課下鞏固精練卷(八十七)概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問(wèn)題1．(2024·陜西西安模擬)某體育頻道為了解某地電視觀(guān)眾對(duì)卡塔爾世界杯的收看情況，隨機(jī)抽取了該地200名觀(guān)眾進(jìn)行調(diào)查，下表是根據(jù)所有調(diào)查結(jié)果制作的觀(guān)眾日均收看世界杯時(shí)間(單位：時(shí))的頻率分布表：日均收看世界杯時(shí)間(時(shí))[0.5，1](1，1.5](1.5，2](2，2.5](2.5，3](3，3.5]頻率0.10.180.220.250.20.05如果把日均收看世界杯的時(shí)間高于2.5小時(shí)的觀(guān)眾稱(chēng)為“足球迷”．(1)根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為該地的電視觀(guān)眾是否為“足球迷”與性別有關(guān)；非足球迷足球迷合計(jì)女70男40合計(jì)(2)將樣本的頻率分布當(dāng)作總體的概率分布，現(xiàn)從該地的電視觀(guān)眾中隨機(jī)抽取4人，記這4人中的“足球迷”人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考公式：eq\o(χ,\s\do4())2＝nad?bc2a+bc+da+cb+d，其中n＝a＋b＋c參考數(shù)據(jù)：α0.100.050.0250.0100.0050.001xα2.7063.8415.0246.6357.87910.828解：(1)由頻率分布表可知，“足球迷”對(duì)應(yīng)的頻率為0.2＋0.05＝0.25，則在抽取的200人中，“足球迷”有200×0.25＝50人，所以2×2列聯(lián)表如下：非足球迷足球迷合計(jì)女701080男8040120合計(jì)15050200所以eq\o(χ,\s\do4())2＝200×70×40?80所以有99.9%的把握認(rèn)為該地的電視觀(guān)眾是否為“足球迷”與性別有關(guān)．(2)由頻率分布表可知，“足球迷”對(duì)應(yīng)的頻率為0.25，所以從該地的電視觀(guān)眾中隨機(jī)抽取4人，其為“足球迷”的概率P＝14，所以X～B4即X的可能取值為0，1，2，3，4，所以P(X＝0)＝C4P(X＝1)＝C4P(X＝2)＝C4P(X＝3)＝C4P(X＝4)＝C4所以隨機(jī)變量X的分布列為X01234P81272731所以EX＝4×142．(2024·浙江杭州二模)杭州是國(guó)家歷史文化名城，為了給來(lái)杭州的客人提供最好的旅游服務(wù)，某景點(diǎn)推出了預(yù)訂優(yōu)惠活動(dòng)，下表是該景點(diǎn)在某App平臺(tái)10天預(yù)訂票銷(xiāo)售情況：日期t12345678910銷(xiāo)售量y(萬(wàn)張)1.931.951.971.982.012.022.022.052.070.5經(jīng)計(jì)算可得：y＝110(1)因?yàn)樵摼包c(diǎn)今年預(yù)訂票購(gòu)買(mǎi)火爆程度遠(yuǎn)超預(yù)期，該App平臺(tái)在第10天時(shí)系統(tǒng)異常，現(xiàn)剔除第10天數(shù)據(jù)，求y關(guān)于t的線(xiàn)性回歸方程(結(jié)果中的數(shù)值用分?jǐn)?shù)表示)；(2)該景點(diǎn)推出團(tuán)體票，每份團(tuán)體票包含四張門(mén)票，其中X張為有獎(jiǎng)門(mén)票(可憑票兌換景點(diǎn)紀(jì)念品)，X的分布列如下：X234P111今從某份團(tuán)體票中隨機(jī)抽取2張，恰有1張為有獎(jiǎng)門(mén)票，求該份團(tuán)體票中共有3張有獎(jiǎng)門(mén)票的概率．附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回歸線(xiàn)v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：β＝i＝1nuivi?nu解：(1)設(shè)y關(guān)于t的線(xiàn)性回歸方程為y＝α＋βt，則t＝1+2+…i＝19所以β＝i＝19tiyi?9t所以y關(guān)于t的線(xiàn)性回歸方程是y＝2312+(2)記“從某份團(tuán)體票中隨機(jī)抽取2張，恰有1張為有獎(jiǎng)門(mén)票”為事件A，“該份團(tuán)體票中共有i張有獎(jiǎng)門(mén)票”為事件Bi，則P(B3)＝13，P所以P(AB3)＝P(B3)P(A|B3)＝16又P(A|B2)＝C2所以P(A)＝P(AB2)＋P(AB3)＋P(AB4)＝P(B2)P(A|B2)＋P(AB3)＋P(B4)P(A|B4)＝12所以P(B3|A)＝PA則所求概率是133．(2024·南京模擬)漁船海上外出作業(yè)受天氣限制，尤其浪高對(duì)漁船安全影響最大，二月份是某海域風(fēng)浪最平靜的月份，浪高一般不超過(guò)3m．某研究小組從前些年二月份各天的浪高數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽取50天數(shù)據(jù)作為樣本，制成頻率分布直方圖(如圖)．根據(jù)海浪高度將海浪劃分為如下等級(jí)：浪高(cm)(0，50)[50，100)[100，200)[200，300]海浪等級(jí)微浪小浪中浪大浪海事管理部門(mén)規(guī)定：海浪等級(jí)在“大浪”及以上禁止?jié)O船出海作業(yè)．(1)某漁船出海作業(yè)除受浪高限制外，還受其他因素影響，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)可知，“微浪”情況下出海作業(yè)的概率為0.9，“小浪”情況下出海作業(yè)的概率為0.8，“中浪”情況下出海作業(yè)的概率為0.6，請(qǐng)根據(jù)上面頻率分布直方圖，估計(jì)二月份的某天各種海浪等級(jí)出現(xiàn)的概率，并求該漁船在這天出海作業(yè)的概率；(2)氣象預(yù)報(bào)預(yù)計(jì)未來(lái)三天內(nèi)會(huì)持續(xù)“中浪”或“大浪”，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)可知，若某天是“大浪”，則第二天是“大浪”的概率為12，“中浪”的概率為12；若某天是“中浪”，則第二天是“大浪”的概率為13，“中浪”的概率為23.現(xiàn)已知某天為“中浪”，記該天的后三天出現(xiàn)“大浪”的天數(shù)為解：(1)記這天浪級(jí)是“微浪”為事件A1，浪級(jí)是“小浪”為事件A2，浪級(jí)是“中浪”為事件A3，浪級(jí)是“大浪”為事件A4，該漁船當(dāng)天出海作業(yè)為事件B，則由題意可知，P(A1)＝50×0.004＝0.2，P(A2)＝50×0.006＝0.3，P(A3)＝50×0.004＋50×0.002＝0.3，P(A4)＝50×0.002＋50×0.002＝0.2，∴P(B)＝P(BA1)＋P(BA2)＋P(BA3)＝P(B|A1)P(A1)＋P(B|A2)P(A2)＋P(B|A3)P(A3)＝0.9×0.2＋0.8×0.3＋0.6×0.3＝0.18＋0.24＋0.18＝0.6.(2)依題意可知，X的所有可能取值為0，1，2，3，∴P(X＝0)＝23P(X＝1)＝13P(X＝2)＝13P(X＝3)＝13則X的分布列為X0123P81011數(shù)學(xué)期望EX＝0×8274．(2024·葫蘆島模擬)某地相繼爆發(fā)了甲型H1N1流感病毒(甲流)和諾如病毒感染潮，為了了解感染病毒類(lèi)型與年齡的關(guān)系，某市疾控中心隨機(jī)抽取了部分感染者進(jìn)行調(diào)查．據(jù)統(tǒng)計(jì)，甲流患者數(shù)是諾如病毒感染者人數(shù)的2倍，在諾如病毒感染者中60歲以上患者占23(1)若根據(jù)小概率值α＝0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能認(rèn)為“感染病毒的類(lèi)型與年齡有關(guān)”，則抽取的諾如病毒感染者至少有多少人？(2)研究發(fā)現(xiàn)，針對(duì)以上兩種病毒比較有效的藥物是奧司他韋和抗病毒口服液，并且發(fā)現(xiàn)奧司他韋治療以上兩種病毒有效的概率是抗病毒口服液的2倍．現(xiàn)對(duì)兩種藥物進(jìn)行臨床試驗(yàn)，對(duì)抗病毒口服液共進(jìn)行兩輪試驗(yàn)，每輪試驗(yàn)中若連續(xù)2次有效或試驗(yàn)3次時(shí)，本輪試驗(yàn)結(jié)束；對(duì)奧司他韋先進(jìn)行3次試驗(yàn)，若至少2次有效，則試驗(yàn)結(jié)束，否則再進(jìn)行3次試驗(yàn)后方可結(jié)束，假定兩種藥物每次試驗(yàn)是否有效均相互獨(dú)立，且兩種藥物的每次試驗(yàn)費(fèi)用相同．請(qǐng)結(jié)合以上針對(duì)兩種藥物的臨床試驗(yàn)方案，估計(jì)哪種藥物的試驗(yàn)費(fèi)用較低？附：χ2＝nad?bc2a+ba+cc+db+d(其中n＝a＋α0.100.050.0100.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828解：(1)設(shè)感染諾如病毒的患者為x人，則感染甲流的患者為2x人，感染兩種病毒的60歲以上的患者人數(shù)均為23x由題意必有χ2≥7.879，即3x23x·13x?2(2)設(shè)抗病毒口服液治療有效的概率為p，每次試驗(yàn)花費(fèi)為m，則奧司他韋治療有效的概率為2p<1，故0<p<12設(shè)抗病毒口服液試驗(yàn)總花費(fèi)為X，X的所有可能取值為4m，5m，6m，P(X＝4m)＝p4，P(X＝5m)＝2(p2－p4)，P(X＝6m)＝(1－p2)2，故EX＝4mp4＋10m(p2－p4)＋6m(p4－2p2＋1)＝－2mp