課下鞏固精練卷(四十八)數(shù)列中的構(gòu)造問題1．在數(shù)列{an}中，若a1＝3，an＋1＝an2，則an等于()A．2n-1 B．3n-1C．23n?1 D解析：選D.由a1＝3，an＋1＝an2知an>0，對an＋1＝an2兩邊取以3為底的對數(shù)得，log3an＋1＝2log3an，則數(shù)列{log3an}是以log3a1＝1為首項，2為公比的等比數(shù)列，則log3an＝1·2n-1＝2n-1，即a2．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，2an＋1an＝(n＋1)an－nan＋1，則數(shù)列{an}的通項公式為()A．a(chǎn)n＝12n?1B．a(chǎn)n＝C．a(chǎn)n＝n2n?1D．a(chǎn)n＝解析：選C.2an＋1an＝(n＋1)an－nan＋1，顯然an≠0，兩邊同時除以an＋1an，得n+1a又1a1＝1，所以數(shù)列所以nan＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以an＝3．已知數(shù)列{an}滿足：a1＝1，an＋1＝2an＋2n，n∈N*，則a4等于()A．64B．56C．32D．24解析：選C.由an＋1＝2an＋2n得an+1而a1∴數(shù)列an2n是首項為1∴an2n＝12∴an＝n·2n-1，∴a4＝4×24-1＝32.4．(2024·商洛模擬)已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和，a1＝a2＝1，an＋an＋1＝2n＋1(n≥2)，則S2024A．10131012B．C．20252023D．解析：選A.因為an＋an＋1＝2n＋1(n≥2)，所以an＋1－(n＋1)＝－(an－n)(n≥2)．因為a2－2＝－1，所以{an－n}從第二項起是公比為－1的等比數(shù)列，所以an＝n＋(－1)n-1(n≥2)，所以an＝1所以S2023＝1＋2－1＋3＋1＋…＋2023＋1＝2023×1012，S2024＝2023×1012＋2024－1＝2023×1013，所以S20245．已知數(shù)列{an}滿足：a1＝a2＝2，an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，則a9＋a10＝()A．47B．48C．49D．410解析：選C.由an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，得an＋an－1＝4(an－1＋an－2)，即an+an?1an?1+an?2＝4(所以an＋an＋1＝4×4n-1＝4n，所以a9＋a10＝49.6．(2024·河南安陽模擬)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sn＝2an－2n＋1，則S10＝()A．211－23B．210－19C．3×210－23D．3×29－19解析：選C.當(dāng)n＝1時，S1＝a1＝2a1－2＋1，解得a1＝1.當(dāng)n≥2時，Sn－1＝2an－1－2n＋3，所以an＝Sn－Sn－1＝2an－2n＋1－(2an－1－2n＋3)，即an＝2an－1＋2，所以an＋2＝2(an－1＋2)，又a1＋2＝3，所以數(shù)列{an＋2}是首項為3，公比為2的等比數(shù)列，則an＋2＝3×2n-1，從而Sn＝3×2n－2n－3，故S10＝3×210－23.7．在數(shù)列{an}中，a1＝3，an＝2an－1－n＋2(n≥2)，若an>980，則n的最小值是()A．8 B．9C．10 D．11解析：選C.因為an＝2an－1－n＋2(n≥2)，所以an－n＝2[an－1－(n－1)](n≥2)．因為a1＝3，所以a1－1＝2，所以數(shù)列{an－n}是首項和公比都是2的等比數(shù)列，則an－n＝2n，即an＝2n＋n，因為an－an－1＝2n-1＋1>0，所以數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，因為a9＝521<980，a10＝1034>980，所以滿足an>980的n的最小值是10.8．(2024·武漢質(zhì)檢)將一些數(shù)排成如圖所示的倒三角形，其中第一行各數(shù)依次為1，2，3，…，2025，從第二行起，每一個數(shù)都等于它“肩上”的兩個數(shù)之和，最后一行只有一個數(shù)M，則M等于()123…202320242025357…40474049812…8096………MA．2025×22022B．2026×22023C．2025×22023D．2026×22024解析：選B.記第n行的第一個數(shù)為an，則a1＝1，a2＝3＝2a1＋1，a3＝8＝2a2＋2，a4＝20＝2a3＋4，…，an＝2an－1＋2n-2，∴an2n?2＝∴an2n?2＝2＋(n－1)×∴an＝(n＋1)×2n-2，又每行比上一行的數(shù)字少1個，∴最后一行為第2025行，∴M＝a2025＝2026×22023.9．(多選)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a2＝3，且an＋1＝3Sn＋2(n∈N*)，則下列說法正確的有()A．a(chǎn)1＝1B．S4＝190C．{an}是等比數(shù)列D．Sn解析：選ABD.由題意，數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a2＝3，且an＋1＝3Sn＋2，則a2＝3S1＋2＝3a1＋2，所以a1＝13因為an＋1＝3Sn＋2①，所以當(dāng)n≥2時，an＝3Sn－1＋2②，①－②得，an＋1－an＝3an，即an＋1＝4an，當(dāng)n＝1時，a1＝13，不滿足a2＝4a1故數(shù)列{an}不是等比數(shù)列，故C錯誤；當(dāng)n≥2時，an＋1＝4an，則a3＝4a2＝12，a4＝4a3＝48，故S4＝13由an＋1＝3Sn＋2，得Sn＋1－Sn＝3Sn＋2，所以Sn＋1＝4Sn＋2，令Sn＋1＋λ＝4(Sn＋λ)，則Sn＋1＝4Sn＋3λ，所以3λ＝2，即λ＝23所以Sn＋1＋23＝4S故Sn+23是首項為公比為4的等比數(shù)列，故D正確．10．(多選)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an－3an＋1＝2anan＋1(n∈N*)，則下列結(jié)論正確的是()A．1aB．{an}的通項公式為an＝1C．{an}為遞增數(shù)列D．1an的前n項和Tn＝3n解析：選AB.因為an－3an＋1＝2anan＋1，所以1an+1+1＝31a1an＋1＝2×3n-1，即an＝所以{an}為遞減數(shù)列，故C錯誤；1an的前n項和Tn＝(2×30－1)＋(2×31－1)＋…＋(2×3n-1－1)＝2(30＋31＋…＋3n-1)－n＝2×1?3n1?3－n11．記數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝2，2an＋1－3an＝2n，則a8解析：由2an＋1－3an＝2n，得an+12n?1又a12?1－4＝0，則an2n?2故a8＝28，S8＝21?答案：112．(2024·河南名校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，log43·an－an+1log32＝log25·log53·an＋1an解析：由題意可得12log23·an－log23·an＋1＝log25·log23log25·an＋1an，即12log23·an－12log23·an＋1＝log∴an－an＋1＝2anan＋1，結(jié)合a1＝2可知anan＋1≠0，∴1a則1an是公差為2的等差數(shù)列，故1an＝12則an＝24n?3，故a8＝2答案：213．已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，a2＝6，且an＋2－2an＋1＋an＝2，若[x]表示不超過x的最大整數(shù)(例如[1.6]＝1，[－1.6]＝－2)，則22解析：由題設(shè)知(an＋2－an＋1)－(an＋1－a