專題09有理數(shù)混合運(yùn)算易錯(cuò)問題與化簡絕對值問題

內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

析教材學(xué)知識：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

練題型強(qiáng)知識：6大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練

第二步：記

串知識識框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測

過關(guān)測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

知識點(diǎn)01有理數(shù)混合運(yùn)算易錯(cuò)問題

1.運(yùn)算順序混亂：未遵循“先乘方，再乘除，最后加減”的順序，如忽略括號優(yōu)先級，或?qū)ν夁\(yùn)算從左

到右的規(guī)則執(zhí)行錯(cuò)誤（例：誤將3-5×2先算減法）。

2.符號處理失誤：乘除運(yùn)算中忽略負(fù)數(shù)符號，如(-3)÷(-2)誤算為-1.5；加減運(yùn)算中去括號時(shí)符號錯(cuò)誤，

如3-(2-5)誤得3-2-5。

3.分?jǐn)?shù)與小數(shù)轉(zhuǎn)換錯(cuò)誤：混合運(yùn)算中分?jǐn)?shù)與小數(shù)運(yùn)算時(shí)未統(tǒng)一形式，導(dǎo)致計(jì)算出錯(cuò)（如0.5×1/3誤算為

0.5÷3）。

知識點(diǎn)02化簡絕對值相關(guān)知識點(diǎn)

1.絕對值代數(shù)意義：若a>0，則|a|=a；若a=0，|a|=0；若a<0，|a|=-a，需先判斷絕對值內(nèi)數(shù)的正負(fù)性。

2.化簡步驟：先分析絕對值內(nèi)式子的符號，再根據(jù)定義去絕對值符號，如化簡|3-π|時(shí)，因3-π<0，

故|3-π|=π-3。

3.含字母絕對值化簡：需分類討論字母取值范圍，如|a|化簡時(shí)，分a≥0和a<0兩種情況，避免直接去掉

絕對值符號。

【題型1有理數(shù)中乘除混合運(yùn)算易錯(cuò)】

35

例題：（24-25七年級上·四川綿陽·期中）計(jì)算：3．

53

【變式訓(xùn)練】

2

1．（24-25七年級上·廣東佛山·階段練習(xí)）計(jì)算：23．

3

1

1

2．（23-24七年級上·陜西西安·期中）計(jì)算(6)(6)的結(jié)果是．

6

11

3．（24-25七年級上·黑龍江·課后作業(yè)）計(jì)算：125．

255

【題型2含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算】

41

例題：（24-25七年級下·甘肅蘭州·期中）計(jì)算：129

3

【變式訓(xùn)練】

2

1212

1．（24-25六年級上·上?！るA段練習(xí)）計(jì)算：321；

32

4924

2．（24-25七年級上·河北邢臺·階段練習(xí)）計(jì)算：323(1)．

510

2024

3．（24-25七年級上·廣東佛山·階段練習(xí)）計(jì)算：2231021

20242712

4．（24-25七年級上·廣東佛山·階段練習(xí)）計(jì)算：11(3)|23|

43

5．（24-25七年級上·甘肅平?jīng)觥て谀┯?jì)算：

1

(1)2(3)252

2

123

(2)12273(2)

6

【題型3有理數(shù)的混合運(yùn)算中的新定義型問題】

例題：（24-25七年級上·河南周口·階段練習(xí)）定義一種新運(yùn)算：abb2ab．

如：1222122．

(1)23_____；

(2)求123的值．

【變式訓(xùn)練】

1．（24-25七年級上·貴州畢節(jié)·期中）對于任意有理數(shù)a，b，我們定義一種新運(yùn)算“※”，規(guī)定：a※ba2abb2，

2

如：2※32233219．

(1)求8※5的值；

(2)求5※3※2的值．

2．（24-25七年級上·云南紅河·期中）【閱讀理解】

材料一：類比“有理數(shù)的乘方”的定義，我們規(guī)定：求若干個(gè)相同的非零有理數(shù)的商的運(yùn)算，叫作除方，如

2

(3)

222，3333等．把（222記作2讀作“2的括號3次方”；把3333

記作34，讀作“3的括號4次方”．

2

41111

材料二：我們知道除法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，例如：333333．

3333

(1)仿照上例，將下列除方運(yùn)算的結(jié)果寫成冪的形式：

①(4)(5)；

6

1

②；

5

4

21473

(2)求12824的值．

6

3．（24-25七年級上·遼寧阜新·期中）探究規(guī)律，完成相關(guān)題目．

定義“*”運(yùn)算：

(2)*(1)(2212)

22

(3)*(4)(3)(4)；

22

(3)*(4)(3)(1)；

22

(5)*(4)(5)(4)；

0*(5)(5)*0(5)2；

0*002020；

(3)*00*(3)(3)2．

(1)計(jì)算：

①(2)*(5)；

②(1)*1*(3)；

2

③(a)*b*0；

(2)是否存在整數(shù)m，n，使得(m1)*(n2)2，若存在，直接寫出(mn)*(2)的值，若不存在，說明理

由．

【題型4根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸的位置化簡絕對值】

例題：（23-24七年級上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，且ab．

(1)填空：ac0；ab0．（“＜”或“＞”或“＝”填空）

(2)化簡代數(shù)式：acabb2a．

【變式訓(xùn)練】

3

1．（23-24七年級上·廣東揭陽·期中）已知a，b，c三個(gè)數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示．

(1)試判斷式子acab的符號；

(2)化簡：abacab．

2．（23-24七年級上·四川瀘州·期末）a，b，c在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，

(1)判斷下列各式與0的大小：①ac0；②ab0；③abc0；

(2)化簡式子：|b||ab||cb∣．

3．（24-25七年級上·重慶巴南·階段練習(xí)）有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖：

(1)用“”或“”填空：a_____0，ac_____0，ba_____0，ab_____cb．

2ac3abc

(2)化簡：ab

acabc

【題型5利用分類討論數(shù)學(xué)思想化簡絕對值】

abc

例題：（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）數(shù)學(xué)思想·分類討論已知abc0，則的值是多少？

abc

【變式訓(xùn)練】

1．（23-24七年級上·浙江杭州·期中）在學(xué)習(xí)一個(gè)數(shù)的絕對值過程中，化簡a時(shí)，可以這樣分類：當(dāng)a0時(shí)，

aa；當(dāng)a0時(shí)，a0；當(dāng)a0時(shí)，aa．請用這種方法解決下列問題．

aa

(1)當(dāng)a3時(shí)，則______；當(dāng)a2時(shí)，則______．

aa

ab

(2)已知a，b是有理數(shù)，當(dāng)ab0時(shí)，試求的值．

ab

abcbcacab

(3)已知a，b，c是非零有理數(shù)，滿足abc0且1，求的值．

abcabc

2．（23-24七年級上·浙江杭州·期中）在學(xué)習(xí)一個(gè)數(shù)的絕對值過程中，化簡a時(shí)，可以這樣分類：當(dāng)a0時(shí)，

aa；當(dāng)a0時(shí)，a0；當(dāng)a0時(shí)，aa．請用這種方法解決下列問題．

aa

(1)當(dāng)a3時(shí)，則______；當(dāng)a2時(shí)，則______．

aa

ab

(2)已知a，b是有理數(shù)，當(dāng)ab0時(shí)，試求的值．

ab

4

abcbcacab

(3)已知a，b，c是非零有理數(shù)，滿足abc0且1，求的值．

abcabc

3．（24-25七年級上·四川遂寧·階段練習(xí)）探究題：閱讀下列材料并解決有關(guān)問題．

x,x0

xxxx

我們知道x0,x0，所以當(dāng)x0時(shí)，1；當(dāng)x0時(shí)，1．

|x|x|x|x

x,x0

請用上面的結(jié)論解決下列問題：

ab

(1)已知a，b是有理數(shù)，當(dāng)ab0時(shí)，．

|a||b|

abc

(2)已知a，b，c是有理數(shù)，當(dāng)abc0時(shí)，．

|a||b||c|

|abcd|abcd

(3)已知a，b，c，d是有理數(shù)，當(dāng)1時(shí)，的最大值是．

abcd|a||b||c||d|

【題型6利用點(diǎn)在數(shù)軸上的幾何意義化簡絕對值】

例題：（24-25七年級上·重慶萬州·階段練習(xí)）閱讀下面材料：如圖，點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，

則A、B兩點(diǎn)之間的距離可以表示為ab，根據(jù)閱讀材料與你的理解回答下列問題：

(1)數(shù)軸上表示3與2的兩點(diǎn)之間的距離是；

(2)數(shù)軸上有理數(shù)x與有理數(shù)7所對應(yīng)兩點(diǎn)之間的距離用絕對值符號可以表示為；

(3)代數(shù)式x25可以表示數(shù)軸上有理數(shù)x與有理數(shù)所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離；若x2518，則x______；

(4)求代數(shù)式x1008x504x1007的最小值為．

【變式訓(xùn)練】

1．（24-25七年級上·河南駐馬店·期末）同學(xué)們都知道，4-(-2)表示4與2之差的絕對值，實(shí)際上也可以

理解為4與2兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離．例如，5x的幾何意義是數(shù)軸上表示有理數(shù)5的點(diǎn)

與表示有理數(shù)x的點(diǎn)之間的距離．根據(jù)所學(xué)知識試探索下列問題的答案．

(1)若x5x3，則x．

(2)請找出符合條件的x，使得x5x29．

(3)由以上探索猜想：對于任何有理數(shù)x,x2x6是否有最小值？如果有，寫出最小值；如果沒有，說明

理由．

2．（24-25七年級上·云南曲靖·期中）閱讀下面材料：點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，在數(shù)軸上A、

B兩點(diǎn)之間的距離AB=a-b．回答下列問題：

5

(1)數(shù)軸上表示3和1兩點(diǎn)之間的距離是____，數(shù)軸上表示x和2的兩點(diǎn)之間的距離是____；

(2)數(shù)軸上表示a和1的兩點(diǎn)之間的距離為6，則a表示的數(shù)為____；

(3)若x表示一個(gè)有理數(shù)，則x2x4有最小值嗎？若有，請求出最小值；若沒有，請說明理由．

3．（24-25七年級上·廣東湛江·期中）先閱讀，結(jié)合數(shù)軸與絕對值的知識回答下列問題：

【閱讀】：52表示5與2差的絕對值，也可理解為5與2兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離；52可

以看作52，表示5與2的差的絕對值，也可理解為5與2兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離．

【探索】：

(1)數(shù)軸上表示3和2兩點(diǎn)之間的距離是________；一般地、數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點(diǎn)之間的距離等于

mn．如果表示數(shù)a和1的兩點(diǎn)之間的距離是3，那么a的值為________．

(2)若a32，b21，且數(shù)a、b在數(shù)軸上表示的點(diǎn)分別是點(diǎn)A、點(diǎn)B，則A、B兩點(diǎn)間的最大距離是

________，最小距離是________；

(3)利用數(shù)軸找出所有符合條件的整數(shù)點(diǎn)x，使得x2x57，這些點(diǎn)表示的數(shù)的和是________．

(4)應(yīng)用：小明媽媽要租房，使小明到學(xué)校與媽媽到上班地點(diǎn)距離和最小，若把租房地記作x，媽媽上班地

點(diǎn)記作1，小明學(xué)校記作2，那么距離和x1x2的最小值是：________．

(5)拓展：x1x2x3x4x50的最小值是：________．

一、單選題

6

25

1．（23-24七年級上·青海西寧·期中）計(jì)算6的結(jié)果等于（）

39

A．10B．10C．5D．5

2．（2025·河南開封·二模）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，下列結(jié)論正確的是（）

A．a(chǎn)+b<0B．a(chǎn)b0

a

C．a(chǎn)b0D．0

b

3．（24-25七年級上·山東濟(jì)南·期中）已知非零實(shí)數(shù)x，y，z滿足xyyzzx0，且xyz0，

xyz

則的值為（）

xyz

A．1B．1C．3D．3

4．（23-24七年級上·四川眉山·期末）定義一種對正整數(shù)n的“C運(yùn)算”：①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為3n1；②

nn

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，結(jié)果為（其中k是使為奇數(shù)的正整數(shù)）并且運(yùn)算重復(fù)進(jìn)行，例如：n66時(shí)，其“C運(yùn)

2k2k

算”如下：

若n26，則第2023次“C運(yùn)算”的結(jié)果是（）

3

A．4B．1C．16D．

2

二、填空題

78

5．（24-25七年級上·北京順義·期末）計(jì)算：3.5.

87

6．（2025·四川資陽·模擬預(yù)測）有理數(shù)m、n對應(yīng)點(diǎn)在數(shù)軸上的位置，若圖所示，則下列關(guān)系中正確的有

（填寫序號）．

11

①mn0；②mn0；③；④2mn0；⑤nm0．

mn

7．（24-25七年級上·西藏林芝·期中）新定義：規(guī)定“!”是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算符號，且1!1，2!212，

100!

3!3216，4!432124，，則．

98!

8．（24-25七年級上·安徽蚌埠·期中）下列結(jié)論：①若a為有理數(shù)，則a0；②若ab0，則ab0；

babc

③若ab0，則1；④若abc0，則3，則其中正確的結(jié)論的是（填序號）．

aabc

7

三、解答題

9．（24-25七年級上·湖南長沙·階段練習(xí)）計(jì)算：

131

(1)222；

5112

7537

(2)36．

96418

10．（24-25七年級上·山西呂梁·期末）計(jì)算：

2215

(1)6

3412

63

(2)120241822

5

11．（24-25七年級上·山東聊城·期末）計(jì)算

2

202413

(1)1245；

2

1131

(2)；

36436

411414

(3)21．

544525

12．（24-25七年級上·甘肅定西·期中）我們定義一種新運(yùn)算：aba2bab．例如：13123131．

(1)求23的值；

(2)求224的值．

13．（24-25七年級上·湖北恩施·期中）已知有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，且ab．

a

(1)求ab與的值．

b

ab3bc

(2)化簡：．

abbc

14．（24-25七年級上·浙江金華·階段練習(xí)）定義新運(yùn)算：當(dāng)ab時(shí)，abab21；當(dāng)ab時(shí)，

abb2a1；當(dāng)其中a，b是實(shí)數(shù)，如3232212．計(jì)算：

12

(1)；

43

(2)[32]2．

15．（24-25七年級上·福建漳州·期中）結(jié)合數(shù)軸與絕對值的知識回答下列問題：

(1)數(shù)軸上表示1和4的兩點(diǎn)之間的距離是_______；數(shù)軸上表示3和2兩點(diǎn)之間的距離是_______；一般地，

8

數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點(diǎn)之間的距離等于mn．如數(shù)軸上表示數(shù)x與數(shù)5兩點(diǎn)之間的距離等于x5．

(2)若數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)x，求x4x2的最小值；

(3)若數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)x，當(dāng)x4x2xa的最小值為10（a為常數(shù)），求a的值．

111

16．（24-25八年級上·湖南邵陽·期末）定義新運(yùn)算：ab，ab（右邊的運(yùn)算為平常的加、

abab

減、乘、除）．

11411

例如：37，37．

37213721

若abab，則稱有理數(shù)a，b為“隔一數(shù)對”．

11111

例如：23，23，2323，所以2，3就是一對“隔一數(shù)對”．

236236

(1)下列各組數(shù)是“隔一數(shù)對”的是______（請?zhí)钚蛱枺?/p>

41

①a，b；②a1，b1；

33

(2)計(jì)算：343445．

(3)已知兩個(gè)連續(xù)的非零整數(shù)都是“隔一數(shù)對”．計(jì)算：

1223344520192020．

17．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，我們常用到“分類討論”的數(shù)學(xué)思想，下面

是運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決問題的過程，請仔細(xì)閱讀，并解答問題．

abc

【提出問題】三個(gè)有理數(shù)a，b，c滿足abc0，求的值．

abc

【解決問題】解：由題意，得a，b，c三個(gè)有理數(shù)都為正數(shù)或其中一個(gè)為正數(shù)，另兩個(gè)為負(fù)數(shù)．

①a，b，c都是正數(shù)，即a0，b0，c0時(shí)，

ab