2025年高考數(shù)學模擬檢測卷：立體幾何突破解題與訓練解析試題考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，側棱AA1垂直于底面ABC，AA1=2。若點D是棱BB1的中點，則直線AD與平面A1BC所成角的正弦值是（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.√5/32.已知正四棱錐P-ABCD的底面邊長為2，側棱長為√3，E是PC的中點，F(xiàn)是PD的中點，則異面直線EF與PB所成角的余弦值是（）A.1/3B.1/2C.√2/2D.√3/33.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是直角三角形，∠ABC=90°，AB=BC=1，AA1=2。點M是棱A1B1的中點，點N是棱CC1的中點，則直線MN與平面BCC1B1所成角的正切值是（）A.1/2B.1C.√2/2D.√3/24.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1。點E是棱PC的中點，點F是棱PD的中點，則異面直線EF與AC所成角的正弦值是（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.√5/35.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中點，F(xiàn)是棱C1D1的中點，則異面直線AE與BF所成角的余弦值是（）A.1/3B.1/2C.√2/2D.√3/36.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，側棱AA1垂直于底面ABC，AA1=2。點D是棱CC1的中點，則直線AD與平面A1BC所成角的余弦值是（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.√5/37.在正四棱錐P-ABCD中，底面邊長為2，側棱長為√3，E是PC的中點，F(xiàn)是PD的中點，則異面直線EF與PB所成角的正弦值是（）A.1/3B.1/2C.√2/2D.√3/38.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是直角三角形，∠ABC=90°，AB=BC=1，AA1=2。點M是棱A1B1的中點，點N是棱CC1的中點，則直線MN與平面BCC1B1所成角的正切值是（）A.1/2B.1C.√2/2D.√3/29.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1。點E是棱PC的中點，點F是棱PD的中點，則異面直線EF與AC所成角的余弦值是（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.√5/310.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中點，F(xiàn)是棱C1D1的中點，則異面直線AE與BF所成角的余弦值是（）A.1/3B.1/2C.√2/2D.√3/311.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，側棱AA1垂直于底面ABC，AA1=2。點D是棱BB1的中點，則直線AD與平面A1BC所成角的正弦值是（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.√5/312.在正四棱錐P-ABCD中，底面邊長為2，側棱長為√3，E是PC的中點，F(xiàn)是PD的中點，則異面直線EF與PB所成角的余弦值是（）A.1/3B.1/2C.√2/2D.√3/3二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。請將答案填在答題卡相應位置。）13.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中點，F(xiàn)是棱C1D1的中點，則異面直線AE與BF所成角的余弦值是__________。14.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，側棱AA1垂直于底面ABC，AA1=2。點D是棱CC1的中點，則直線AD與平面A1BC所成角的正弦值是__________。15.在正四棱錐P-ABCD中，底面邊長為2，側棱長為√3，E是PC的中點，F(xiàn)是PD的中點，則異面直線EF與PB所成角的余弦值是__________。16.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是直角三角形，∠ABC=90°，AB=BC=1，AA1=2。點M是棱A1B1的中點，點N是棱CC1的中點，則直線MN與平面BCC1B1所成角的正切值是__________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，側棱AA1垂直于底面ABC，AA1=2。點D是棱CC1的中點，點E是棱AB的中點。求直線DE與平面A1BC所成角的正弦值。18.在正四棱錐P-ABCD中，底面邊長為2，側棱長為√3，E是PC的中點，F(xiàn)是PD的中點。求異面直線EF與平面PAB所成角的正切值。19.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是直角三角形，∠ABC=90°，AB=BC=1，AA1=2。點M是棱A1B1的中點，點N是棱CC1的中點。求直線MN與平面A1AC所成角的余弦值。20.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1。點E是棱PC的中點，點F是棱PD的中點。求異面直線EF與平面PAB所成角的正弦值。21.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中點，F(xiàn)是棱C1D1的中點，G是棱C1C的中點。求異面直線EG與BF所成角的余弦值。22.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，AB=BC=1，AA1=2。點D是棱CC1的中點，點E是棱AB的中點。求直線DE與平面A1BC所成角的正切值。四、證明題（本大題共3小題，共30分。請根據(jù)要求進行證明。）23.在正四棱錐P-ABCD中，底面邊長為2，側棱長為√3。證明：PC⊥平面PAB。24.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是直角三角形，∠ABC=90°，AB=BC=1，AA1=2。證明：A1B⊥平面ACC1A1。25.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1。點E是棱PC的中點，點F是棱PD的中點。證明：EF⊥平面PAB。五、綜合題（本大題共2小題，共40分。請根據(jù)要求進行解答。）26.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中點，F(xiàn)是棱C1D1的中點，G是棱C1C的中點。求證：四邊形EGF1F是平行四邊形，并求出其面積。27.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，側棱AA1垂直于底面ABC，AA1=2。點D是棱CC1的中點，點E是棱AB的中點。求證：直線DE與平面A1BC所成的角等于直線DE與平面ABB1A1所成的角，并求出這個角的正弦值。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.A解析：取BC中點O，連接AO，CO，則AO⊥BC，CO⊥BC，∠AOC為直角。連接A1O，則A1O⊥平面ABC，∠A1AD為直線AD與平面A1BC所成角。在Rt△A1AD中，AO=√3，A1A=2，AD=√(AO^2+A1A^2)=√(3+4)=√7，sin∠A1AD=AO/AD=√3/√7=1/2。2.B解析：連接EF，過E作EG⊥PB于G，連接FG。則∠FEG為異面直線EF與PB所成角。在正四棱錐P-ABCD中，E是PC中點，F(xiàn)是PD中點，則EF平行于AC。在Rt△PAB中，AB=2，PB=√(AB^2+AP^2)=√(4+3)=√7，PG=PB/2=√7/2。在Rt△PAC中，AC=√(AB^2+BC^2)=√8，PE=PC/2=√6/2。在Rt△PEG中，cos∠FEG=PG/PE=(√7/2)/(√6/2)=√42/12=√2/2。3.C解析：連接MN，過M作MG⊥B1C于G，連接NG。則∠MNG為直線MN與平面BCC1B1所成角。在直三棱柱ABC-A1B1C1中，M是A1B1中點，N是CC1中點，則MN平行于A1C1。在Rt△BCC1中，BC=1，CC1=2，B1C=√5，MG=BC/2=1/2。在Rt△MNG中，tan∠MNG=MG/BG=1/√2=√2/2。4.A解析：連接EF，過E作EG⊥PB于G，連接FG。則∠FEG為異面直線EF與AC所成角。在四棱錐P-ABCD中，E是PC中點，F(xiàn)是PD中點，則EF平行于AC。在Rt△PAB中，AB=1，PB=√(AB^2+AP^2)=√(1+4)=√5，PG=PB/2=√5/2。在Rt△PAC中，AC=√(AB^2+BC^2)=√(1+4)=√5，PE=PC/2=√5/2。在Rt△PEG中，sin∠FEG=PG/PE=(√5/2)/(√5/2)=1/2。5.B解析：連接AE，BF，過A作AH⊥BF于H，連接EH。則∠AEH為異面直線AE與BF所成角。在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是A1B1中點，F(xiàn)是C1D1中點，則AH=1/2。在Rt△AEH中，sin∠AEH=AH/AE=1/√2=1/2。6.A解析：同第1題。7.B解析：同第2題。8.C解析：同第3題。9.A解析：同第4題。10.B解析：同第5題。11.A解析：同第1題。12.B解析：同第2題。二、填空題答案及解析13.1/2解析：同第5題。14.1/2解析：同第1題。15.1/2解析：同第2題。16.√2/2解析：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，M是A1B1中點，N是CC1中點，則MN平行于A1C1。在Rt△BCC1中，BC=1，CC1=2，B1C=√5，MG=BC/2=1/2。在Rt△MNG中，tan∠MNG=MG/BG=1/√2=√2/2。三、解答題答案及解析17.1/2解析：取BC中點O，連接AO，CO，則AO⊥BC，CO⊥BC，∠AOC為直角。連接A1O，則A1O⊥平面ABC，∠A1AD為直線AD與平面A1BC所成角。在Rt△A1AD中，AO=√3，A1A=2，AD=√(AO^2+A1A^2)=√(3+4)=√7，sin∠A1AD=AO/AD=√3/√7=1/2。18.1解析：連接EF，過E作EG⊥PB于G，連接FG。則∠FEG為異面直線EF與平面PAB所成角。在正四棱錐P-ABCD中，E是PC中點，F(xiàn)是PD中點，則EF平行于AC。在Rt△PAB中，AB=2，PB=√(AB^2+AP^2)=√(4+3)=√7，PG=PB/2=√7/2。在Rt△PAC中，AC=√(AB^2+BC^2)=√8，PE=PC/2=√6/2。在Rt△PEG中，tan∠FEG=PG/PE=(√7/2)/(√6/2)=√42/12=1。19.√2/2解析：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，M是A1B1中點，N是CC1中點，則MN平行于A1C1。在Rt△BCC1中，BC=1，CC1=2，B1C=√5，MG=BC/2=1/2。在Rt△MNG中，cos∠MNG=MG/BG=1/√2=√2/2。20.1/2解析：同第4題。21.√3/3解析：連接EG，BF，過E作EH⊥BF于H，連接GH。則∠EHG為異面直線EG與BF所成角。在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是A1B1中點，F(xiàn)是C1D1中點，G是C1C中點，則EH=1/2。在Rt△EHG中，cos∠EHG=EH/EG=1/√3=√3/3。22.1/2解析：取AB中點O，連接CO，則CO⊥AB。連接A1O，則A1O⊥平面ABC，∠A1CO為直線DE與平面A1BC所成角。在Rt△A1CO中，AO=1/2，A1O=√3，CO=√(A1O^2-AO^2)=√(3-1/4)=√11/2，tan∠A1CO=AO/CO=1/√11/2=1/2。四、證明題答案及解析23.證明：在正四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，則AC⊥BD。PA⊥平面ABCD，AC⊥BD?平面ABCD，則PA⊥AC。又PC⊥平面PAB，AB?平面PAB，則PC⊥AB。AC∩AB=A，AC⊥平面PAB，PC⊥平面PAB，AC∩PC=C，AC⊥PC，即PC⊥平面PAB。24.證明：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC為直角三角形，∠ABC=90°，AB⊥BC。AA1⊥平面ABC，BC?平面ABC，則AA1⊥BC。又AC⊥BC?平面ABC，AA1∩AC=A，AA1⊥平面ACC1A1，AC⊥平面ACC1A1，AA1∩AC=A，AA1⊥AC，即A1B⊥平面ACC1A1。25.證明：在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，AD⊥AB?平面ABCD，則PA⊥AD。又AC⊥BD?平面ABCD，PA⊥平面ABCD，AC∩BD=D，PA⊥AC，即PA⊥平面ACD。AC⊥BD?平面ACD，PA∩AC=A，PA⊥平面ACD，AC⊥平面ACD，PA∩AC=A，PA⊥AC，即EF⊥平面PAB。五、綜合題答案及解析26.證明：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是A1B1中點，F(xiàn)是C1D1中點，G是C1C中點。連接EG，GF，EF，A1C1。則EG平行于A1C1，GF平行于A1C1，EG平行于GF，四邊形EGF1F是平行四邊形。在正方體中，EG=GF=√2，EF=√(EG^2+GF^2)=√(2+2)=2√2，面積S=EG×GF=2×