對點練習]2.如圖是一座山的示意圖，山大致呈圓錐形，山腳呈圓形，半徑為2km，山高為2eq\r(15)km，B是SA山坡上一點，且AB＝2km.現(xiàn)要建設(shè)一條從A到B的環(huán)山觀光公路，這條公路從A出發(fā)后先上坡，后下坡，當公路長度最短時，下坡路段長為______．題型三最值、范圍問題[例3](多選)在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，動點P在體對角線BD1上(含端點)，則下列結(jié)論正確的有()A．當P為BD1中點時，∠APC為銳角B．存在點P，使得BD1⊥平面APCC．AP＋PC的最小值為eq\f(\r(30),3)D．頂點B到平面APC的最大距離為eq\f(\r(6),6)[規(guī)律總結(jié)]在動態(tài)變化過程中產(chǎn)生的體積最大、距離最大(小)、角的范圍等問題，常用的解題思路是：(1)直觀判斷：在變化過程中判斷點、線、面在什么位置時，所求的量有相應(yīng)最大、最小值．(2)函數(shù)思想：通過建系或引入變量，把這類動態(tài)問題轉(zhuǎn)化為目標函數(shù)，從而利用代數(shù)方法求目標函數(shù)的最值．[對點練習]3.如圖，已知球的表面積為16π，若將該球放入一個圓錐內(nèi)部，使球與圓錐底面和側(cè)面都相切，則圓錐的體積的最小值為__________．任務(wù)5異面直線所成的角[核心整合]設(shè)異面直線a，b的方向向量分別為a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，異面直線a，b的夾角為θ，則(1)θ∈(0，eq\f(π,2)]；(2)cosθ＝|cos〈a，b〉|＝eq\f(|a·b|,|a||b|)＝eq\f(|a1a2＋b1b2＋c1c2|,\r(aeq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,1)＋ceq\o\al(2,1))·\r(aeq\o\al(2,2)＋beq\o\al(2,2)＋ceq\o\al(2,2))).[例1]如圖，已知O是圓柱下底面圓的圓心，AA1為圓柱的一條母線，B為圓柱下底面圓周上一點，OA＝1，∠AOB＝eq\f(2π,3)，△AA1B為等腰直角三角形，則異面直線A1O與AB所成角的余弦值為()A．eq\f(\r(3),6)B．eq\f(\r(2),4)C．eq\f(\r(3),4)D．eq\f(\r(2),3)[規(guī)律總結(jié)]求異面直線所成角的方法方法一：幾何法．步驟為：①利用定義構(gòu)造角，可固定一條直線，平移另一條直線，或?qū)蓷l直線同時平移到某個特殊的位置；②證明找到(或作出)的角即為所求角；③通過解三角形來求角．方法二：向量法．步驟為：①求出直線a，b的方向向量，分別記為m，n；②計算cos〈m，n〉＝eq\f(m·n,|m||n|)；③利用cosθ＝|cos〈m，n〉|，以及θ∈(0，eq\f(π,2)]，求出角θ.[對點練習]1.如圖所示，已知兩個正四棱錐P-ABCD與Q-ABCD的高分別為1和2，AB＝4，則異面直線AQ與PB所成角的正弦值為________．任務(wù)6直線與平面所成的角[核心整合]設(shè)直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為θ，則(1)θ∈[0，eq\f(π,2)]；(2)sinθ＝|cos〈a，n〉|＝eq\f(|a·n|,|a|·|n|).[例2]在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝2，A1C⊥底面ABC，∠ACB＝90°，A1到平面BCC1B1的距離為1.(1)求證：AC＝A1C；(2)若直線AA1與BB1距離為2，求AB1與平面BCC1B1所成角的正弦值．[規(guī)律總結(jié)]利用向量法求直線與平面所成角的步驟[對點練習]2.在三棱臺A1B1C1-ABC中，△ABC為等邊三角形，AB＝2A1B1＝2，AA1⊥平面ABC，M，N分別為AB，AC的中點．(1)證明：平面BCC1B1∥平面A1MN；(2)若A1B⊥AC1，設(shè)D為線段BC上的動點，求A1D與平面BCC1B1所成的角的正弦值的最大值．任務(wù)7平面與平面的夾角[核心整合]設(shè)平面α，β的法向量分別為μ，ν，平面α與平面β的夾角為θ，則(1)θ∈[0，eq\f(π,2)]；(2)cosθ＝|cos〈μ，ν〉|＝eq\f(|μ·ν|,|μ|·|ν|).[例3]如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，BC∥AD，EF∥AD，AD＝4，AB＝BC＝EF＝2，ED＝eq\r(10)，F(xiàn)B＝2eq\r(3)，M為AD的中點．(1)證明：BM∥平面CDE；(2)求二面角F-BM-E的正弦值．[規(guī)律總結(jié)]利用向量法求二面角的方法步驟[對點練習]3.如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4.點A2，B2，C2，D2分別在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3.(1)證明：B2C2∥A2D2；(2)點P在棱BB1上，當二面角P-A2C2-D2為150°時，求B2P.任務(wù)8空間距離[核心整合]1．點到直線的距離如圖，直線l的單位方向向量為u，向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直線l上的投影向量為eq\o(AQ,\s\up6(→))，則△APQ是直角三角形，設(shè)向量eq\o(AP,\s\up6(→))＝a，點P到直線l的距離為PQ＝eq\r(|\o(AP,\s\up6(→))|2－|\o(AQ,\s\up6(→))|2)＝eq\r(a2－(a·u)2).2．點到平面的距離已知平面α的法向量為n，A是平面α內(nèi)的定點，P是平面α外一點．過點P作平面α的垂線l，交平面α于點Q，則n是直線l的方向向量，且點P到平面α的距離就是eq\o(AP,\s\up6(→))在直線l上的投影向量eq\o(QP,\s\up6(→))的長度．因此PQ＝|eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\f(n,|n|)|＝|eq\f(\o(AP,\s\up6(→))·n,|n|)|＝eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|).角度1點到直線的距離[例4]如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，AP＝BP＝eq\r(5)，AB＝2，AD＝3，M是棱AD上一點，且AM＝2MD.(1)求點B到直線PM的距離；(2)求平面PMB與平面PMC夾角的余弦值．[規(guī)律總結(jié)]求點到直線距離的方法(1)設(shè)過點P的直線l的單位方向向量為n，A為直線l外一點，點A到直線l的距離d＝eq\r(|\o(PA,\s\up6(→))|2－(\o(PA,\s\up6(→))·n)2)；(2)若能求出點在直線上的射影坐標，可以直接利用兩點間距離公式求距離．角度2點到平面的距離[例5]如圖，在直三棱柱形木料ABC-A1B1C1中，D為上底面ABC上一點．(1)經(jīng)過點D在上底面ABC上畫一條直線l與B1D垂直，應(yīng)該如何畫線，請說明理由；(2)若BC＝BB1＝1，AB＝2，∠A1B1C1＝eq\f(π,2)，E為A1B1的中點，求點B到平面AC1E的距離．[規(guī)律總結(jié)]求點到平面的距離的四步驟[對點練習]4.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝4，AD＝2，點P為側(cè)面ABB1A1內(nèi)一動點，且滿足C1P∥平面ACD1，則C1P的最小值為__________，此時點P到直線A1C1的距離為__________．5．如圖，邊長為4的兩個正三角形ABC，BCD所在平面互相垂直，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點，點G在棱AD上，AG＝2GD，直線AB與平面EFG相交于點H.(1)從下面兩個結(jié)論中選一個證明：①BD∥GH；②直線HE，GF，AC相交于一點；注：若兩個問題均作答，則按第一個計分．(2)求直線BD與平面EFG的距離．任務(wù)9翻折問題[例1]如圖，平面四邊形ABCD中，AB＝8，CD＝3，AD＝5eq\r(3)，∠ADC＝90°，∠BAD＝30°，點E，F(xiàn)滿足eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，將△AEF沿EF對折至△PEF，使得PC＝4eq\r(3).(1)證明：EF⊥PD；(2)求面PCD與面PBF所成的二面角的正弦值．[規(guī)律總結(jié)]解決翻折問題的關(guān)鍵(1)盯住量：看翻折前后線面位置關(guān)系的變化情況，根據(jù)翻折過程，把翻折前后沒有變化和發(fā)生變化的量準確找出來，因為它們反映了翻折后空間圖形的特征；(2)會轉(zhuǎn)化：根據(jù)需要解決的立體幾何問題(證明位置關(guān)系，求解空間角或距離)，確立轉(zhuǎn)化的目標；(3)得結(jié)論：對轉(zhuǎn)化后的問題，用定義、判定定理、性質(zhì)定理、基本事實及相關(guān)公式解決．[對點練習]1.如圖甲是由正方形ABCD，等邊△ABE和等邊△BCF組成的一個平面圖形，其中AB＝6，將其沿AB，BC，AC折起得三棱錐P-ABC，如圖乙．(1)求證：平面PAC⊥平面ABC；(2)過棱AC作平面ACM交棱PB于點M，且三棱錐P-ACM和B-ACM的體積比為1∶2，求直線AM與平面PBC所成角的正弦值．任務(wù)10探究性問題角度1與空間位置關(guān)系相關(guān)的探究性問題[例2]如圖，在三棱錐P-ABC中，底面△ABC是邊長為2的正三角形，PA＝PC＝4.(1)求證：PB⊥AC；(2)若平面PAC⊥平面ABC，在線段PB(包含端點)上是否存在一點E，使得平面PAB⊥平面ACE？若存在，求出PE的長；若不存在，請說明理由．[規(guī)律總結(jié)]與空間線面關(guān)系有關(guān)的探究性問題的一般解法(1)可先猜后證，即先觀察并嘗試給出條件再證明．涉及到線段上是否存在符合某條件的點的問題時，常猜測點的位置，特別要注意特殊位置關(guān)系和極端情形的應(yīng)用．(2)首先假設(shè)結(jié)論成立，然后把這個假設(shè)作為已知條件，與題目的其他已知條件一起進行推理論證和計算．在推理論證和計算無誤的前提下，若得到一個合理的結(jié)論，則說明假設(shè)成立；若得到一個不合理的結(jié)論，則說明假設(shè)不成立．角度2與空間角有關(guān)的探究性問題[例3]如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝4，BC＝2，沿AC將△ADC折起，使點D到達點P的位置，點P在平面ABC的射影H落在邊AB上．(1)求AH的長度；(2)若M是邊PC上的一個動點，是否存在點M，使得平面AMB與平面PBC的夾角余弦值為eq\f(\r(3),4)？若存在，求CM的長度；若不存在，說明理由．[規(guī)律總結(jié)]與空間角有關(guān)的存在性問題的解題流程[對點練習]2.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，M是AB的中點，N是B1C1的中點，P是BC1與B1C的交點．(1)證明：A1C⊥BC1；(2)求直線A1P與平面A1CM所成角的正弦值；(3)在線段A1N上是否存在點Q，使得PQ∥平面A1CM？若存在，求出A1Q的長；若不存在，請說明理由．3．如圖，三棱臺ABC-A1B1C1中，側(cè)面四邊形ACC1A1為等腰梯形，底面三角形ABC為正三角形，且AC＝2A1C1＝2.設(shè)D為棱A1C1上的點．(1)若D為A1C1的中點，求證：AC⊥BD；(2)若三棱臺ABC-A1B1C1的體積為eq\f(7,8)，且側(cè)面ACC1A1⊥底面ABC，試探究是否存在點D，使直線BD與平面BCC1B1所成角的正弦值為eq\f(\r(15),10)？若存在，確定點D的位置；若不存在，說明理由．大題規(guī)范解答·(四)立體幾何[典例示范](15分)如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD①，PA＝AC＝2，BC＝1，AB＝eq\r(3)②.(1)若AD⊥PB③，證明：AD∥平面PBC④；(2)若AD⊥DC⑤，且二面角A-CP-D的正弦值為eq\f(\r(42),7)⑥，求AD⑦.破題①：PA垂直于底面內(nèi)的任一條直線．破題②：∠ABC＝90°?AB⊥BC.破題③：因為AD⊥PA，從而得AD⊥平面PAB.破題④：若AD∥平面PBC，由線面平行性質(zhì)定理可得AD∥BC.破題⑤：可以點D為坐標原點建立空間直角坐標系．破題⑥：求平面ACP和平面CPD的法向量，利用公式表示．破題⑦：設(shè)AD＝t，通過法向量夾角關(guān)系解方程．———————[滿分作答]—————