課下鞏固精練卷(四十二)平面向量的數(shù)量積【基礎(chǔ)鞏固題】1．若|a＋b|＝|a－b|，a＝(1，2)，b＝(m，3)，則實(shí)數(shù)m＝()A．6B．－6C．3D．－3解析：選B.因?yàn)閨a＋b|＝|a－b|，所以(a＋b)2＝(a－b)2，即a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b，所以a·b＝0，因?yàn)閍＝(1，2)，b＝(m，3)，所以a·b＝m＋6，所以m＋6＝0，解得m＝－6.2．(2023·新課標(biāo)Ⅰ卷)已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a＋μb)，則()A．λ＋μ＝1 B.λ＋μ＝－1C．λμ＝1 D.λμ＝－1解析：選D.因?yàn)閍＝(1，1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)，由(a＋λb)⊥(a＋μb)，可得(a＋λb)·(a＋μb)＝0，即(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1.3．(2024·河北衡水三模)已知e1，e2是單位向量，e1·e2＝－12，則e1＋2e2與e2A．π6B．C．π3D．解析：選A.(e1＋2e2)2＝e12+4e1·e2+4(e1＋2e2)·e2＝e1·e2＋2e22＝?12+2＝32，設(shè)e1則cosθ＝e1+2e2·e24．(2024·山東德州三模)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，則實(shí)數(shù)t＝()A．－6 B．－5C．5 D．6解析：選C.由a＝(3，4)，b＝(1，0)，所以c＝a＋tb＝(3，4)＋t(1，0)＝(3＋t，4)，由〈a，c〉＝〈b，c〉，得a·所以a·因?yàn)閨a|＝32+4所以3×3+t+45．(2024·泰州模擬)已知平面單位向量a，b，c滿足〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝2πA．0 B．1C．3 D．6解析：選C.∵|3a＋2b＋c|2＝(3a＋2b＋c)2＝9a2＋4b2＋c2＋12a·b＋6a·c＋4b·c＝3，∴|3a＋2b＋c|＝3.6．(2024·佛山模擬)在△ABC中，設(shè)AC2?AB2＝2AM·ACA．垂心B．內(nèi)心C．重心D．外心解析：選D.設(shè)線段BC的中點(diǎn)為D，則AB+因?yàn)锳C2?AB2所以AC+AB·AC?即2AD·即BC·AM?AD＝即DM⊥BC，所以DM垂直且平分線段BC，因此動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是BC的垂直平分線，必通過(guò)△ABC的外心．7．(多選)已知a，b是單位向量，且a＋b＝(1，－1)，則()A．|a＋b|＝2 B．a(chǎn)與b垂直C．a(chǎn)與a－b的夾角為π4 D．|a－b解析：選BC.|a＋b|＝12因?yàn)閍，b是單位向量，所以|a＋b|2＝a2+b2＋2a·b＝1＋1＋2a·b＝2，得a·b＝0，即|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝2，|a－b|＝2，故D錯(cuò)誤；cos〈a，a－b〉＝a·a?baa?b＝8．(多選)(2024·亳州模擬)已知P是邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn)，則AP·A．－2 B．2C．4 D．8解析：選BC.如圖，取A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，易知正六邊形的每個(gè)內(nèi)角為120°，所以∠CBx＝60°，則A(0，0)，B(2，0)，C3，3，F(xiàn)設(shè)P(x，y)，則AP＝(x，y)，AB＝(2，0)，且－1<x<3.所以AP·AB＝(x，y)·(2，0)＝29．(人教A版必修二P22)已知|a|＝3，|b|＝4，且a與b不共線．當(dāng)向量a＋kb與a－kb相垂直時(shí)，k＝_________.解析：a＋kb與a－kb互相垂直的充要條件是(a＋kb)·(a－kb)＝0，即a2－k2b2＝0.因?yàn)閍2＝32＝9，b2＝42＝16，所以9－16k2＝0，解得k＝±34答案：±310．在如圖所示的天平中，左、右兩個(gè)秤盤均被3根細(xì)繩均勻地固定在橫梁上．在其中一個(gè)秤盤中放入重量為60N的物品，在另一個(gè)秤盤中放入重量60N的砝碼，天平平衡.3根細(xì)繩通過(guò)秤盤分擔(dān)對(duì)物品的拉力(拉力分別為F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3)，若3根細(xì)繩兩兩之間的夾角均為π3，不考慮秤盤和細(xì)繩本身的重量，則F1解析：依題意，|F1|＝|F2|＝|F3|且|F1＋F2＋F3|＝60，所以|F1＋F2＋F3|2＝|F1|2＋|F2|2＋|F3|2＋2F1·F2＋2F2·F3＋2F3·F1＝3600，即3F12+3×2F答案：106【綜合應(yīng)用題】11．(多選)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－1)，c＝(m－2，－n)，其中m，n均為正數(shù)，且(a－b)∥c，則下列說(shuō)法正確的是()A．a(chǎn)與b的夾角為鈍角B．向量a在b上的投影向量為2C．2m＋n＝4D．mn的最大值為2解析：選CD.對(duì)于A，向量a＝(2，1)，b＝(1，－1)，則a·b＝2－1＝1>0，又a，b不共線，所以a，b的夾角為銳角，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，向量a在b上的投影向量為a·對(duì)于C，a－b＝(1，2)，若(a－b)∥c，則－n＝2(m－2)，變形可得2m＋n＝4，故C正確；對(duì)于D，由2m＋n＝4，且m，n均為正數(shù)，得mn＝12(2m·n)≤122m+n22＝2，當(dāng)且僅當(dāng)m12．(2024·撫州模擬)定義：|a×b|＝|a||b|sinθ，其中θ為向量a與b的夾角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－8，則|a×b|等于________．解析：設(shè)向量a與b的夾角為θ∈[0，π]，則cosθ＝a·因?yàn)棣取蔥0，π]，可得sinθ＝1?cos故|a×b|＝|a||b|sinθ＝2×5×35答案：613．(2023·西安模擬)已知在△ABC中，AB＝4，AC＝6，其外接圓的圓心為O，則AO·解析：如圖，設(shè)BC的中點(diǎn)為D，連接OD，AD，則AO·BC＝AD+DO·AC?AB＝12AC+答案：1014．(2024·青島模擬)如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC邊上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，AF與DE交于點(diǎn)M.(1)求∠EMF的余弦值；(2)設(shè)AM＝λAF，求λ的值及點(diǎn)解：(1)如圖所示，建立以點(diǎn)A為原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系，則D(0，6)，E(3，0)，A(0，0)，F(xiàn)(6，2)，∴DE＝(3，－6)，AF＝(6，2)，由于∠EMF就是DE，∴cos∠EMF＝cos〈DE，＝18?129+36∴∠EMF的余弦值為210(2)∵AM＝λ則AM＝(6λ，2λ)，則M(6λ，2λ)，又D，M，E三點(diǎn)共線，則設(shè)DM＝tDE，0<即(6λ，2λ－6)＝t(3，－6)，則6λ＝3t，2λ?6＝?6t，解得λ故M187【創(chuàng)新拓展題】15．(2024·永州模擬)窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國(guó)古老的漢族傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一．圖1是一張由卷曲紋和回紋構(gòu)成的正六邊形剪紙窗花，如圖2所示，其外框是邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF，內(nèi)部圓的圓心為該正六邊形的中心O，圓O的半徑為1，點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)，則PE·A．－1B．－2C．1D．2解析：選D.如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，BE所在直線為x軸，AF的垂直平分線所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)P(cosθ，sinθ)(0≤θ≤2π)，由題意知，E(2，0)，O(0，0)，則PE＝(2－cosθ，－sinθ)，OE＝(2，0)，所以PE·OE＝4－2cos當(dāng)cosθ＝1，即θ＝0時(shí)，PE·16．(2024·浙江金麗衢十二校聯(lián)考)在△ABC中，AB＝7，BC＝8，AC＝9，AM和AN分別是BC邊上的高和中線，則MN·A．14B．15C．16D．17解