數(shù)學極值題目及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=x^2\)在\(x=0\)處（）A.有極大值B.有極小值C.無極值D.無法確定2.函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)的極大值點是（）A.\(x=1\)B.\(x=-1\)C.\(x=0\)D.\(x=2\)3.函數(shù)\(y=x+\frac{1}{x}(x>0)\)的最小值是（）A.1B.2C.3D.44.若函數(shù)\(f(x)\)在\(x=a\)處導數(shù)為\(0\)，則\(x=a\)（）A.一定是極值點B.一定不是極值點C.可能是極值點D.是最值點5.函數(shù)\(y=\sinx\)在\([0,2\pi]\)上的極大值是（）A.1B.-1C.0D.\(\frac{1}{2}\)6.函數(shù)\(f(x)=x^2-4x+3\)的極小值為（）A.-1B.0C.1D.27.函數(shù)\(y=e^x-x\)的極小值點是（）A.\(x=0\)B.\(x=1\)C.\(x=-1\)D.不存在8.函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{3}x^3-x^2-3x+1\)的極大值為（）A.\(\frac{8}{3}\)B.\(\frac{10}{3}\)C.\(\frac{11}{3}\)D.\(\frac{14}{3}\)9.函數(shù)\(y=x^3-2x^2+x\)的極值點個數(shù)是（）A.0B.1C.2D.310.函數(shù)\(f(x)=x-\lnx\)的最小值是（）A.1B.0C.-1D.2二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，在\(x=0\)處取得極值的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=x^3\)C.\(y=|x|\)D.\(y=\sinx\)2.函數(shù)\(f(x)=x^3-3x^2+2\)的極值點是（）A.\(x=0\)B.\(x=1\)C.\(x=2\)D.\(x=3\)3.對于函數(shù)\(y=x^4-2x^2+3\)，以下說法正確的是（）A.有極小值B.有極大值C.極小值為2D.極大值為34.函數(shù)\(f(x)=x+\frac{a}{x}(a>0,x>0)\)，下列說法正確的是（）A.有最小值B.最小值為\(2\sqrt{a}\)C.有極大值D.極大值為\(2\sqrt{a}\)5.函數(shù)\(y=\cosx\)在\([0,2\pi]\)上的極值情況是（）A.極大值為1B.極小值為-1C.極大值點為\(x=0,\2\pi\)D.極小值點為\(x=\pi\)6.函數(shù)\(f(x)=x^3-6x^2+9x+1\)的極值點有（）A.\(x=1\)B.\(x=2\)C.\(x=3\)D.\(x=4\)7.若函數(shù)\(y=f(x)\)在某點\(x_0\)處取得極值，則（）A.\(f'(x_0)=0\)B.\(f'(x_0)\)不存在C.\(f(x)\)在\(x_0\)兩側(cè)單調(diào)性改變D.\(f(x)\)在\(x_0\)處連續(xù)8.函數(shù)\(y=\frac{1}{x^2+1}\)的極值情況是（）A.有極大值B.極大值為1C.有極小值D.極小值為09.函數(shù)\(f(x)=x^2e^x\)的極值點有（）A.\(x=0\)B.\(x=-2\)C.\(x=2\)D.\(x=1\)10.函數(shù)\(y=\lnx-x\)的極值情況是（）A.有極大值B.極大值為-1C.有極小值D.極小值為-1三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)在導數(shù)為\(0\)的點一定取得極值。（）2.函數(shù)\(y=x^3\)在\(x=0\)處有極值。（）3.若函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)內(nèi)有極值，則\(f(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)。（）4.函數(shù)\(y=\sinx\)的極值點就是其最值點。（）5.函數(shù)\(f(x)=x^2+1\)有極小值\(1\)。（）6.函數(shù)在某點處導數(shù)不存在，該點也可能是極值點。（）7.函數(shù)\(y=x+\frac{1}{x}\)的極小值和極大值相等。（）8.若函數(shù)\(f(x)\)的導數(shù)恒大于\(0\)，則\(f(x)\)無極值。（）9.函數(shù)\(y=x^4\)只有一個極值點。（）10.函數(shù)\(f(x)\)在極值點處的導數(shù)一定為\(0\)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=x^2-4x+5\)的極值。答案：對\(y=x^2-4x+5\)求導得\(y'=2x-4\)，令\(y'=0\)，即\(2x-4=0\)，解得\(x=2\)。當\(x<2\)時，\(y'<0\)；當\(x>2\)時，\(y'>0\)，所以\(x=2\)時函數(shù)有極小值，\(y(2)=2^2-4×2+5=1\)。2.求函數(shù)\(f(x)=x^3-3x^2+1\)的極值點及極值。答案：\(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\)，令\(f'(x)=0\)，得\(x=0\)或\(x=2\)。當\(x<0\)時，\(f'(x)>0\)；\(0<x<2\)時，\(f'(x)<0\)；\(x>2\)時，\(f'(x)>0\)。所以\(x=0\)是極大值點，極大值\(f(0)=1\)；\(x=2\)是極小值點，極小值\(f(2)=-3\)。3.求函數(shù)\(y=\frac{1}{x^2+2x+3}\)的極值。答案：先將分母變形為\(x^2+2x+3=(x+1)^2+2\)。\(y=\frac{1}{(x+1)^2+2}\)，分母\((x+1)^2+2\geq2\)，當\(x=-1\)時，分母最小為\(2\)，此時\(y\)有極大值\(\frac{1}{2}\)。4.求函數(shù)\(f(x)=x-\lnx\)的極值。答案：\(f(x)\)定義域為\((0,+\infty)\)，\(f'(x)=1-\frac{1}{x}\)，令\(f'(x)=0\)，即\(1-\frac{1}{x}=0\)，解得\(x=1\)。當\(0<x<1\)時，\(f'(x)<0\)；\(x>1\)時，\(f'(x)>0\)，所以\(x=1\)時函數(shù)有極小值\(f(1)=1-\ln1=1\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=x^3+ax^2+bx+c\)（\(a,b,c\)為常數(shù)）的極值情況與\(a,b\)的關系。答案：求導得\(y'=3x^2+2ax+b\)，其判別式\(\Delta=(2a)^2-12b=4(a^2-3b)\)。當\(\Delta>0\)，\(y'\)有兩個不同零點，函數(shù)有兩個極值點；當\(\Delta=0\)，\(y'\)有一個零點，函數(shù)有一個極值點；當\(\Delta<0\)，\(y'\)無零點，函數(shù)無極值點。2.如何通過函數(shù)的導數(shù)判斷函數(shù)是否有極值？請舉例說明。答案：先求函數(shù)導數(shù)，令導數(shù)為\(0\)得駐點。再判斷駐點兩側(cè)導數(shù)符號，若符號不同則為極值點，符號相同則不是。如\(y=x^2\)，\(y'=2x\)，令\(y'=0\)得\(x=0\)，\(x<0\)時\(y'<0\)，\(x>0\)時\(y'>0\)，所以\(x=0\)是極小值點。3.函數(shù)的極值與最值有什么區(qū)別和聯(lián)系？答案：區(qū)別：極值是局部概念，是函數(shù)在某點鄰域內(nèi)的最值；最值是整體概念，是函數(shù)在整個定義域或指定區(qū)間上的最大或最小值。聯(lián)系：函數(shù)的最值可能在極值點或區(qū)間端點處取得，需比較極值和端點值大小來確定最值。4.請討論函數(shù)\(y=e^x-ax\)（\(a\)為常數(shù)）的極值情況。答案：求導得\(y'=e^x-a\)。當\(a\leq0\)時，\(y'>0\)恒成立，函數(shù)無極值；當\(a>0\)時，令\(y'=0\)，得\(x=\lna\)。\(x<\lna\)時，\(y'<0\)；\(x>\lna\)時，\(y'>0\)，所以\(x=\lna\)是極小值點，極小值為\(a-a\lna\)。答案一、單項選擇題1.