第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年遼寧省葫蘆島市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.扇形的半徑為2，圓心角為π3，則此扇形弧長為(

)A.π6 B.π3 C.π22.若復(fù)數(shù)z滿足(3+z)i=5，則z對應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.在邊長為2的正三角形ABC中，AB?AC=A.1 B.?1 C.2 D.?24.將函數(shù)f(x)=sin(x+π6)圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來的12A.y=sin(2x?π12) B.y=sin5.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，異面直線ACA.90° B.60° C.45° D.30°6.已知向量a=(2,1)，b=(?3,1)，則向量a在向量b上的投影為(

)A.?102 B.?10 7.如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，D，E分別是AA1和BB1的中點(diǎn)，記C1A.V1=13V2

B.V8.已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)，(ω>0,|φ|<π2)，|f(?π6)|=2，f(π3)=0，且A.3 B.5 C.6 D.7二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知函數(shù)f(x)=4tan(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分圖象如圖所示，則(

)A.ω=1

B.f(x)=4tan(2x+5π6)

C.f(x)的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,?433)

D.函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(7π3A.z的虛部為bi

B.(z?)2=z2?

11.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)分別是AD，DD1A.存在點(diǎn)P，使得EP//平面FBC

B.當(dāng)P為AB中點(diǎn)時，過E，F(xiàn)，P三點(diǎn)的平面截正方體所得截面圖形的面積為33

C.三棱錐C1?A1B1P的體積為23

D.當(dāng)P在棱AB上時，若∠A1PB為120°12.已知向量a=(1,2)與b=(?2,x)垂直，則實(shí)數(shù)x的值為______．13.如圖，為測塔高，在塔底所在的水平面內(nèi)取一點(diǎn)B，測得塔頂M的仰角為30°，由B向塔前進(jìn)100米后到點(diǎn)N，測得塔頂M的仰角為60°，則塔高AM為______米.14.已知△ABC的面積為32，∠ABC=2π3，AC=7，∠ABC的角平分線交AC于點(diǎn)四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知向量a=(cosx+sinx,3cosx)，b=(cosx?sinx,2sinx)，函數(shù)f(x)=a?b．

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)求函數(shù)f(x)的周期和單調(diào)遞增區(qū)間；16.(本小題15分)

已知sin2α+sin2αcos2α+1=4．

(1)求tanα的值；

(2)若α是第一象限角，tan17.(本小題15分)

在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC⊥BC，D為BB1的中點(diǎn)．

(1)求證：平面A1BC⊥平面AA1C1C；18.(本小題17分)

在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若bsinA?3acosAcosC=3ccos2A，a=3．

(1)求角A的大??；

(2)若b+c=33且b>c，點(diǎn)P，Q是邊AC上的兩個動點(diǎn)，AP<AQ且∠PBQ=π6．

(i)設(shè)∠QBC=θ，用θ19.(本小題17分)

如圖，已知梯形ABCD，AB=BC=AD=12CD=2，AB//CD，將梯形ABCD繞直線CD旋轉(zhuǎn)角α至梯形EFCD，M為CD的中點(diǎn)，連接MA，MB，ME．

(1)證明：EM//平面BCF；

(2)當(dāng)△BME面積最大時，求二面角α的余弦值；

(3)當(dāng)二面角α為π2時，求點(diǎn)A到平面

參考答案1.D

2.C

3.C

4.B

5.B

6.D

7.A

8.B

9.BCD

10.BD

11.ABD

12.1

13.5014.2315.(1)a=(cosx+sinx,3cosx)，b=(cosx?sinx,2sinx)，函數(shù)f(x)=a?b，

依題意，f(x)=cos2x?sin2x+23sinxcosx=cos2x+3sin2x=2sin(2x+π6)．

(2)函數(shù)f(x)的周期T=2π2=π；

由?π2+2kπ≤2x+π6≤π216.(1)因?yàn)閟in2α+sin2αcos2α+1=sin2α+2sinαcosα2cos2α=tan2α+2tanα2=4，

解得tanα=2或17.(1)證明：由已知得，AA1⊥平面ABC，

因?yàn)锽C?平面ABC，所以AA1⊥BC，

又因?yàn)锳C⊥BC，AA1∩AC=A，AC，AA1?平面AA1C1C，所以BC⊥平面AA1C1C，

又因?yàn)锽C?平面A1BC，所以平面A1BC⊥平面AA1C1C；

(2)當(dāng)點(diǎn)E為A1C1的中點(diǎn)時，符合題意．

證明如下：

取CC1的中點(diǎn)F，A1C1的中點(diǎn)E，連接EF，DE，DF，

則EF//A1C，

因?yàn)镈為BB1的中點(diǎn)，所以DF//BC，

因?yàn)锽C，A1C?平面A1BC，DF，EF?18.(1)由正弦定理得sinAsinB=3sinAcosAcosC+3sinCcos2A，

即sinAsinB=3cosA(sinAcosC+cosAsinC)=3cosAsin(A+C)，

因?yàn)椤鰽BC中，sinB=sin(A+C)，

所以sinAsinB=3cosAsinB，結(jié)合sinB≠0，可得sinA=3cosA，

所以tanA=sinAcosA=3，結(jié)合A∈(0,π)，可得A=π3；

(2)根據(jù)余弦定理得a2=b2+c2?bc=(b+c)2?3bc，

結(jié)合a=3，b+c=33，可得32=(33)?3bc，解得bc=6，結(jié)合b>c，解得b=23，c=3，

所以b2=a2+c219.(1)證明：因?yàn)镋F//MC，且EF=MC=2，

所以四邊形EFCM是平行四邊形，

所以EM//FC，又EM?平面BCF，CF?平面BCF，

所以EM//平面BCF；

(2)取DM的中點(diǎn)O，

由(1)知EM=FC=2，

又AB//MC，且AB=MC=2，

所以四邊形ABCM是平行四邊形，

所以AM=BC=2，

所以AM=AD=2，ED=EM=2，

所以AO⊥DM，EO⊥DM，又AO∩OE=O，

所以DM⊥平面AOE，

所以為二面角E?CD?A的平面角為∠AOE，

所以∠AOE=α，

又AO=OE=ED2?(12DM)2=3，

所以AE2=AO2+OE2?2AO?OEcosα=6?6cosα，

因?yàn)锳B//DM，所以AB⊥平面AOE，

所以AB⊥AE，

所以BE2=AE2+AB2=10?6cosα，

所以BE2=EM2+BM2?2EM?BMcos∠BME=8?8cos∠BME，

所以10?6cosα=