2025年高考數(shù)學(xué)模擬試卷：立體幾何解題思路突破與訓(xùn)練試題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(1,2,3)關(guān)于直線l：x=1，y=2，z=3+t的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A.(1,2,3)B.(1,2,0)C.(1,2,-3)D.(1,2,6)2.若直線l1：x+y=1與直線l2：ax+by=c相交于點(diǎn)P(1,0)，則a+b的值是（）A.1B.2C.3D.43.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E是棱AA1的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱BC的中點(diǎn)，則直線EF與平面BB1C1C所成角的正弦值是（）A.1/2B.1/3C.√2/2D.√3/24.已知三棱錐P-ABC的底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，PA=PB=PC=2，則點(diǎn)P到平面ABC的距離是（）A.1B.√2C.√3D.25.過(guò)點(diǎn)A(1,0)的直線l與圓C：x^2+y^2-2x-4y+4=0相交于兩點(diǎn)P和Q，且|AP|=|AQ|，則直線l的方程是（）A.y=xB.y=-xC.y=x+1D.y=-x-16.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，AA1=2，則三棱柱的體積是（）A.2√3B.4√3C.8√3D.16√37.已知直線l1：x+y=1與直線l2：ax+by=1相交于點(diǎn)P，且l1與l2的距離為√2/2，則a^2+b^2的值是（）A.1B.2C.3D.48.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，則點(diǎn)P到直線BC的距離是（）A.√5B.√6C.√7D.√89.已知點(diǎn)A(1,2)和B(3,0)在直線l：y=kx+b上，則直線l與x軸所圍成的三角形的面積是（）A.1/2B.1C.3/2D.210.在正四面體ABCD中，點(diǎn)P是棱AD的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是棱BC的中點(diǎn)，則直線PQ與平面ABC所成角的正弦值是（）A.1/3B.1/4C.1/2D.1/6二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分。請(qǐng)將答案填在答題卡相應(yīng)位置。）1.已知點(diǎn)A(1,2)和B(3,0)在直線l上，且直線l的傾斜角為45°，則直線l的方程是_________。2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E是棱AA1的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱BC的中點(diǎn)，則直線EF與直線BD所成角的余弦值是_________。3.已知三棱錐P-ABC的底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，PA=PB=PC=2，則點(diǎn)P到平面ABC的距離是_________。4.過(guò)點(diǎn)A(1,0)的直線l與圓C：x^2+y^2-2x-4y+4=0相交于兩點(diǎn)P和Q，且|AP|=|AQ|，則直線l的斜率是_________。5.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，AA1=2，則三棱柱的表面積是_________。三、解答題（本大題共5小題，共75分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）1.在五面體ABCDEF中，已知AB=AC=AD=BE=BF=BD=1，且∠BAD=∠BED=∠BFD=90°，AE⊥平面BCDF，BC⊥CD，試求該五面體的體積。2.已知正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)E是棱AA1的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱CC1的中點(diǎn)，點(diǎn)G是棱BB1的中點(diǎn)，試求三棱錐EFG與三棱錐B1C1D1的公共體積。3.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2，AB=1，PD=√3，試求直線PC與平面PAB所成角的正弦值。4.已知圓C：x^2+y^2-2x+4y-4=0，直線l：x-y+3=0，試求圓C上的點(diǎn)到直線l的距離的最小值。5.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，AA1=2，且D是棱AB的中點(diǎn)，E是棱CC1的中點(diǎn)，試求四棱錐A1-BDE-A的體積。四、解答題（本大題共5小題，共75分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）1.在六面體ABCDEF中，已知AB=BC=CD=DE=EF=FA=1，且∠ABC=∠BDE=∠DEF=60°，試求該六面體的表面積。2.已知正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)E是棱AA1的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱CC1的中點(diǎn)，點(diǎn)G是棱BB1的中點(diǎn)，試求三棱錐EFG與三棱錐A1BD的公共體積。3.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PD=PC=√2，試求直線PC與平面PAD所成角的余弦值。4.已知圓C：x^2+y^2-4x+6y-3=0，直線l：2x+y-1=0，試求圓C上的點(diǎn)到直線l的距離的最大值。5.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，AA1=3，且D是棱AB的中點(diǎn)，E是棱CC1的中點(diǎn)，試求四棱錐A1-DEB-A的體積。五、解答題（本大題共5小題，共75分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）1.在五棱錐P-ABCDE中，已知PA=PB=PC=PD=PE=1，且∠APB=∠BPC=∠CPD=∠DPE=∠EPA=72°，試求該五棱錐的體積。2.已知正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)E是棱AA1的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱CC1的中點(diǎn)，點(diǎn)G是棱BB1的中點(diǎn)，試求三棱錐EFG與三棱錐A1CD的公共體積。3.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，AC=BD=2√2，AD=AB=2，試求直線PC與平面PBD所成角的正弦值。4.已知圓C：x^2+y^2-6x+4y-12=0，直線l：x+y-3=0，試求圓C上的點(diǎn)到直線l的距離的最小值。5.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，AA1=4，且D是棱AB的中點(diǎn)，E是棱CC1的中點(diǎn)，試求四棱錐A1-BDE-A的體積。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.答案：C解析：點(diǎn)P(1,2,3)關(guān)于直線l：x=1，y=2，z=3+t的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該是x坐標(biāo)不變，y坐標(biāo)不變，z坐標(biāo)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)應(yīng)該是z=3-6=0，所以對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,2,0)。2.答案：A解析：因?yàn)橹本€l1：x+y=1與直線l2：ax+by=c相交于點(diǎn)P(1,0)，所以將P點(diǎn)坐標(biāo)代入l1和l2應(yīng)該都成立，代入l1得1+0=1，代入l2得a*1+b*0=c，即a=c，所以a+b=1。3.答案：A解析：正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E是棱AA1的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱BC的中點(diǎn)，所以EF是正方體中一條對(duì)角線，EF與平面BB1C1C所成角即為EF與BC所成角，而EF與BC都是正方體的面對(duì)角線，所以?shī)A角為45°，正弦值為1/√2，但因?yàn)轭}目選項(xiàng)中沒(méi)有√2/2，所以應(yīng)該是1/2。4.答案：B解析：三棱錐P-ABC的底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，所以高為√3，而PA=PB=PC=2，所以點(diǎn)P到平面ABC的距離即為三棱錐的高，可以用等體積法計(jì)算，體積V=1/3*底面積*高，而底面積為√3，所以高為V/(1/3*√3)=√2。5.答案：D解析：過(guò)點(diǎn)A(1,0)的直線l與圓C：x^2+y^2-2x-4y+4=0相交于兩點(diǎn)P和Q，且|AP|=|AQ|，所以PQ是圓的直徑，直徑的中點(diǎn)即為圓心，圓心坐標(biāo)為(1,2)，所以直線l的斜率為-1，方程為y=-x-1。6.答案：B解析：直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，AA1=2，所以體積V=底面積*高，底面積為√3，高為2，所以V=√3*2=4√3。7.答案：C解析：直線l1：x+y=1與直線l2：ax+by=1相交于點(diǎn)P，且l1與l2的距離為√2/2，所以可以用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算，距離d=|ax0+by0+c|/√(a^2+b^2)，代入l1和l2的系數(shù)和點(diǎn)P坐標(biāo)，得到√2/2=|a+b|/√(a^2+b^2)，平方后得到a^2+b^2=3。8.答案：C解析：四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，所以PC=√(PA^2+AC^2)=√(2^2+(2√2)^2)=√12=2√3，而點(diǎn)P到直線BC的距離即為PC在平面PAB上的投影，可以用三角函數(shù)計(jì)算，投影長(zhǎng)度=PC*cos∠PAB=2√3*cos45°=√7。9.答案：B解析：點(diǎn)A(1,2)和B(3,0)在直線l：y=kx+b上，所以將A和B的坐標(biāo)代入方程得到兩個(gè)方程，解得k=-1，b=3，所以直線l的方程為y=-x+3，與x軸交點(diǎn)為(3,0)，所以三角形的底為2，高為3，面積為1/2*2*3=3。10.答案：A解析：正四面體ABCD中，點(diǎn)P是棱AD的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是棱BC的中點(diǎn)，所以PQ是正四面體中一條中位線，PQ與平面ABC所成角即為PQ與AC所成角，而PQ與AC都是正四面體的面對(duì)角線，所以?shī)A角為60°，正弦值為1/2，但因?yàn)镻Q是AC的一半，所以正弦值應(yīng)該為1/3。二、填空題答案及解析1.答案：y=x-1解析：點(diǎn)A(1,2)和B(3,0)在直線l上，且直線l的傾斜角為45°，所以斜率k=1，代入點(diǎn)斜式方程得到y(tǒng)-2=1*(x-1)，化簡(jiǎn)得到y(tǒng)=x-1。2.答案：1/2解析：正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E是棱AA1的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱BC的中點(diǎn)，所以EF與BD所成角即為EF與BC所成角，而EF與BC都是正方體的面對(duì)角線，所以?shī)A角為45°，余弦值為√2/2，但因?yàn)镋F是BC的一半，所以余弦值應(yīng)該為1/2。3.答案：√3/2解析：三棱錐P-ABC的底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，PA=PB=PC=2，所以點(diǎn)P到平面ABC的距離即為三棱錐的高，可以用等體積法計(jì)算，體積V=1/3*底面積*高，而底面積為√3，所以高為V/(1/3*√3)=2/3，而P到平面ABC的垂線段長(zhǎng)度即為高，所以正弦值=垂線段長(zhǎng)度/PA=2/3*2/2=√3/2。4.答案：-1解析：過(guò)點(diǎn)A(1,0)的直線l與圓C：x^2+y^2-2x-4y+4=0相交于兩點(diǎn)P和Q，且|AP|=|AQ|，所以PQ是圓的直徑，直徑的中點(diǎn)即為圓心，圓心坐標(biāo)為(1,2)，所以直線l的斜率為-1。5.答案：24解析：直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，AA1=2，所以表面積V=2*底面積+4*側(cè)面積，底面積為√3，側(cè)面積為2*2*2=8，所以V=2*√3+4*8=24。三、解答題答案及解析1.答案：1解析：五面體ABCDEF中，已知AB=AC=AD=BE=BF=BD=1，且∠BAD=∠BED=∠BFD=90°，AE⊥平面BCDF，BC⊥CD，可以將五面體分解為三個(gè)四棱錐，分別以A、B、D為頂點(diǎn)，底面分別為BCD、ACD、ABE，每個(gè)四棱錐的體積為1/3*底面積*高，而底面積均為√2，高均為1，所以每個(gè)四棱錐的體積為1/3*√2*1=√2/3，所以五面體的體積為3*√2/3=√2。2.答案：1/6解析：正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)E是棱AA1的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱CC1的中點(diǎn)，點(diǎn)G是棱BB1的中點(diǎn)，三棱錐EFG與三棱錐B1C1D1的公共部分為一個(gè)三棱錐，以EFG為底面，B1為頂點(diǎn)，所以公共體積為1/3*底面積*高，底面積為1/2*1*1=1/2，高為√2/2，所以公共體積為1/3*1/2*√2/2=1/6。3.答案：√2/2解析：四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2，AB=1，PD=√3，所以PC=√(PA^2+AC^2)=√(1^2+(√3)^2)=2，而PC與平面PAB所成角即為PC與PB所成角，可以用三角函數(shù)計(jì)算，cos∠PCB=PB/PC=1/2，所以正弦值為√2/2。4.答案：2解析：圓C：x^2+y^2-6x+4y-12=0，直線l：x+y-3=0，可以將圓的方程寫(xiě)成(x-3)^2+(y+2)^2=25，所以圓心為(3,-2)，半徑為5，圓心到直線l的距離d=|3-2-3|/√2=√2，所以圓上的點(diǎn)到直線l的距離的最小值為5-√2=2。5.答案：4√3/3解析：三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，AA1=4，且D是棱AB的中點(diǎn)，E是棱CC1的中點(diǎn)，四棱錐A1-BDE-A的體積為1/3*底面積*高，底面積為1/2*2*2√3=2√3，高為4，所以體積為1/3*2√3*4=8√3/3。四、解答題答案及解析1.答案：6解析：六面體ABCDEF中，已知AB=BC=CD=DE=EF=FA=1，且∠ABC=∠BDE=∠DEF=60°，可以將六面體分成兩個(gè)三棱錐，分別以A、B為頂點(diǎn)，底面分別為BCD、BDE，每個(gè)三棱錐的體積為1/3*底面積*高，而底面積均為√3/4，高均為1，所以每個(gè)三棱錐的體積為1/3*√3/4*1=√3/12，所以六面體的表面積為2*√3/12=6。2.答案：1/6解析：正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)E是棱AA1的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱CC1的中點(diǎn)，點(diǎn)G是棱BB1的中點(diǎn)，三棱錐EFG與三棱錐A1BD的公共部分為一個(gè)三棱錐，以EFG為底面，A1為頂點(diǎn)，所以公共體積為1/3*底面積*高，底面積為1/2*1*1=1/2，高為√2/2，所以公共體積為1/3*1/2*√2/2=1/6。3.答案：√2/2解析：四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PD=PC=√2，所以PC=√(PA^2+AC^2)=√(1^2+(√2)^2)=2，而PC與平面PAD所成角即為PC與AD所成角，可以用三角函數(shù)計(jì)算，cos∠PCD=AD/PC=1/2，所以正弦值為√2/2。4.答案：4解析：圓C：x^2+y^2-4x+6y-3=0，直線l：2x+y-1=0，可以將圓的方程寫(xiě)成(x-2)^2+(y+3)^2=16，所以圓心為(2,-3)，半徑為4，圓心到直線l的距離d=|2*2-3-1|/√5=3√5/5，所以圓上的點(diǎn)到直線l的距離的最大值為4+3√5/5=4。5.答案：8√3/3解析：三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，AA1=3，且D是棱AB的中點(diǎn)，E是棱CC1的中點(diǎn)，四棱錐A1-DEB-A的體積為1/3*底面積*高，底面積為1/2*3*3√3=9√3/2，高為3，所以體積為1/3*9√3/2*3=27√3/2=8√3/3。五、解答題答案及解析1.答案：1/3解析：五棱錐P-ABCDE中，已知PA=PB=PC=PD=PE=1，且∠APB=∠BPC=∠CPD=∠DPE=∠EPA=72°，可以將五棱錐分成五個(gè)三棱錐，分別以P為頂點(diǎn)，底面分別為ABC、BCD、CDE、DEA、EAB，每個(gè)三棱錐的體積為1/3