浦東六校2024-2025學年第二學期高一年級數(shù)學期末聯(lián)考2025.6一、填空題（本大題共有12題，滿分36分）只要求直接填寫結(jié)果，每個空格填對得3分.

1．弧度．

2．如果復平面上的向量所對應的復數(shù)是，那么向量所對應的復數(shù)是．

3．已知，則．

4．已知向量，且，則實數(shù)的值為．

5．已知，其中，則．

6．已知復數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則．

7．已知數(shù)列對任意正整數(shù)n，均滿足，則．

8．已知向量，則在方向上的投影向量為．

9．等差數(shù)列中，則通項公式．

10．已知為正整數(shù)，為虛數(shù)單位，表示復數(shù)的共軛復數(shù)，且復數(shù)，又滿足且，則．

11．已知不平行的兩個向量滿足，若對任意實數(shù)，都有成立，則的最小值是．

12．在中，已知三邊成等差數(shù)列，三角滿足，且，若存在動點P滿足，且，其中，則的最大值為．二、選擇題（本大題共有4題，滿分12分）．

13．在中，下列關系正確的是（）.

A． B． C． D．

14．已知數(shù)列的首項，且滿足，則（）.

A．63B．128C．255D．256

15．已知關于的實系數(shù)一元二次方程有兩個虛根和，且，則的值為（）.

A．2B．-2C．D．

16．在中，點滿足，過點的直線與所在的直線分別交于點、，若，則的最小值為（）.

A．3 B．C．1D．

三、解答題（本大題共有5題，滿分52分）解答下列各題必須寫出必要的步驟。

17．（本題滿分8分．第（1）問4分，第（2）問4分）

已知向量滿足．

（1）求；

（2）設，若，求的值．

18．（本題滿分8分．第（1）問4分，第（2）問4分）

（1）是虛數(shù)單位，為何值時，復數(shù)為純虛數(shù)？

（2）已知關于的實系數(shù)一元二次方程的一個根為，求的值.19．（本題滿分10分．第（1）問4分，第（2）問6分）

在一次招聘會上，應聘者小李被甲、乙兩家公司同時意向錄取.甲公司給出的工資標準：第一年的年薪為4.2萬元，以后每年的年薪比上一年增加6000元；乙公司給出的工資標準：第一年的年薪為4.8萬元，以后每年的年薪比上一年增加.

（參考數(shù)據(jù)：）

（1）若小李在乙公司連續(xù)工作5年，則他在第5年的年薪是多少萬元？

（2）為了吸引小李的加盟，乙公司決定在原有工資的基礎上每年固定增加交通補貼0.72萬元.那么小李在甲公司至少要連續(xù)工作幾年，他的工資總收入才不低于在乙公司工作10年的總收入？20．（本題滿分12分．第（1）問5分，第（2）問7分）

函數(shù)的部分圖像如圖所示．

（1）求函數(shù)的解析式，并求出的單調(diào)減區(qū)間；

（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，若關于的方程在上有解，求實數(shù)的取值范圍．

21．（本題滿分14分．第（1）問4分，第（2）問5分，第（3）問5分）

已知為坐標原點，對于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的伴隨向量，同時稱函數(shù)為向量的伴隨函數(shù)．

（1）若函數(shù)，求函數(shù)的伴隨向量；

（2）若函數(shù)的伴隨向量為，且函數(shù)在上有且只有一個零點，求的最大值；

（3）若函數(shù)的伴隨向量為，若實數(shù)使得對任意實數(shù)恒成立，求的值．

參考答案一、填空題1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.11．已知不平行的兩個向量滿足，若對任意實數(shù)，都有成立，則的最小值是．【答案】【解析】依題意，設與的夾角為，即，則．∵對任意的，都有成立，∴4，即，即對于任意的恒成立，故，又，解得．綜上，，則的最小值為．12．在中，已知三邊成等差數(shù)列，三角滿足，且，若存在動點P滿足，且，其中，則的最大值為．【答案】【解析】由中，三邊滿足成等差數(shù)列得，由正弦定理得，

由得得，由得代入可得，，由，得，得，可令，以為原點、、所在直線分別為軸、軸建立平面直角坐標系，如圖：則，設，根據(jù)得由得,∴，得，∴的最大值為．故答案為：．二、選擇題13.B14.C15.C16.A15．已知關于的實系數(shù)一元二次方程有兩個虛根和，且，則的值為（）.

A．2B．-2C．D． 【答案】C【解析】設為實數(shù)，則，因為，則，即，因為，所以，所以．故選：．16．在中，點滿足，過點的直線與所在的直線分別交于點、，若，則的最小值為（）.

A．3 B．C．1D． 【答案】A【解析】如圖，由題意可知，又，∴，又三點共線，

，當且僅當，即時，等號成立，∴的最小值為3．故選A．三．解答題17.（1）（2）18.（1）（2）19.（1）約萬元（2）11年20．【答案】（1），嚴格減區(qū)間（2）【解析】（1）由圖可知，函數(shù)的周期為，振幅為2，即有又解得所以令可得函數(shù)的嚴格減區(qū)間（2），依題設，有所以21．（本題滿分14分．第（1）問4分，第（2）問5分，第（3）問5分）

已知為坐標原點，對于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的伴隨向量，同時稱函數(shù)為向量的伴隨函數(shù)．

（1）若函數(shù)，求函數(shù)的伴隨向量；

（2）若函數(shù)的伴隨向量為，且函數(shù)在上有且只有一個零點，求的最大值；

（3）若函數(shù)的伴隨向量為，若實數(shù)使得對任意實數(shù)恒成立，求的值．【答案】（1）（2）（3）【解析】（1），

函數(shù)的伴隨向量為；

（2），即