3 26 第5講二次方程(組) 第6講從反比例函數(shù)到分式函數(shù) 63第7講函數(shù)的增減性與最值 第9講函數(shù)與不等式 第10講恒成立與能成立問題 高一開學(xué)摸底考試1 高一開學(xué)摸底考試2 附錄一高中數(shù)學(xué)課程介紹 附錄二數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)解讀 第一部分基礎(chǔ)篇第①絕對(duì)值3你與絕對(duì)值相識(shí)于七年級(jí)，中學(xué)六年它與你如影隨形.在初中階段，我們借助數(shù)軸定義了絕對(duì)值，并會(huì)求有理數(shù)的絕對(duì)值(絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)不含字母).高中不再專門學(xué)習(xí)絕對(duì)值問題，但由于絕對(duì)值具有表示距離及非負(fù)性等特性，再加上絕對(duì)值概念簡單，可移植性強(qiáng)，與其他知識(shí)結(jié)合能較全面地考查基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)，因此，仍會(huì)在不同模塊中出現(xiàn).本講，我們將深入研究學(xué)習(xí)含絕對(duì)值的方程、不等式、函數(shù).我們利用絕對(duì)值的幾何意義來分析代數(shù)問題，采用“零點(diǎn)分段法”對(duì)含多個(gè)絕對(duì)值的式子進(jìn)行討論，體會(huì)“數(shù)形結(jié)合”和“分類”思想.在數(shù)軸上，一個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做該數(shù)的絕對(duì)值.絕對(duì)值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，0的絕對(duì)值是0,即絕對(duì)值的幾何意義：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，是數(shù)軸上表示它的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.(?表示左邊可以推出右邊，右邊也可以推出左邊)(1)|a|>|b|?a2>b2.要注意很多錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)，如a>bea2>b2.(2)三角不等式：|a+b|≤|al+|b|,當(dāng)且僅當(dāng)a,b同號(hào)或其中一個(gè)為0時(shí)取等號(hào).該不等式包含了兩層意思：①la+b|=|a|+|b|?a,b同號(hào)，或至少一個(gè)為0;②|a+b|<la|+|bl?a,b異號(hào).在數(shù)軸上，如何求兩個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離?顯然“大數(shù)”減去“小數(shù)”即可，如5-(-1)表示5與-1對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離，(-1)-(-3)表示-1與-3對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離.在數(shù)軸上，如何求實(shí)數(shù)a,b對(duì)應(yīng)點(diǎn)A,B之間的距離AB?由于兩個(gè)數(shù)的大小關(guān)系不明確，我們需要另一方面，對(duì)于|a-b|,我們可以分情況討論去掉絕對(duì)值符號(hào)：可見，la-b|與AB的值總相等，由此可知，(-1)|,表示數(shù)軸上x與-1對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離；又例如|x+1|+|x-3|表示數(shù)軸上x到-1和3的對(duì)應(yīng)點(diǎn)距離之和.在數(shù)軸上A,B兩點(diǎn)分別表示數(shù)a,b,那么線段AB的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是多少，為什么?不妨設(shè)a<b,中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是x,則必有a<x<b,因此x到a和b的對(duì)應(yīng)點(diǎn)距離相等，所以有xb-x,解得當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)：(1)A,B,P三點(diǎn)在數(shù)軸上，分別表4:1,那么4:1,那么去掉絕對(duì)值符號(hào)最基本的方法是分類討論，這是由絕對(duì)值的代數(shù)意義決定的.化簡|x+1|的思路5如果代數(shù)式含兩個(gè)絕對(duì)值符號(hào)，又該如何處理呢?例如，化簡|x+1|-|x-3|,我們自然要同時(shí)x的范圍無很明顯，只要找到-1和3,這三種情況的劃分也就實(shí)現(xiàn)了.而“分界點(diǎn)”-1和3就是方程x+1=0和x-3=0的根.數(shù)軸上標(biāo)出x=-0.5和3,將數(shù)軸分成三段，對(duì)x分三種情況進(jìn)行討論.解當(dāng)x≥3時(shí)，原式=(2x+1)-(x-3)=x+4;時(shí)，原式=(2x+1)+(x-3)=3x-2;解方程|x-2|=1,由絕對(duì)值的定義知，絕對(duì)值為1的數(shù)是±1,所以x-2=±1.解得x=1或x=3.在這里，將x-2視為整體(體現(xiàn)了整體思想).當(dāng)x≥2時(shí)，x-2=1,解得x=3,符合條件；當(dāng)x<2時(shí)，2-x=1,解得x=1,符合條件.綜上，x=1,或x=3.所以x=1,或x=3.當(dāng)時(shí)，方程可化為-(2x-3)+(x+1)=5,即-x+4=5,解得x=-1,舍去；當(dāng)x≤-1時(shí)，方程可化為-(2x-3)-(x+1)=5,即-3x+2=5,解得x=-1,符合條件.當(dāng)分類條件是必須檢驗(yàn)的.比如例2,時(shí)，解得x=-1,不符合分類條件，所以要舍去(-1當(dāng)在另一類下符合條件，最終還是留下了).不同的類相當(dāng)于不同的練解得或x=0.當(dāng)x≥0時(shí)，不等式可化為x<1,所以0≤x<1.當(dāng)x<0時(shí)，不等式可化為-x<1,即x>-1,所以-1<x<0.當(dāng)x<0時(shí)，不等式可化為-x>1,即x<-1,不等式|x|<1表示數(shù)軸上x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離小于1,所以解集為-1<x<1;不等式|x|>1表示數(shù)軸上x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離大于1,所以解集為x>1或x<-1.解不等式|x-2|<1,|x-2|>1,也可以利用幾何意義：|x-2|<1表示數(shù)軸上x與2對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間距離小于1,所以解集為1<x<3;|x-2|>1表示數(shù)軸上x與2對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間距離小于1,所以解集為x>3或x<1.第①絕對(duì)值7【例3】解關(guān)于x的不等式：|x-ml<1,要求用多種方法.分析用代數(shù)或幾何方法.代數(shù)方法是按絕對(duì)值內(nèi)的數(shù)的正負(fù)討論去掉絕對(duì)值；幾何方法是利用|a-b|的幾何意義.當(dāng)然，也可以將x-m視為一個(gè)整體.解法一：若x≥m,則不等式可化為x-m<1.解得x<m+1.若x<m,則不等式可化為-(x-m)<1.解得x>m-1.綜上所述，原不等式的解集為m-1<x<m+1.法二：|x-m|表示數(shù)軸上實(shí)數(shù)x與m對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離，如圖，在數(shù)軸上，實(shí)數(shù)m+1和m-1的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到m的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離都是1,而不等式|x-m|<1表示實(shí)數(shù)x與m的對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離小于1.∴原不等式的解集為m-1<x<m+1.法三：將x-m視為一個(gè)數(shù)，先得到這個(gè)數(shù)的范圍.對(duì)于法一，還要推薦一個(gè)好的書寫格式，將分類討論寫成不等式組的形式，例3轉(zhuǎn)化如下：或一般地，如果a>0,那么從絕對(duì)值的幾何意義看到，|x|<a表示數(shù)軸上到原點(diǎn)的距離小于a的點(diǎn)的集合，|x|>a表示數(shù)軸上到原點(diǎn)的距離大于a的點(diǎn)的集合，因而如果a=0或a<0,那么不等式|x|<a,Ix|>a的解集又是怎樣的?這里不再展開，請同學(xué)們自行研究(見下面的【拓展研究】).拓展研究一般地，簡單的含絕對(duì)值的不等式的解的情況可以列成下表：以上是解其他絕對(duì)值不等式的基礎(chǔ)，即其他絕對(duì)值不等式的解一般可以通過轉(zhuǎn)化為上述不等式而得到.例如，對(duì)于不等式|x-x?I<a,|x-x?I>a,不一定用x與x?對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離來解決，而是將x-x?視為一個(gè)數(shù)(整體思想),所以有x?-a0x?-a0去掉絕對(duì)值的方法并非只有討論，還可以利用等價(jià)命題“|a|>|b|?a2>b2”,所以例3還可以采|x-m|<1?|x-ml2<1?(x-m)2-1<0?[x-(m+1)][x-(m-1)]<0?m-1<練提示為簡化過程，建議將每種情況寫成不等式組的形式轉(zhuǎn)化為或是-1<x<1,它們是同解不等式.又例如，2x+3>1與1-2x<3是同解不等式，有些情況比較復(fù)雜，不等式(前者x不可取0,后者可以取0).(2)不等式“f|(x)|>g(x)”與“f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)”不等式|x|<-x2-1無解無解，原因是x2+1<-x2-1一定無解.所以不等式|x|<-x2-1與x2+1<x<-x2-1同解.If(x)|<g(x)?-g(x)<f(xlf(x)|>g(x)?f(x)>g(x)【例4】解不等式：5-x>7|x+1|.練【例5】(1)不等式組恰好有三個(gè)正整數(shù)解(2)不等式組的所有解都滿足不等式|x+1|<|x+a|(a<1),求a的取值范圍.分析先將不等式(組)等價(jià)轉(zhuǎn)化為最簡形式，再將解在數(shù)軸上表示出來.由于解與字母a有關(guān)，所以解(1)原不等式組等價(jià)于在數(shù)軸上標(biāo)出來，如圖∵不等式組恰好有三個(gè)正整數(shù)解，∴它們是3,4,5.不等式|x+1|<|x+a|等價(jià)于(x+1)2<(x+a)2,化簡得2(1-a)x<a2-1.∵①的所有解都滿足②,如圖，點(diǎn)評(píng)本題研究了含字母的不等式，既要理解不等式的解的含義，又要用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)分析問題.對(duì)問題題4回顧例5第(1)問的解答過程，a為什么不能取6?接起來，還可以看作是把y=2x-3的圖象位于x軸下方的部分翻折上【例6】(1)將函數(shù)y=|x-2|+|x+1|寫成分段函數(shù)的形(2)|x-2|,|x+1|分別表示數(shù)軸上x與2,x與-1對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離，請你在數(shù)軸上滑動(dòng)表示x分析畫函數(shù)圖象的一般步驟是列表、描點(diǎn)、連線.寫成分段函數(shù)形式可理清各部分的函數(shù)類型，預(yù)知圖象形狀.列表一→描點(diǎn)一→連線yyxxx23y5335(2)y表示數(shù)軸上x與2,-1對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離之和.練(1)y=|2x-3|+|x+1|;(2)y=2|x|-3;(3)y=x|2-x|.練習(xí)4補(bǔ)充問題：畫出函數(shù)y=x|a-x|(a為常數(shù))的圖象.(1)若0≤x≤1時(shí)，圖象是上升的(y隨x的增大而增大),求a的范圍.(2)若-1≤x≤0時(shí)，圖象是上升的，求a的范圍.問題5思考下列兩個(gè)問題，并總結(jié)一般規(guī)律.(1)觀察函數(shù)y=|2x-3|的圖象，你認(rèn)為它與y=2x-3的圖象有何關(guān)系?(2)觀察函數(shù)y=2|x|-3的圖象，你認(rèn)為它與y=2x-3的圖象有何關(guān)系?y=f(x)就是y=2x-3;y=|f(x)|就是y=|2x-3|;y=f(|x|),就是y=2|x|-3.可見，函數(shù)y=|f(x)|和y=f(|x|)的解析總結(jié)函數(shù)y=|f(x)I,y=f(|x1)均與y=保留函數(shù)y=f(x)的圖象在x軸上方的部分，再把x軸下方的部分沿x軸往上翻折，即可得到(2)y=f(|x|)的函數(shù)可化為保留函數(shù)y=f(x)的圖象在y軸右側(cè)的部分，去掉y=f(|x|)的圖象.如果不要求用列表、描點(diǎn)、連線的步驟畫函數(shù)的圖象，就可以通過以上的快捷方式(圖象變換)來練(1)y=|4x-x2|;(2)y=4|x|-|xl2;(3)y=|x-2|-1|.拓展研究幾個(gè)特殊的帶絕對(duì)值符號(hào)的函數(shù)(1)函數(shù)y=|ax+b|(a≠0)的圖象如圖1,成“V”字形，對(duì)稱軸是直線(2)函數(shù)y=|ax+b|+|cx+d|的圖象如圖2.特別地，當(dāng)a=c時(shí)，中間為“平底”,如圖3.(3)函數(shù)y=|ax+b|-|cx+d|的圖象如圖4,5.特別地，當(dāng)a=c時(shí)，兩邊水平(呈“Z”字形),如注意，所有轉(zhuǎn)折點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是關(guān)于x的方程ax+b=0或cx+d=0一、選擇題1.a,b為任何實(shí)數(shù)，下面四個(gè)命題正確的是().2.設(shè)T=|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|,如果x可取任意實(shí)數(shù)值，那么T最小的值是().A.1B.23.關(guān)于x的方程x2-2019a|x|-2020=0(a為常數(shù))的解的個(gè)數(shù)是().A.1B.2C.4.若關(guān)于x的不等式|x-4|+|3-x|<aA.a<1B.a≤1C.0<a<A.x≤1或x≥3二、填空題6.如果關(guān)于x的方程|a|x=|a+1|-x的解是1,那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是9.不等式p:|x-1|>1-x,是常數(shù)),如果p的解都滿足q,那么a的取值范圍是10.不等式p:|x+3|>|x+1|,不等式q:/1-x<2,如果實(shí)數(shù)x。至少滿足其中一個(gè)不等式，那么(1)|2x+1|-|x-3|+|x-6|=6;(3)|2x+1|-|x-4|>2;(4)12.設(shè)函數(shù)f(x)=|2x+1|-|x-4|.代數(shù)式的恒等變形是中學(xué)數(shù)學(xué)中極其常見的運(yùn)算，高中生計(jì)算能力弱，符號(hào)(字母)運(yùn)算錯(cuò)誤率高，究其原因，在于初中階段對(duì)整式、分式、根式性質(zhì)不熟，訓(xùn)練強(qiáng)度不夠.在初中階段，我們已經(jīng)了解整式的概念，會(huì)進(jìn)行簡單的整式加、減運(yùn)算，乘法運(yùn)算(其中多項(xiàng)式相乘僅指一次式之間以及一次式與二次式相乘);會(huì)利用平方差公式、完全平方公式進(jìn)行簡單計(jì)算；會(huì)用提公因式法、公式法(直接用公式不超過二次)進(jìn)行因式分解(指數(shù)是正整數(shù)).根據(jù)高中學(xué)習(xí)的需要，我們將在本節(jié)學(xué)習(xí)一些新的乘法公式、因式分解的新方法，對(duì)要分解的因式也不限于二次多項(xiàng)式.希望你們對(duì)配方法與待定系數(shù)法有一定的認(rèn)識(shí).而對(duì)整式的恒等變形，應(yīng)注意加強(qiáng)高次多項(xiàng)式運(yùn)算的練習(xí).,數(shù)與字母的積的代數(shù)式叫單項(xiàng)式，單獨(dú)一個(gè)字母或數(shù)也是單項(xiàng)式.如-5x3y?,項(xiàng)式.幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式.如4x2-5x+7,不是多項(xiàng)式.,單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱整式.2.整數(shù)指數(shù)冪正整數(shù)指數(shù)冪：2為正整數(shù)).0整數(shù)指數(shù)冪：a?=1(a≠0).負(fù)整數(shù)指數(shù)冪：n為正整數(shù)).整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：(1)a"·a"=a"+";(2)a"÷a"=a"=";(3)(ab)"=a"·b";(4)(5)(a")"=a””.(以上a,b都不為3.乘法公式(1)平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2;但不是單是互逆的.(1)十字相乘法；(2)分組分解法；(3)添項(xiàng)與拆項(xiàng)；(4)因式定理法；(5)待定系數(shù)法.無特別說明，一般只要求在有理數(shù)范圍內(nèi)分解到不能再分解為止.例如，x?-4在實(shí)數(shù)的范圍分解的一次式ax+by(a,b為常數(shù)),由于每項(xiàng)均為一次，我們稱之為一次齊次式，如3x-5y.二次式ax2+bxy+cy2(a,b,c為常數(shù)),由于每項(xiàng)均對(duì)于多項(xiàng)式3x2-5xy+4y2,一般將x,y默認(rèn)為字母，所以它是二次齊次式.但高中經(jīng)常將部分字母視為常數(shù)，如果將y視為常數(shù)，那么它的結(jié)構(gòu)是3x2-(5y)x+(4y2),這時(shí)把它看作關(guān)于x的二次式，但不是齊次式；如果將x視為常數(shù)，那么它的結(jié)構(gòu)是4y2-(5x)y+(3x2),這時(shí)把它看作關(guān)于y的二次式.一方面，要善于根據(jù)結(jié)構(gòu)選擇合適的公式運(yùn)算.比如，看到(a+2b)(a2-2ab+4b2)就聯(lián)想到立方和公式，于是(a+2b)[a2-a·2b+(2b)2]=a3+(2b)3=a3+8b3,這大大提高了運(yùn)算速度.另一方面，還又例如，將a3+b3用a+b與ab表示：a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)=(a+b)第②訓(xùn)整式(2)已知x=2,求(x+1)(x2-x+1)(x?-x3+1)(x?-1)-21?的值.分析直接展開化簡顯然太麻煩，觀察能否用乘法公式解決.第(1)問中x2-xy+y2與x+y相乘就是立方和公式；同樣，第(2)問中x2-x+1與x+1搭配得到x3+1,再順勢與x?-x3+1結(jié)合.解(1)原式=[(x+y)(x2-xy+y2)]2(2)原式=(x3+1)(x?-x3+1)(x?-1)-218=x1?-1-218.∴原式=-1.練提示在含θ的直角三角形中，設(shè)θ的對(duì)邊為a,鄰邊為b,直角三角形斜邊為c,那么練(1)已知10"=a,10"=b,求103m+2的值.(2)已知22m+”"=a,8"-3=b,求2"+I的值.(這兩題結(jié)果均用a,b表示)二次三項(xiàng)式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解，在b2-4ac≥0時(shí)，總有辦法解決：ax2+bx+c=a(x-x?)(x-x?),其中x?,x?是方程ax2+bx+c=0的兩根.但如果只是機(jī)械地用這一種方法就過于單調(diào)，甚至把簡單問題復(fù)雜法.這里，我將介紹十字相乘法(也稱觀察法).我們先研究x2+px+q的二次三項(xiàng)式(即二次項(xiàng)系數(shù)為1的情況).假設(shè)x2+px+q=(x+r)(x+s),即x2+px+q=x2+(r+s)x+rs.由多項(xiàng)式恒等，知只要找到兩個(gè)數(shù)r,s同時(shí)滿足r+s=p,rs=q,x2+px+q即可分解為(x+r)(x+s).(1)x2-5x+6;(2)x2-x-12;(3)x2-2a分析第(1)問把6分成兩個(gè)數(shù)的積，可以是1×6,(-1)×(-6),2×3,(-2)×(-3)這四組，經(jīng)過嘗試只有6分解為(-2)(-3)時(shí)，(-2)+(-3)=-5.第(2)問用同樣的方法試試.第(3)問把a(bǔ)2-1分解為(a+1)×(a-1),[-(a+1)][-(a-1)]等等，發(fā)現(xiàn)[-(a+1)]+[-(a-1)]=-2a.解(1)原式=(x-2)(x-3).(2)原式=x2-x-12=(x+3)(x-4).(3)原式=[x-(a+1)][x-(a-1)].點(diǎn)評(píng)嘗試過程可在草稿上進(jìn)行，不需要寫入解答過程.練習(xí)3用例2的方法分解因式：練習(xí)3的(4)(5)(6)問都含有兩個(gè)字母，但可視為關(guān)于x的二次三項(xiàng)式(y為常數(shù)),例如第(6)問的常數(shù)項(xiàng)為-y-y2分解為(-y-1)y,驗(yàn)算有(-y-1)+y=-1,所以x2-x-y-y2=(x-y-1)(x+y).現(xiàn)在研究ax2+bx+c(a≠0)的分解方法.假設(shè)ax2+bx+c=(mx+r)(nx+s),即ax2+bx+c=mn2+(ms+nr)x+rs,由多項(xiàng)式恒等，知只要找到四個(gè)數(shù)m,n,r,s同時(shí)滿足mn=a,ms+nr=b,rs=c即可，如下圖：m要找這四個(gè)數(shù)m,n,r,s,可以這樣去做，先找a的因數(shù)m,n,使mn=a;再找c的因數(shù)r,s,使rs=c;最后再試驗(yàn)ms+nr是否等于b.如果ms+nr=b,那么ax2+bx+c=(mx+r)(nx+s);如果ms+nr≠b,那么就要重新試驗(yàn)，直到符合要求為止.【例3】分解因式：(1)3x2-7x+2;(2)7x2-19x-6.分析第(1)問，將3分解為1×3寫在左列，將2分解為(-1)×(-2)寫在右列，交叉相乘、相加，得到-5,不合適.再將2分解為(-2)×(-1),交叉相乘、相加，得到-7,合適.解(1)3x2-7x+2=(x-2)(3x-1).(2)7x2-19x-6=(7x+2)(x-3).(合適)回頭看，對(duì)于例2的幾個(gè)整式，也可以列出“十字”模型解決.將二次項(xiàng)系數(shù)“1”分解成1×1即可.【例4】用十字相乘法分解因式：(1)6x2-12y2-xy;(2)x2+98y2-21xy+x-7y;(3)x2-3xy-10y2+x+9y-2.分析以上都含有兩個(gè)字母，如果將原式按x的降冪排列，可視為關(guān)于x的二次三項(xiàng)式，如6x2-12y2-xy可化為6x2-yx-12y2,將y視為常數(shù)，再用十字相乘法分解因式：先將6和-12y2分解，你試試.解(1)原式=6x2-yx-12y2=(2x-3y)(3x+4y).(2)法一：原式=x2+(1-21y)x+7y(14y-1)=(x-7y)(x-14y+1);法二：原式=(x-7y)(x-14y)+x-7y=(x-7y)(x-14y+1).(3)x2-(3y-1)x-10y2+9y-2=x2-(3y-1)x+(-5=(x-5y+2)(x+2y-1).點(diǎn)評(píng)在二元二次多項(xiàng)式中，欲用十字相乘法分解因式，需經(jīng)過兩個(gè)步驟：(1)固定一個(gè)字母為主要字母(俗稱“主元法”),把原式看成關(guān)于這個(gè)字母的多項(xiàng)式，另一字母看成常數(shù)；(2)按這個(gè)主要字母將多項(xiàng)式降冪排列，再用十字相乘法分解因式.練習(xí)4用十字相乘法分解因式：(4)6x2-x-12;(5)(a-b(7)5x2+6xy-8y2;(10)2x2+xy-y2-4x+5y-6.2.2分組分解法整式乘法有(a+b)(m+n)=a(m+n)+b(m+n)=am+an+bm+bn,反過來，自然就有了分解因式的方法：這種把多項(xiàng)式分成幾組來分解因式的方法叫分組分解法.如果把一個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)分組并提出公因式后，它們的另一個(gè)因式正好相同，那么這個(gè)多項(xiàng)式就可以用分組分解法來分解因式.【例5】分解因式：a2-ab+ac-bc.分析把這個(gè)多項(xiàng)式的四項(xiàng)按前兩項(xiàng)與后兩項(xiàng)分成兩組，分別提出公因式a與c后，另一個(gè)因式正好都是a-b,這樣就可以提出公因式a-b.=a(a-b)+c(a-b)(組內(nèi)提公因式)=(a-b)(a+c).(提公因式)點(diǎn)評(píng)還可以這樣：原式=(a2+ac)-(ab+bc)=a(a+c)-b(a+c)=(a+c方法可能不唯一，但因式分解的結(jié)果是一樣的.練(1)2ax-10ay+5by-bx;(2)ax+2by+cx-2ay-bx-2cy;(3)x2-x2y+練習(xí)6已知函數(shù)y=x3-3x2+3x的圖象經(jīng)過(x?,y?)與(x?,y?)兩點(diǎn)，且x?<x?,求證：a2-b2=a2-ab+ab-b2=(a-b)(a+b)x2+2x-3=(x2-x)+(3x-3)=(x-1)(x+3)就是拆項(xiàng)，將原式中2x拆為-x+3x.拆二次項(xiàng)：原式=(x3+x2)+(x2-5x-6)=x2(x+1)+(x+1)(x-6)=(x+1)(x2+x-6)=(x+1)(x-2)(x+3).拆一次項(xiàng)：原式=(x3+2x2-8x)+(3x-6)=x(x2+2x-8)+3(x-2)=x(x-2)(x+4)+3(x-2)=(x-2)(x2+4x+3)=(x+1)(x-2)(x+3).拆常數(shù)項(xiàng)：原式=(x3+1)+(2x2-5x-7)=(x+1)(x2-x+1)+(x+1)(2x-7)=(x+1)(x2+x-6)=(x+1)(x-2)(x+3).拆二次項(xiàng)與一次項(xiàng)：原式=(x3+x2)+(x2+x)-(6x+6)=x2(x+1)+x(x+1)-6(x+1)=(x+1)(x2+x-6)=(x+1)(x-2)(x+3).a3-b3=(a3-a2b)+(a2b-ab2)從上面想到，對(duì)a?-b?,a?-b?,…,均可以用添項(xiàng)的方法分解因式.所以有a"-b”=(a-b)(a"?1+a"-2b+…+ab"-2+b"-1),n為正整數(shù).a"-(-b)"=(a+b)[a"?1+a"-2(-b)+…+a(-b如果n是奇數(shù)，那么a"+b"=(a+b)(a"-1-a"-2b+…-ab"?2+b"?1),n為奇數(shù).練(1)x?+x2y2+y?;(2)x?-11x2+1;(3)a?-b?(n為正整數(shù)).因式定理：如果當(dāng)x=a時(shí)多項(xiàng)式f(x)的值為零，即f(a)=0,那么多項(xiàng)式f(x)必定含有因式x-a.第②訓(xùn)整式例如，多項(xiàng)式f(x)=x3+2x-3滿足x=1時(shí)值為零，即f(1)=0,那么f(x)=x3+2x-3必定含有因式x-1,這就指明了添項(xiàng)的方向：x3+2x-3=(x3-x2)+(x2-x)+3(x-1),于是可以利用分組分解法來分解因式了.【例6】分解因式：x3-2x+1.分析先觀察f(x)=x3-2x+1,發(fā)現(xiàn)f(1)=0,或者說方程x3-2x+1=0有解x=1,這表明原式含有因式x-1.=(x-1)(x2+x-1).點(diǎn)評(píng)方法不唯一，還可以將原式寫為x3-1-2x+2,后略.(1)x3+2x-3;(2)x3-問題1如果x3+ax2+bx+8有兩個(gè)因式x+1,x+2,那么a,b+8=0.解得a=7,b=14.將右式展開，對(duì)比兩邊的系數(shù).分解成兩個(gè)二元一次因式的.還有其他方法嗎?如何判斷這樣的多項(xiàng)式能否分解?(1)2x2-3xy-2y2+3x+4y-2;(2)x2-y2+2x+y-1.分析觀察式項(xiàng)式(1)發(fā)現(xiàn)前三項(xiàng)是可以分解的，即2x2-3xy-2y2=(2x+y)(x-2y),因此猜想原式可分解為(2x+y+m)(x-2y+n)的形式.如果能求出m,n就可以分解因式，如果這樣的m,n不存在，解(1)∵2x2-3xy-2y2=(2x+y)(x-2y),∴設(shè)2x2-3xy-2y2+3x+4y-2=(2x+y+m)(x-2y+n),由①②,可得m=-1,n=2.代入③滿足.由①,②可解得將m,n的值代入③不成立，即同時(shí)滿足①,②,③的m,n不存在.(1)x2+2x+4=(x2+2x+1)+(2)x2+y2+2x+4y+40=(x+1)2+(y+2)2+35.配方法有什么用?我們來看一個(gè)問題：“對(duì)于任何實(shí)數(shù)a,b(a≠b),證明a2+ab+這里就用到了配方法.我們將多項(xiàng)式a2+ab+b2看成關(guān)于a的二次式(b相當(dāng)于常數(shù)),并將其配成【例8】(1)比較a2+b2+c2與ab+bc+ca的大小.(2)x,y可取任何實(shí)數(shù)，那么x2+4y2-4xy+2x-4y+3的最小值是多少?分析第(1)問作差法是比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的基本方法，它的一般步驟是作差→變形→定號(hào).第(2)解(1)a2+b2+c2-(ab+bc+ca)(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào))∴a2+b2+c2≥ab+bc+ca.(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào))(2)法一：∵原式=(x-2y)2+2(x-2y)+3=(x-2y+1)2+2,∴當(dāng)x-2y+1=0時(shí)，原式有最小值為2.法二：由x2+4y2-4xy=(x-2y)2,設(shè)x2+4y2-4xy+2x-可得m=1,n=2.(后略)點(diǎn)評(píng)作差法比較大小時(shí)，變形是關(guān)鍵，大多采用分解因式的辦法，將差式分解為多個(gè)因式的積，或練習(xí)9已知函數(shù)y=x3的圖象經(jīng)過(x?,y?)與(x?,y?)兩點(diǎn)，且x?<x?,求證：y?<0,等等.a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-ba2+b2+c2=(a+b+c)2-2…分析條件中a3+b3三次齊次式，目標(biāo)式中a+b是一次齊次式，將a+b≤2轉(zhuǎn)化為這證明法一：要證a+b≤2,只要證(a+b)3≤8,只要證(a+b)3≤4(a3+b3).4(a3+b3)-(a+b)3=3a3+3b3-3a2b-3ab2=3(a+b)(a-b若a+b<0,則a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2),其中綜上，4(a3+b3)-(a+b)3≥0,即(a+b)3≤4(a3+法二：由法一知必有a+b≥0(不再證明).(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b).(可用作差法證明),練習(xí)10(1)求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b均有(2)已知a>0,b>0,a3+b3=2,比較三個(gè)數(shù)(a+b)(a?+b),(a+b)2與4的大小.【例10】已知n,x,y為正整數(shù)，且x"+y"能被x+y整除，求證：x"+2+y"+2也能被x+y整除.解x"+2+y"+2=x2·x"+y2·y"=x2(x"+y”)+y"·(y+x)(y-x).∵x“+y”能被x+y整除，且(y+x)(y-x)A.6B.8C.102.若△ABC的三邊a,b,c滿足a2+2b2+c2-2b(a+c)=0,A.直角三角形B.等腰直角三角形3.方程x3-y3+x2y-xy2=32的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為().A.0B.1C.2D.不小于34.若a<b,x<y,且A=ax+by,B=A.A>BB.A=BC.A5.若正數(shù)a,b,c滿足a2=b2+c2,且a?-3a2b2-4b?=0,則的值為().(2)x2+x-(a2-a)=_(3)2x2+xy-y2-4x+5y-6=_;(4)x3+x-2=_第②訓(xùn)整式8.(1)比較大?。簒2+y2+1(2)已知a>0,b>0,且a≠b,比較大?。篴?+b?a3b2+a2b3.9.x,y可取任何實(shí)數(shù)，T=x2+4xy+5y2-2y+2,當(dāng)x=_,y=時(shí)，T有最小10.(1)定義新運(yùn)算：f(x)=x2+2x-1,那么f(x+1)=;(2)定義新運(yùn)算：f(x+1)=x2+4x+2,那么f(x)=_.(結(jié)果都要求化簡)11.(1)已知x,y,z為三個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，且滿足3x+2y+z=5,x+y-z=2,若s=2x+y-z,求s的最大值與最小值的和.(2)已知-1≤a+b≤3,2≤a-b≤4,令T=2a+3b,求T的最大值，并指出T取最大值時(shí)a,b的值.分析第(2)問，利用不等式性質(zhì)可,于是這樣得到T的最大值和最小值，這一做法對(duì)嗎?12.已知11*+2+122+1(n是某個(gè)正整數(shù))是133的倍數(shù)，求證：11*+3+12#+3也是133的倍數(shù).整式A除以整式B,可以表示成的形式.如果B中含有字母，那么稱為分式.分式的基本性質(zhì)：分式的分子和分母都乘以(或除以)同一個(gè)不等于零的整式，分式的值不變.用式(1)分式的乘除法分式乘方是把分子、分母各自乘方.用式子表示是”為整數(shù)).(2)分式的加減法①同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減最簡公分母；②解所得的整式方程；③驗(yàn)根：將所得的根代入最簡公分母，等于0就是增根，應(yīng)該舍去；第③訓(xùn)分式不等于0就是原方程的根.比例性質(zhì)對(duì)化簡有什么好處呢?現(xiàn)舉一例：【例1】已知a,b,c均為非零常數(shù)，且滿求p的值.解若a+b+c≠0,則由等比性質(zhì)，得化簡，得p=1.若a+b+c=0,則a+b=-c.從而點(diǎn)評(píng)使用等比性質(zhì)時(shí)務(wù)必要注意新產(chǎn)生的分母不能為0.練 ;(2)已知實(shí)數(shù)x,y,z滿,求x+y+z的值.(3)若a≠b,a≠0,b≠0,a+b≠0,提示：第(3)問，如果將x代入目標(biāo)式就太繁瑣了，仔細(xì)觀察目標(biāo)式，再調(diào)整已知條件中的比例式.這里主要談分式的幾種常見變形：齊次分式的變形、作差法比較大小、配方法求最值、分子的降次處理.形如a,b,c,d為常數(shù))的分式的分子、分母均為一次齊次式，我們稱之為一次齊次分式，比例函數(shù)的性質(zhì)知道，正數(shù)x趨近于無窮大時(shí)，趨近于0,于是作如下變形：第③訓(xùn)分式【例2】已知正數(shù)a,b,c滿足a2=b2+c2,1的取值范圍.分析有兩個(gè)元a與c,不太好求范圍，若化為,則只有,想到先求的范∵b2=a2-c2,∴a2≥3(a2-c2).整理，得3c2≥2a2.于是練(2)已知正數(shù)a,c滿足a2-ac-2c2=0,這兩個(gè)關(guān)系稱為同角三角函數(shù)的平方關(guān)系與商數(shù)關(guān)與3sin2θ-5cos2θ+sinθcos【例3】利用作差法證明.(1)已知a>b>0,求證：證明(1)練求證：已知x?>x?>-5,求證：倒數(shù)法則的本質(zhì)是反比例函數(shù)的性質(zhì).要比較與的大小，除了知道a,b是同號(hào)還是異號(hào)(由例3的證明過程也可以看出).到高中后，還有不少同學(xué)仍對(duì)這種問題含糊不清.(1)比較f(x?),f(x?)的大??；(2)求證：f(x)≥4,并說明何時(shí)取到等號(hào)(實(shí)際就是證明函數(shù)f(x)的最小值為4).【例4】用配方法求下列分式的最大(小)值.(2)已知x<0,求的最大值.分析配方法求最小值，比如二次函數(shù)y=x2+2x+3=(x+1)2+2,從而得到最小值為2.第③訓(xùn)分式(2)法一：法二：由(1)知，當(dāng)x>0時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào).當(dāng)x<0時(shí)，-x>0,當(dāng)且僅當(dāng)-x=1時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)x=-1時(shí)，最大值-2.例4告訴我們兩個(gè)重要結(jié)論：若x<0,則當(dāng)x=-1時(shí)，有最大值-2.一當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時(shí)取等號(hào).當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)∴函數(shù)y的最小值為23-4.現(xiàn)在換一個(gè)配法：最小值為215-9,表不同的配法，仿照以上做法，y的最小值為2/2a-1-a2,每種配法都會(huì)有一個(gè)最小值(與a有關(guān)),豈不荒唐?我們再驗(yàn)證取最小值的條件：x=a,且即只有當(dāng)a=我們知道，一個(gè)假分?jǐn)?shù)可以化為帶分?jǐn)?shù).例如很明顯，整數(shù)部分6就是25÷4的整商，而分?jǐn)?shù)部分的分子1則是25÷4的余數(shù).和分?jǐn)?shù)的情況類似，如果一個(gè)分式的分子次數(shù)高于或等(一個(gè)位置含x)原來有兩個(gè)位置含有x,現(xiàn)在只有一個(gè)位置含有x,解(1)法一(待定系數(shù)法):設(shè)函數(shù)可化為,即法二(配湊法):∵,(關(guān)鍵一步是湊分母)法三(換元法):令t=x+1,則x=t-1.當(dāng)x+1是1的約數(shù)，即x+1=±1時(shí)，y是整數(shù)，所以滿足條件的x有2個(gè).(2)法一(待定系數(shù)法),仿照(1),略法二(配湊法):注：還可以作如下變形法三(豎式除法):從上式可以看出：點(diǎn)評(píng)兩問分別化為都實(shí)現(xiàn)了分子的次數(shù)低于分母的次數(shù).這樣做是有用的，通過例5,我們知道函數(shù)是有聯(lián)系的.先將分式變形是常見思維，如練習(xí)3,在比車的大小時(shí)，也可以這樣：∵x?+5>x?+5>0,(此處“>0”不可省，接著用倒數(shù)法則)即練(1)分別把下列分式化成整式(或常數(shù))加上分式的形式：(2)將形式，有多少個(gè)整數(shù)x,使y也是整數(shù)?(3)用簡便方法計(jì)算：(分母可保留積的形式).練再欣賞一遍練習(xí)6第(2)問的思路：或或分析本題用不等式基本性質(zhì)2解決，將分類討論寫成不等式組的形式.解(1)不等式可化為或第③訓(xùn)分式解之得-2≤x<3,或無解.∴原不等式的解集為-2≤x<3.點(diǎn)評(píng)第(1)問最容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是是正確的，原因是有隱含條件x2+1>0,避免了討論.練練【例7】在正實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，只有一個(gè)數(shù)是關(guān)于x分析先化為整式方程，再列出符合題意的情形：(1)有兩個(gè)相等的實(shí)根，是正數(shù)但不是1.(2)有兩個(gè)不相等的實(shí)根：①兩個(gè)正根且其中一個(gè)是1;②一正一負(fù)兩根，且正根不是1;③一正一零兩根，且正根不是1.解原方程可化為2x2-3x-(k+3)=0,①當(dāng)△=8k+33=0時(shí)，,符合題意.當(dāng)△>0,即時(shí)，分以下三種情況.(1)當(dāng)方程①有兩個(gè)正實(shí)根時(shí)，必須有一根為1,另一根不為1.若x=1是方程①的根，則k=-4(說明只有k=-4才會(huì)產(chǎn)生x=1的根).由于k≠-4,正的實(shí)根不是1,符合題意.(3)當(dāng)方程①有一個(gè)根為0時(shí)，k=-3,此時(shí)另一個(gè)根為,符合題意.和和A.0B.1A.B.y≠0C.y≠2且y≠5D.5.若函數(shù)則其圖象的最高點(diǎn)的坐標(biāo)是().A.(1,3)B.D.不存在8.一個(gè)兩位數(shù)除以它的兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字和.若商為最小值，則這個(gè)兩位數(shù)是__;若商為最9.若函數(shù)滿足當(dāng)x=a時(shí)，y=a,則稱點(diǎn)(a,a)為函數(shù)圖象上的不動(dòng)點(diǎn).如果函數(shù)的圖象上有第③訓(xùn)分式11.解下列方程與不等式：12.作差法比較大?。?1)函數(shù)(x?,y?),(x?,y?)兩點(diǎn)，且0<x?<x?<1,試比較y?與y?的大??；13.由拋物線y=x2與直線x=1,y=0求它的近似值.圖1圖2必然是一個(gè)定值，為了求得它，先圖3步驟1:分割將線段OA分成n等份(n為大于2的正整數(shù)),得到n條長度相等的小線段，也可以這樣說，將區(qū)間[0,1]等分成n個(gè)小區(qū)間,…,所以過各個(gè)區(qū)間端點(diǎn)作x軸的垂線，從而得到n個(gè)小矩形，圖2、圖3展示的是第i個(gè)小矩形的畫法，所有矩形都是這樣得到.步驟2:用S,近似代替S第i個(gè)小矩形的面積S?=_這n個(gè)小矩形的面積之和為S?=_(結(jié)果只含n,可保留括號(hào)).這n個(gè)小矩形面積之和就是S的近似值.步驟3:取極限，推導(dǎo)S的值y=200步驟4:換個(gè)做法如圖，展示的是第i個(gè)小矩形另一種畫法，出S的值.第④排二次根式在初中，我們已經(jīng)了解了二次根式、最簡二次根式的概念，了解了二次根式(根號(hào)下僅限于數(shù))加、式.因此要更多地了解根式的運(yùn)算技巧，如平方去根號(hào)，將根式換元，利用乘法公式化簡，分子(母)有理化，等等.二次根式必須滿足：①含有二次根號(hào)“/”;②被開方數(shù)a必須是非負(fù)數(shù).(la)2=a(a≥0).簡二次根式.(1)若a≥0,則(/a)2=a.雖然初中不要求進(jìn)行根號(hào)下含字母的二次根式的四則運(yùn)算，如、/a3b,,但是在高中這些都(1)/24x;(2)/-12x?y(x<0);(3)、x3y掉絕對(duì)值符號(hào).第(3)題的被開方數(shù)是多項(xiàng)式，可以先分解因式，再化簡.(2)/-12x?y=|2x3I./-3y點(diǎn)評(píng)根式的運(yùn)算是今后指數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ).在根式中要注意對(duì)字母的正負(fù)進(jìn)行判斷.類項(xiàng)類似.aa練練第④排二次根式練習(xí)3求函數(shù)的值域.下列兩種思路至少一種是錯(cuò)的，請指出來，并寫出正確的解法.思路一：將函數(shù)變形為思路二：,先得y2的范圍，有或2.重二次根式如果二次根式的被開方數(shù)中含有二次根式，那么這樣的式子叫做重二次根式.如、/1+/2.有些重二次根式可以直接去掉最外面的根號(hào)，如、/4+2.3,根式中的2/3相當(dāng)于2ab(只需補(bǔ)上a2+b2),于是、/4+23=、/(3)2+2×13×1+1=、/(3+1)2=13+1.有些重二次根式需要先調(diào)整，如、/2+、3先化)于是【例2】化簡：分析這是形如、/A+2/B的二次根式的化簡問題.可考慮用配方法或待定系數(shù)法來解.解(1)法一(配方法):、11+2./18=、/9+2./18+2=、/(.9+、/2)2=3+.2.法二(待定系數(shù)法):設(shè)11+2/18=(x+y2(x>0,y>0),即11+2/18=(x+y)+2/xy,解得或(或者：∵0<x<1,,即點(diǎn)評(píng)對(duì)于化簡、A+2/B的兩種方法，配方法是要設(shè)法找到兩個(gè)正數(shù)x,y(x>y),使x+y=A,xy=方，再確定x,y的值.經(jīng)過計(jì)算，(1)的結(jié)果是4,(2)的結(jié)果是xy-ab,計(jì)算結(jié)果都不再含有根式.兩個(gè)含有根式的式子相乘，如果它們的乘積中不再含有根式，那么這兩個(gè)式子就叫做互為有理化因式.如2/2a+3b與2/2a-3、√b,/x-y與/x-y等都是互為有理化因式.【例3】化簡：練②②有根式，現(xiàn)在分子是2,是有理數(shù)，不帶根號(hào)，這就是實(shí)現(xiàn)了分子有理化.第④排二次根式【例4】比較大小：/2019-、/2017與/19-/17.解法一：(/2019-/2017)-(/19-/17)=(/2019+/17)-(/2017+/19),∵(/2019×/17)2-(/2017×/19)2=(2019練(1)、3+15和/2+、6;(2)/23-/21和/21-/19;(3)較法；求商比較法；倒數(shù)比較法；分子有理化法等等.這些變形在高中函數(shù)性質(zhì)的研究、不等式的證明、求導(dǎo)等方面將經(jīng)常用到.問題1(1)用不等號(hào)將3-/2,4-13,5-厙，6-√5按從小到大的順序連起來.(3)如果x-、/x2+1=y-、/y2+1,那么x=y嗎?為什么?(4)如果y=/x(/x+1-./x),那么當(dāng)正數(shù)x無限增大時(shí)，y會(huì)逼近于哪個(gè)常數(shù)?程.方程/2x+3x-5=0雖然帶有根號(hào)，但根號(hào)內(nèi)不含有未知數(shù)，所以它們不是根式方程.在根式方程里，由于未知數(shù)包含在根號(hào)內(nèi)，所以未知數(shù)只允許取使二次根式有意義的值.如/x-1=2中，未知數(shù)只允許在“x≥1”的范圍內(nèi)取值.【例5】解方程：分析用平方去掉根號(hào).如果方程中只有一個(gè)根式，那么可將根式留在方程的一邊，其他各項(xiàng)移到另解得x?=0,x?=3.∴原方程的根是x=3.兩邊平方，得2x-4=1+2/x+5+x+5,即x-10=2/x+5.兩邊再平方，得x2-20x+100=4(x解得x?=4,x?=20.∴原方程的根是x=20.(3)設(shè)、/2x2+3x+9=y,那么2x2+3x+9=y2,因此2x2+3x=y2-9,解得y?=-1,y?=6當(dāng)y=-1時(shí)，/2x2+3x+9=-1,無解.當(dāng)y=6時(shí)，/2x2+3x+9=6,兩邊平方，解得x?=3,∴原方程的根是x?=3,第④排二次根式解根式方程的思路：練(1)/x+7=x-5;(2)/x+10+/x-11=7.【例6】化簡方程、/(x+2)2+y2+/(x-2)2+分析兩邊直接平方，得到[(x+2)2+y2]+[(x-2)2+y2]+2/(x+2)2+y2·/(x-2)2+y2=64,少了一個(gè)根號(hào)，但如果繼續(xù)平方，根號(hào)無法消除，不妨先移項(xiàng)為2/(x+2)2+y2·/(x-2)2+y2=64-再兩邊平方，結(jié)果中不再含有根號(hào).但這一過程計(jì)算太繁，以致于不想再動(dòng)手.能不能一開始就將兩個(gè)根號(hào)分開放在等號(hào)的兩邊?解方程可化為、(x+2)2+y2=8-、/(x-2)2+y2,兩邊平方得(x+2)2+y2=64+(x-2)2+y2-16、/(x-2)2+y2,整理得16-2x=4、/(x-2)2+y2,兩邊平方得4x2-64x+256=16(x2+y2-4x+4),整理得3x2+4y2=48,點(diǎn)評(píng)結(jié)果化成3x2+4y2=48就可以了，到了高中我們會(huì)知道是橢圓方程.練習(xí)7化簡下列方程使其不含根號(hào)(3)/(x+c)2+y2+/(x-c)2+y2=2a,說明：第(3)問為了美觀，請化成的形式，方程中a2-c2用b2代替5.含根號(hào)的不等式問題2下列關(guān)于不等式“、F(x)≤g(x改正.f(x)≥0).由/f(x)≥g(x)也得不到f(x)≥[g(x)]2,不一定.解(1)不等式可化為(2)不等式可化為解集合起來是全體實(shí)數(shù)(在高中稱為兩個(gè)解集在實(shí)數(shù)集下互補(bǔ)).現(xiàn)在看來，兩個(gè)解集并不是在全體實(shí)數(shù)第④排二次根式練(1)/x2-1≥x-2;(2)(/x2-1<x-2.A.(/a+/b)2B.-(/a-/b)2C.(/-a+/-b)2A.C.-2x3.不等式/2-x≥x的解集是().A.-2≤x≤1B.x≤2C.x≤1A.145+7B.16√5+8C.185+9D.20√5+10A.1B.x6.(1)已知a,b是正實(shí)數(shù)且a≠b,比較大?。?.化簡：、/5+2.√6+/7-4.13-、/6-4./2=9.(1)已知a>|b|,化簡：(2)當(dāng)x=1-/2時(shí)，10.(1)方程-的解k=_;(2)方程2x2+x-5、/2x2+x=6的解x=_;走進(jìn)·初高中數(shù)學(xué)銜接教程(2)若p>0,p為何值時(shí)，方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根?并求出這個(gè)根.第④排二次根式13.(1)求證：2(k≥1).(2)設(shè)n為一自然數(shù)，,求n的值.14.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x,y).(1)點(diǎn)P到(1,1),(-1,-1)的距離之差為2,試寫出x,y滿足的等式.y是否是關(guān)于x的函數(shù)?(2)點(diǎn)P到(a,b),(-a,-b)的距離之差為m(a,b,m均為正的常數(shù)),寫出x,y滿足的等式.(3)在(2)中，當(dāng)y是x的反比例函數(shù)時(shí)(此時(shí)圖象為雙曲線),求證：雙曲線上任意一點(diǎn)P(x,y)到A(a,b),B(-a,-b)的距離之積等于P到原點(diǎn)O距離的平方.二次方程(組)先說兩句先說兩句知識(shí)梳理知識(shí)梳理一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)可用配方法變形為該方程根的情況可由(1)當(dāng)△>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：(2)當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)(3)當(dāng)△<0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根.反過來也成立.如果一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根為,那么如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個(gè)根是x?,x?,那么第⑤二次方程(組)1.韋達(dá)定理的綜合應(yīng)用韋達(dá)定理是初等代數(shù)的一個(gè)基本定理，它的好處是不需要解方程而直接求得兩根之和與積，也就是說，只要知道一元二次方程的系數(shù)，就可以得到根的和與積，這也是它被為“根與系數(shù)的關(guān)系”的原因.在高中學(xué)習(xí)圓錐曲線的過程中，韋達(dá)定理可以讓我們減少計(jì)算，提高效率.但要注意，韋達(dá)定理成立的前提是△≥0.練習(xí)1若x?,x?為方程2x2-4x+1=0的兩根，不解方程，求下列各式的值：題1韋達(dá)定理可以用來求關(guān)于兩根x?,x?的對(duì)稱式的值.那么非對(duì)稱式如何處理?在練習(xí)1中，不解方程，能否用韋達(dá)定理求(1);(2)的值[第(2)問設(shè)x?>x?]?以上兩個(gè)待求式都是非對(duì)稱式，我們可以“邀請”(構(gòu)造)一個(gè)與待求式相應(yīng)的代數(shù)式一起參與運(yùn)算，化非對(duì)稱式為對(duì)稱式(以方便使用韋達(dá)定理),從而使問題得到解決.見下面.解得k=3±/2.(以上求x?-x?的方法：(x?-x?)2=(x?+x?)2-4x,x?=2,將兩式相加得，韋達(dá)定理還能幫助我們快速判斷兩個(gè)數(shù)是否是同一個(gè)二次方程的根，或者檢驗(yàn)求得的根是否正確.問題2(1)小明和小華分別求出了方程9x2+6x-1=0的根，小明的答案是小華的答案是x?=-3+3/2,x?=-3-32.他們的答案正確嗎?說說你的判斷方法.問題3已知2+.5是關(guān)于x的方程x2-4x+c=0的一個(gè)根，求方程的另一根及c的值.【例1】關(guān)于x的二次方程kx2+2x-ck=0(c>0,且c≠1)有兩個(gè)不等的實(shí)根，其中一個(gè)是x=-c.(1)求另一個(gè)實(shí)根.(2)寫出k關(guān)于c的表達(dá)式，并求k的取值范圍.解(1)由韋達(dá)定理，知另一實(shí)根為練習(xí)2已知x?,x?是關(guān)于x的一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.(1)是否存在實(shí)數(shù)k,成立?若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由.(2)求的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)k的整數(shù)值.如果x?,x?是一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根，那么二次三項(xiàng)式ax2+bx+c可因式分解為ax2+bx+c=a(x-x?)(x-x?).∵x?,x?是方程ax2+bx+c=0(1)x2+2x-1;(2)2x2+x-4.第⑤二次方程(組)分析先求對(duì)應(yīng)二次方程的實(shí)根，再分解因式，注意二次項(xiàng)系數(shù).(2)方程2x2+x-4=0的根為，點(diǎn)評(píng)在初中一般只要求在有理數(shù)范圍內(nèi)分解到不能再分解為止.實(shí)際上，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)是可以分解到以上的程度的.如果ax2+bx+c在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能分解因式，那么一元二次方程ax2+bx+c=0一定有實(shí)數(shù)根.因此，如果一元二次方程ax2+bx+c=0無實(shí)數(shù)根，那么ax2+bx+c在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能分解因式.練在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，將下列二次式分解因式：(2)x3+2x-3.1.2構(gòu)造二次方程以下結(jié)論是顯而易見的以兩個(gè)數(shù)x?,x?為根的一元二次方程(二次項(xiàng)系數(shù)為1)是x2-(x?+x?)x+x?x?=0.練習(xí)4已知一元二次方程的兩根，寫出一個(gè)一元二次方程.,x?=-4分別是多少?(2)已知a+b=13,ab=2,你能否構(gòu)造一個(gè)一元二次方程，使它的根是a,b?(3)設(shè)a+b=s,ab=t,當(dāng)s與t滿足什么條件時(shí)，能構(gòu)造一個(gè)一元二次方程，使它的根是a,b?如果a,b滿足相同結(jié)構(gòu)的等式，那么a,b可視為是同一方程的兩個(gè)根.問題4第(1)問，a、b可視為關(guān)于x的方程x2-13x+m=0的兩根，由于a≠b,所以它們并不是同一個(gè)根，因此有a+b=13,ab=如果兩個(gè)數(shù)a,b的和與積是已知的，那么可以構(gòu)造以a,b為根的一元二次方程.問題4第(2)問，a、b可視為關(guān)于x的方程x2-13x+25=0的兩根.問題4第(3)問，a、b可看作是關(guān)于x的方程x2-sx+t=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，這個(gè)方程有實(shí)數(shù)解就必須根據(jù)s2≥4t有這個(gè)不等式告訴我們，兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b的和與積是有制約關(guān)系的.命題“若a+b=13,ab=2025,則a、b是方程x2-13x+2025=0的實(shí)數(shù)根”是假命題，因?yàn)闈M足兩數(shù)之和為13,積為2025的實(shí)數(shù)根本就不存在.如果你的老師忽視了這一點(diǎn)，就會(huì)編出錯(cuò)題.設(shè)又,所以可視為關(guān)于y的一元二次方程y2-sy+1=0的兩個(gè)實(shí)根，于是【例3】已知a,b,c都是實(shí)數(shù)，且a+b+c=0,abc=1,求證：a,b,c中必有一個(gè)大分析a+b=-c,,構(gòu)造以a,b為根的一元二次方程(系數(shù)含c),再利用△求出c的范圍，同理可得a,b的范圍.本題只要證a,b,,不妨指定一個(gè)最大，并證明最大者大證明由a+b+c=0及abc=1,可知a,b,c中有一個(gè)正數(shù)、兩個(gè)負(fù)數(shù)，于是a,b是關(guān)于x的方程的兩個(gè)根.構(gòu)造一元二次方程繼而用判別式或根與系數(shù)的關(guān)系解決有關(guān)問題是競賽中常用的方法.對(duì)于形如的方程組，可把x,y看作關(guān)于z的一元二次方程z2-pz+q=0的兩個(gè)根，解這個(gè)一元二次方程就可求得方程組的解.或者通過判別式得到p、q滿足的不等式，這種方法稱為判別式法.這樣能夠使練滿足x2+xy+y2=1,求x2-xy+y2的最大值與最小值提示：設(shè)x2-xy+y2=t,方程組①是由一個(gè)二元二次方程和一個(gè)二元一次方程組成的，方程組②是由兩個(gè)二元二次方程組成的.像這樣的方程組叫做二元二次方程組.理解二次曲線的基礎(chǔ).把y值分別代入③,得x?=5,練②提示：第(1)題消哪個(gè)元更好?第(2)題的第一個(gè)方程左邊可分解因式，于是轉(zhuǎn)化為兩個(gè)方程組，這是降次的方法.第(3)題兩個(gè)方程左邊的整式有聯(lián)系嗎?問題5解方程組除了用“代入消元法”,你還有其他辦法嗎?用同樣的方法試試y.同樣，如果x+(-y)=5,x(-y)=-6,那么x,-y可視為方程z2-5z-6=0的兩根，解該方程即可得到x,-y.②分析消去y2,得到一個(gè)僅含有x的一元方程，先解xy解將②代入①,得x2+4x-5=0,解得x=-5,或x=1.∴y2=-20(舍去)或y2=4.∴【例6】已知3m2+4k2+8km-2m-1=0,試求k與m的關(guān)系(將k表示為關(guān)于m的表達(dá)式).分析已知條件是關(guān)于m,k的二元二次方程，有無數(shù)組解.本題并不要求得到所有的解，只要得到解方法一：方程可整理為3m2+(8k-2)m+4k2-1=0,(下面可用十字相乘法分解因式)所以3m+2k+1=0,或m+2k-1=0,方法二：方程可整理為4k2+8mk+(3m2-2m-1)=0,所以4k2+8mk+(3m+1)(m-1)=0,點(diǎn)評(píng)還有一個(gè)方法，就是在得到3m2+(8k-2)m+4k2-1=0后，觀察判別式△=(8k-2)2-12(4k2-1)=16(k-1)2,于是可用求根公式解出m.第⑤二次方程(組)習(xí)8已知下列條件，試求k與m的關(guān)系(將k表示為關(guān)于m的表達(dá)式).(2)(24k2-6)m=(8m2-18)k,k與m符號(hào)相同.【例7】二元二次方程的所有解中有兩組解(x?,y?),(x?,y?)滿的分析由條件另一方面，相乘得到于是想到將等式①②相減.等式兩邊同除以x?-x?得,其中,(注意目標(biāo)是點(diǎn)評(píng)本題的難點(diǎn)由條件構(gòu)造出,即恒等變形中整式與分式的互相轉(zhuǎn)化.練習(xí)9二元二次方的所有解中有兩組解(x?,y?),(x?,y?)滿足【例8】(1)當(dāng)m為何值時(shí)，關(guān)于x,y的方程組有兩個(gè)解?(2)實(shí)數(shù)x,y滿求y-x的最大值.分析第(1)問是根據(jù)方程組解的情況，求參數(shù)m的范圍.先消元將方程組轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程，利用判別式求得m的取值范圍.第(2)問令y-x=m,與聯(lián)立成方程組，問題就轉(zhuǎn)化為“求使方程組有解的m的最大值”,這與第(1)問變成了同一類型.解(1)消去y得，5x2+8mx+4(m2-1)=