專題09有理數(shù)混合運算易錯問題與化簡絕對值問題

內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

析教材學(xué)知識：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

練題型強知識：6大核心考點精準練

第二步：記

串知識識框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識框架、學(xué)習(xí)目標復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測

過關(guān)測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補缺快速提升

知識點01有理數(shù)混合運算易錯問題

1.運算順序混亂：未遵循“先乘方，再乘除，最后加減”的順序，如忽略括號優(yōu)先級，或?qū)ν夁\算從左

到右的規(guī)則執(zhí)行錯誤（例：誤將3-5×2先算減法）。

2.符號處理失誤：乘除運算中忽略負數(shù)符號，如(-3)÷(-2)誤算為-1.5；加減運算中去括號時符號錯誤，

如3-(2-5)誤得3-2-5。

3.分數(shù)與小數(shù)轉(zhuǎn)換錯誤：混合運算中分數(shù)與小數(shù)運算時未統(tǒng)一形式，導(dǎo)致計算出錯（如0.5×1/3誤算為

0.5÷3）。

知識點02化簡絕對值相關(guān)知識點

1.絕對值代數(shù)意義：若a>0，則|a|=a；若a=0，|a|=0；若a<0，|a|=-a，需先判斷絕對值內(nèi)數(shù)的正負性。

2.化簡步驟：先分析絕對值內(nèi)式子的符號，再根據(jù)定義去絕對值符號，如化簡|3-π|時，因3-π<0，

故|3-π|=π-3。

3.含字母絕對值化簡：需分類討論字母取值范圍，如|a|化簡時，分a≥0和a<0兩種情況，避免直接去掉

絕對值符號。

【題型1有理數(shù)中乘除混合運算易錯】

35

例題：（24-25七年級上·四川綿陽·期中）計算：3．

53

251

【答案】/8

33

【知識點】有理數(shù)乘除混合運算

【分析】本題主要考查有理數(shù)乘除法，原式先把除法轉(zhuǎn)換為乘法，進行乘法計算即可．

1

35

【詳解】解：3

53

55

3

33

25

．

3

【變式訓(xùn)練】

2

1．（24-25七年級上·廣東佛山·階段練習(xí)）計算：23．

3

【答案】9

【知識點】有理數(shù)乘除混合運算

【分析】本題考查有理數(shù)的乘除法混合運算，先把除法轉(zhuǎn)化為乘法，然后約分解題即可．

23

【詳解】解：23239，

32

故答案為：9．

1

2．（23-24七年級上·陜西西安·期中）計算(6)(6)的結(jié)果是．

6

1

【答案】

6

【知識點】有理數(shù)乘除混合運算

【分析】本題考查了有理數(shù)的乘除混合運算，熟練掌握有理數(shù)的乘除混合運算法則是解答本題的關(guān)鍵．先

計算有理數(shù)除法，再計算有理數(shù)乘法，即得答案．

1

【詳解】(6)(6)

6

1

1

6

1

．

6

1

故答案為：．

6

11

3．（24-25七年級上·黑龍江·課后作業(yè)）計算：125．

255

【答案】25

【知識點】有理數(shù)乘除混合運算

【分析】本題主要考查了有理數(shù)乘除混合運算，熟練掌握運算法則，是解題的關(guān)鍵．先變除法為乘法，然

后根據(jù)有理數(shù)乘法運算法則進行計算即可．

11

【詳解】解：125

255

2

1

1255

25

1

1255

25

25．

故答案為：25．

【題型2含乘方的有理數(shù)混合運算】

41

例題：（24-25七年級下·甘肅蘭州·期中）計算：129

3

【答案】4

【知識點】含乘方的有理數(shù)混合運算

【分析】本題考查了含乘方的有理數(shù)混合運算，掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．先計算乘方和絕對值，再

計算乘除法，最后計算加減法即可．

41

【詳解】解：129

3

1239

169

4．

【變式訓(xùn)練】

2

1212

1．（24-25六年級上·上?！るA段練習(xí)）計算：321；

32

2

【答案】

3

【知識點】含乘方的有理數(shù)混合運算

【分析】本題主要考查了含乘方的有理數(shù)混合計算，按照先計算乘方，再計算乘除法，最后計算加減法，

有括號先計算括號的運算順序求解即可．

2

1212

【詳解】解：321

32

11

921

34

1

981

3

1

11

3

1

1

3

3

2

．

3

4924

2．（24-25七年級上·河北邢臺·階段練習(xí)）計算：323(1)．

510

11

【答案】

3

【知識點】含乘方的有理數(shù)混合運算

【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，解題的關(guān)鍵是掌握運算法則和運算順序．

先計算乘方，然后計算乘除，最后計算加減．

410

【詳解】解：原式3431

59

8

43

3

11

．

3

2024

3．（24-25七年級上·廣東佛山·階段練習(xí)）計算：2231021

【答案】5

【知識點】含乘方的有理數(shù)混合運算

【分析】本題主要考查有理數(shù)的混合運算，原式分別計算乘方、絕對值，再計算乘法，最后進行加法運算

即可得到答案．

2024

【詳解】解：2231021

4721

472

5．

20242712

4．（24-25七年級上·廣東佛山·階段練習(xí)）計算：11(3)|23|

43

1

【答案】

2

【知識點】含乘方的有理數(shù)混合運算

【分析】此題考查了有理數(shù)的混合運算．

先算乘方，化簡絕對值，括號內(nèi)的運算，再算乘除法，最后算加減．

20242712

【詳解】11(3)|23|

43

2721

11，

439

1

11，

2

4

1

．

2

5．（24-25七年級上·甘肅平?jīng)觥て谀┯嬎悖?/p>

1

(1)2(3)252

2

123

(2)12273(2)

6

【答案】(1)14

(2)26

【知識點】含乘方的有理數(shù)混合運算

【分析】本題考查有理數(shù)混合運算，熟練掌握有理數(shù)運算法則是解題的關(guān)鍵．

（1）先計算乘方，再計算乘法，最后計算加減即可

（2）先計算乘方與求絕對值，再計算乘法，最后計算加減即可．

【詳解】（1）解：原式2951

1851

14；

（2）解：原式22798

26．

【題型3有理數(shù)的混合運算中的新定義型問題】

例題：（24-25七年級上·河南周口·階段練習(xí)）定義一種新運算：abb2ab．

如：1222122．

(1)23_____；

(2)求123的值．

【答案】(1)3

(2)9

【知識點】含乘方的有理數(shù)混合運算

【分析】本題考查了新定義，以及含乘方的有理數(shù)的混合運算，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．

（1）根據(jù)abb2ab，代入數(shù)值計算，即可作答．

（2）先算出126，再計算63，即可作答．

2

【詳解】（1）解：依題意，233233，

故答案為：3；

（2）解：依題意，1222126，

6332369．

5

【變式訓(xùn)練】

1．（24-25七年級上·貴州畢節(jié)·期中）對于任意有理數(shù)a，b，我們定義一種新運算“※”，規(guī)定：a※ba2abb2，

2

如：2※32233219．

(1)求8※5的值；

(2)求5※3※2的值．

【答案】(1)49；

(2)109．

【知識點】含乘方的有理數(shù)混合運算

【分析】本題主要考查了有理數(shù)的混合運算，理解新定義是解題的關(guān)鍵．

（1）直接根據(jù)新定義的法則，結(jié)合有理數(shù)的相應(yīng)的運算法則進行運算即可．

（2）先根據(jù)新定義計算3※2，再計算5※7即可求解．

22

【詳解】（1）解：8※(5)8855

644025

49．

所以(8)※(5)的值為49．

（2）解：3※2323222

964

7；

2

5※755772

253549

109．

所以(5)※(3※2)的值為109．

2．（24-25七年級上·云南紅河·期中）【閱讀理解】

材料一：類比“有理數(shù)的乘方”的定義，我們規(guī)定：求若干個相同的非零有理數(shù)的商的運算，叫作除方，如

(3)

222，3333等．把（222記作2讀作“2的括號3次方”；把3333

記作34，讀作“3的括號4次方”．

2

41111

材料二：我們知道除法運算可以轉(zhuǎn)化為乘法運算，例如：333333．

3333

(1)仿照上例，將下列除方運算的結(jié)果寫成冪的形式：

①(4)(5)；

6

1

②；

5

6

4

21473

(2)求12824的值．

6

3

1

【答案】(1)①；②54

4

3

(2)

16

【知識點】有理數(shù)乘除混合運算、含乘方的有理數(shù)混合運算

【分析】本題考查有理數(shù)乘除運算法則及對有理數(shù)乘方運算的理解，理解新定義內(nèi)容，掌握有理數(shù)乘除法

和有理數(shù)乘方的運算法則是解題關(guān)鍵．

（1）根據(jù)除方的概念的運算法則進行計算；

（2）根據(jù)除方內(nèi)容結(jié)合有理數(shù)的乘除法運算法則進行計算即可．

5

【詳解】（1）解：①(4)44444

1111

4

4444

3

1

；

4

6

1111111

②

5555555

1

55555

5

54．

4

21473

（2）解：12824

6

25

2111

144(6)

824

111

14436

64324

11

168

3

．

16

3．（24-25七年級上·遼寧阜新·期中）探究規(guī)律，完成相關(guān)題目．

定義“*”運算：

(2)*(1)(2212)

22

(3)*(4)(3)(4)；

22

(3)*(4)(3)(1)；

7

22

(5)*(4)(5)(4)；

0*(5)(5)*0(5)2；

0*002020；

(3)*00*(3)(3)2．

(1)計算：

①(2)*(5)；

②(1)*1*(3)；

2

③(a)*b*0；

(2)是否存在整數(shù)m，n，使得(m1)*(n2)2，若存在，直接寫出(mn)*(2)的值，若不存在，說明理

由．

【答案】(1)①29；②101；③a4，a4b4；

(2)存在，29或5．

【知識點】含乘方的有理數(shù)混合運算

【分析】本題考查有理數(shù)的運算，新定義運算；理解新定義是解題的關(guān)鍵．

（1）根據(jù)新定義進行計算即可；

（2）判斷(m1)，(n2)異號，根據(jù)題意求出mn的值為1或5，即可得到答案．

22

【詳解】（1）解：①(2)*(5)(2)(5)42529；

22

②1*(3)1(3)10

22

(1)*1*(3)(1)*(10)(1)(10)101；

224

③當b0時，(a)*b*0(a)*0a；

當b0時，b*0b2，

22222224444

(a)*b*0(a)*b(a)(b)(ab)ab；

（2）解：存在，理由如下：

(m1)*(n2)2，算出來的答案為負數(shù)，

故(m1)，(n2)異號，

m，n是整數(shù)，

m11,n21或m11,n21，

解得：m0,n1或m2,n3，

mn0(1)1或mn2(3)5，

綜上，mn的值為1或5，

5*(2)29，

8

1*(2)5．

【題型4根據(jù)點在數(shù)軸的位置化簡絕對值】

例題：（23-24七年級上·江蘇揚州·階段練習(xí)）有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，且ab．

(1)填空：ac0；ab0．（“＜”或“＞”或“＝”填空）

(2)化簡代數(shù)式：acabb2a．

【答案】(1)；

(2)c

【知識點】兩個有理數(shù)的乘法運算、有理數(shù)加法運算、帶有字母的絕對值化簡問題、根據(jù)點在數(shù)軸的位置

判斷式子的正負

【分析】本題考查了利用數(shù)軸判斷式子的正負和化簡絕對值，解題關(guān)鍵是得到式子的正負，兩數(shù)相乘，同

號得正異號得負，絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，和取絕對值較大的加數(shù)的符號．

（1）根據(jù)a0，b0，c0和ab即可判斷正負；

（2）先判斷絕對值內(nèi)式子的正負，再去掉絕對值進行化簡即可．

【詳解】（1）解：∵a0，b0，c0，且ab，

∴ac0，ab0；

故答案分別為：；；

（2）解：∵ca0b且ab，

∴ac0，ab0，2a0，

∴acabb2aacbab2ac．

【變式訓(xùn)練】

1．（23-24七年級上·廣東揭陽·期中）已知a，b，c三個數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示．

(1)試判斷式子acab的符號；

(2)化簡：abacab．

【答案】(1)acab0

(2)3ac

【知識點】兩個有理數(shù)的乘法運算、帶有字母的絕對值化簡問題、整式的加減運算、根據(jù)點在數(shù)軸的位置

判斷式子的正負

【分析】（1）由a，b，c三個數(shù)在數(shù)軸上的位置得出ca0b，ab0，得出ac0，ab0，即

可得出結(jié)果；

9

（2）由絕對值的意義求出各個絕對值，再合并即可．

【詳解】（1）根據(jù)a，b，c三個數(shù)在數(shù)軸上的位置得：

ca0b，ab0，

∴ac0，ab0，

∴acab0；

（2）|abac|ab

abacab

abacab

3ac．

【點睛】本題考查了數(shù)軸和有理數(shù)的關(guān)系、絕對值的意義、整式的加減；熟練掌握數(shù)軸和有理數(shù)的關(guān)系、

絕對值的意義，并能進行推理計算是解決問題的關(guān)鍵．

2．（23-24七年級上·四川瀘州·期末）a，b，c在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，

(1)判斷下列各式與0的大?。孩賏c0；②ab0；③abc0；

(2)化簡式子：|b||ab||cb∣．

【答案】(1)

①；②；③

(2)abc

【知識點】兩個有理數(shù)的乘法運算、有理數(shù)的加減混合運算、帶有字母的絕對值化簡問題、根據(jù)點在數(shù)軸

的位置判斷式子的正負

【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸可得cb0a，ca，ba，再根據(jù)有理數(shù)的運算法則即可求解；

（2）由a+b<0，cb0，判斷出ab、cb的符號，根據(jù)絕對值的性質(zhì)去掉絕對值符號，再合并即可

得到結(jié)果；

本題考查了絕對值、數(shù)軸及有理數(shù)的運算，通過數(shù)軸判斷出絕對值符號里面式子的符號是解題的關(guān)鍵．

【詳解】（1）解：由數(shù)軸可得，cb0a，ca，ba，

∴ac0，ab>0，abc0，

故答案為：，，；

（2）解：∵cb0a，ba，

∴a+b<0，cb0，

∴原式babbc，

babbc，

abc．

10

3．（24-25七年級上·重慶巴南·階段練習(xí)）有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖：

(1)用“”或“”填空：a_____0，ac_____0，ba_____0，ab_____cb．

2ac3abc

(2)化簡：ab

acabc

【答案】(1)；；；

(2)ab4

【知識點】有理數(shù)的減法運算、有理數(shù)加法運算、有理數(shù)四則混合運算、根據(jù)點在數(shù)軸的位置判斷式子的

正負

【分析】本題主要考查了有理數(shù)與數(shù)軸，有理數(shù)的四則混合計算，化簡絕對值：

（1）根據(jù)數(shù)軸可得a0bc，cab，據(jù)此根據(jù)有理數(shù)的加減計算法則求解即可；

（2）由（1）可知，ab0，ab0，c0，據(jù)此化簡絕對值，然后根據(jù)有理數(shù)的四則混合計算法則求解

即可．

【詳解】（1）解：由數(shù)軸可知，a0bc，cab，

∴ac0，ba0，ab0cb，

故答案為：；；；；

（2）解：由（1）可知，ab0，ab0，c0，

2ac3abc

∴ab

acabc

3abc

ab2

abc

ab231

ab4．

【題型5利用分類討論數(shù)學(xué)思想化簡絕對值】

abc

例題：（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）數(shù)學(xué)思想·分類討論已知abc0，則的值是多少？

abc

【答案】3或3或1或1

【知識點】帶有字母的絕對值化簡問題、有理數(shù)的除法運算

【分析】本題考查有理數(shù)的加減法及絕對值的性質(zhì)的應(yīng)用，熟練掌握絕對值的性質(zhì)和分類討論的思想是解

題的關(guān)鍵．

根據(jù)題意得到a0，b0，c0，再根據(jù)題意分類討論，即可得到答案．

【詳解】解：∵abc0，故a0，b0，c0，

①當a，b，c都大于0時，原式1113；

11

②當a，b，c都小于0時，原式1113；

③當a，b，c中有一個大于0，兩個小于0時，原式1111；

④當a，b，c中有一個小于0，兩個大于0時，原式1111．

abc

∴的值是3或3或1或1．

abc

【變式訓(xùn)練】

1．（23-24七年級上·浙江杭州·期中）在學(xué)習(xí)一個數(shù)的絕對值過程中，化簡a時，可以這樣分類：當a0時，

aa；當a0時，a0；當a0時，aa．請用這種方法解決下列問題．

aa

(1)當a3時，則______；當a2時，則______．

aa

ab

(2)已知a，b是有理數(shù)，當ab0時，試求的值．

ab

abcbcacab

(3)已知a，b，c是非零有理數(shù)，滿足abc0且1，求的值．

abcabc

【答案】(1)1；1

(2)2或2

(3)1

【知識點】有理數(shù)的除法運算、絕對值的幾何意義

【分析】此題主要考查了絕對值的意義和有理數(shù)的混合運算，

（1）直接將a3，a2代入求出答案；

（2）分別利用a0，b0或a0，b0分析得出答案；

（3）根據(jù)題意得出a，b，c中有兩個為正數(shù)，一個為負數(shù)，設(shè)a0，b0，c0代入即可求解．

aa

【詳解】（1）解：當a3時，則1；當a2時，則1

aa

故答案為：1；1

（2）解：當ab0時，則a，b同號

ab

①當a0，b0時，2

ab

ab

②當a0，b0時，2

ab

（3）解：由abc0，得abc，acb，bca

abc

abc0且1

abc

a，b，c中有兩個為正數(shù)，一個為負數(shù)

不妨設(shè)a0，b0，c0

12

abc

則原式1

abc

2．（23-24七年級上·浙江杭州·期中）在學(xué)習(xí)一個數(shù)的絕對值過程中，化簡a時，可以這樣分類：當a0時，

aa；當a0時，a0；當a0時，aa．請用這種方法解決下列問題．

aa

(1)當a3時，則______；當a2時，則______．

aa

ab

(2)已知a，b是有理數(shù)，當ab0時，試求的值．

ab

abcbcacab

(3)已知a，b，c是非零有理數(shù)，滿足abc0且1，求的值．

abcabc

【答案】(1)1；1

(2)2或2

(3)1

【知識點】有理數(shù)的除法運算、絕對值的幾何意義

【分析】此題主要考查了絕對值的意義和有理數(shù)的混合運算，

（1）直接將a3，a2代入求出答案；

（2）分別利用a0，b0或a0，b0分析得出答案；

（3）根據(jù)題意得出a，b，c中有兩個為正數(shù)，一個為負數(shù)，設(shè)a0，b0，c0代入即可求解．

aa

【詳解】（1）解：當a3時，則1；當a2時，則1

aa

故答案為：1；1

（2）解：當ab0時，則a，b同號

ab

①當a0，b0時，2

ab

ab

②當a0，b0時，2

ab

（3）解：由abc0，得abc，acb，bca

abc

abc0且1

abc

a，b，c中有兩個為正數(shù)，一個為負數(shù)

不妨設(shè)a0，b0，c0

abc

則原式1

abc

3．（24-25七年級上·四川遂寧·階段練習(xí)）探究題：閱讀下列材料并解決有關(guān)問題．

13

x,x0

xxxx

我們知道x0,x0，所以當x0時，1；當x0時，1．

|x|x|x|x

x,x0

請用上面的結(jié)論解決下列問題：

ab

(1)已知a，b是有理數(shù)，當ab0時，．

|a||b|

abc

(2)已知a，b，c是有理數(shù)，當abc0時，．

|a||b||c|

|abcd|abcd

(3)已知a，b，c，d是有理數(shù)，當1時，的最大值是．

abcd|a||b||c||d|

【答案】(1)2

(2)3或1

(3)2

【知識點】絕對值的幾何意義、有理數(shù)的除法運算

【分析】本題主要考查了絕對值的意義，

（1）根據(jù)ab0，得出a0，b0或a<0，b0，然后根據(jù)絕對值的意義化簡絕對值即可；

（2）根據(jù)abc0，得出a、b、c中有3個負數(shù)或一負兩正，然后根據(jù)絕對值的意義化簡絕對值即可；

|abcd|

（3）根據(jù)1，得出a、b、c、d中有1個或3個負數(shù)，然后根據(jù)絕對值的意義化簡絕對值即可

abcd

求解．

【詳解】（1）解：∵ab0，

∴a、b同號，即a0，b0或a<0，b0，

abab

∴112或112；

abab

ab

∴當ab0時，2；

ab

故答案為：2．

（2）解：∵abc0，

∴a、b、c中有3個負數(shù)或兩正一負，

abc

當a、b、c都是負數(shù)時，1113；

abc

abc

當a、b、c中有兩正一負時，設(shè)a0,b0,c0，1111；

abc

abc

∴abc0時，的值為3或1；

abc

故答案為：3或1．

14

|abcd|

（3）解：∵1，

abcd

∴a、b、c、d中有1個或3個負數(shù)

abcd

設(shè)a0,b0,c0,d0，11112

|a||b||c||d|

abcd

設(shè)a0,b0,c0,d0，11112

|a||b||c||d|

abcd

∴的最大值是2．

|a||b||c||d|

【題型6利用點在數(shù)軸上的幾何意義化簡絕對值】

例題：（24-25七年級上·重慶萬州·階段練習(xí)）閱讀下面材料：如圖，點A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，

則A、B兩點之間的距離可以表示為ab，根據(jù)閱讀材料與你的理解回答下列問題：

(1)數(shù)軸上表示3與2的兩點之間的距離是；

(2)數(shù)軸上有理數(shù)x與有理數(shù)7所對應(yīng)兩點之間的距離用絕對值符號可以表示為；

(3)代數(shù)式x25可以表示數(shù)軸上有理數(shù)x與有理數(shù)所對應(yīng)的兩點之間的距離；若x2518，則x______；

(4)求代數(shù)式x1008x504x1007的最小值為．

【答案】(1)5

(2)x-7

(3)43或7

(4)504

【知識點】數(shù)軸上兩點之間的距離、絕對值的幾何意義

【分析】本題考查絕對值的幾何意義，數(shù)軸上兩點間距離公式：

（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點間距離公式即可求解；

（2）根據(jù)數(shù)軸上兩點間距離公式即可求解；

（3）x2518表示數(shù)軸上有理數(shù)x與25所對應(yīng)的兩點之間的距離為18，由此可解；

（4）先計算x1008x504的最小值，結(jié)合數(shù)軸，可得x1008x504x1007的最小值為

1008504．

【詳解】（1）解：數(shù)軸上表示3與2的兩點之間的距離是：32325，

故答案為：5；

（2）解：數(shù)軸上有理數(shù)x與有理數(shù)7所對應(yīng)兩點之間的距離用絕對值符號可以表示為：x7，

15

故答案為：x7；

（3）解：x2518表示數(shù)軸上有理數(shù)x與25所對應(yīng)的兩點之間的距離為18，

因此x251843或x25187，

故答案為：43或7；

（4）解：當504x1008時，x1008x504有最小值，

最小值為：1008504504，

所以x504504504，當x504時，等號成立，

所以x1008x504x1007的最小值為：504．

故答案為：504．

【變式訓(xùn)練】

1．（24-25七年級上·河南駐馬店·期末）同學(xué)們都知道，4-(-2)表示4與2之差的絕對值，實際上也可以

理解為4與2兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點之間的距離．例如，5x的幾何意義是數(shù)軸上表示有理數(shù)5的點

與表示有理數(shù)x的點之間的距離．根據(jù)所學(xué)知識試探索下列問題的答案．

(1)若x5x3，則x．

(2)請找出符合條件的x，使得x5x29．

(3)由以上探索猜想：對于任何有理數(shù)x,x2x6是否有最小值？如果有，寫出最小值；如果沒有，說明

理由．

【答案】(1)1

(2)x3或x6

(3)有最小值，最小值為4

【知識點】數(shù)軸上兩點之間的距離、絕對值的幾何意義

【分析】本題考查了絕對值的幾何意義，會利用絕對值的幾何意義是解題的關(guān)鍵．

（1）將x5x3改寫成規(guī)定形式：x5x3，再根據(jù)絕對值的幾何意義求解；

（2）將x5x29改寫成規(guī)定形式：x5x29，表示在數(shù)軸上找出某點x，使它到5與它

到2的距離之和為9，畫出數(shù)軸，分類討論求解；

（3）x2x6的最小值表示在數(shù)軸上找出某點x，使它到2的距離與它到6的距離之和最小，畫出數(shù)

軸分析求解即可．

【詳解】（1）解：將x5x3改寫成規(guī)定形式：x5x3，

表示在數(shù)軸上找出某一點x，使它到5與它到3的距離相等，

根據(jù)幾何意義可知，它是5和3的中點，畫出數(shù)軸知，x1；

16

故答案為：1；

（2）解：將x5x29改寫成規(guī)定形式：x5x29，表示在數(shù)軸上找出某點x，使它到5與

它到2的距離之和為9，畫出數(shù)軸如下：

觀察發(fā)現(xiàn)：當x在5與2之間（包括這兩點）時，x到5與x到2的距離之和為79.

所以討論如下：

當x5時，x5是負數(shù)，x2也是負數(shù)，x5x2(x5)[(x2)]2x39，解得x6；

當5x2時，x5是非負數(shù)，x2是非正數(shù)，x5x2(x5)[(x2)]79，無解；

當x2時，x5是正數(shù)，x2也是正數(shù)，x5x2(x5)(x2)2x39，解得x3.

所以，x3或x6滿足x5x29；

（3）解：x2x6有最小值，最小值為4，理由如下：

x2x6就是規(guī)定形式，x2x6的最小值表示在數(shù)軸上找出某點x，使它到2的距離與它到6的

距離之和最小，畫出數(shù)軸如下：

觀察發(fā)現(xiàn)：

當x在2與6之間時（包括這兩點），x到2的距離與x到6的距離之和是4；

當x2和x6時，x到2的距離與x到6的距離之和都大于4，

所以x2x6有最小值，最小值為4．

2．（24-25七年級上·云南曲靖·期中）閱讀下面材料：點A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，在數(shù)軸上A、

B兩點之間的距離AB=a-b．回答下列問題：

(1)數(shù)軸上表示3和1兩點之間的距離是____，數(shù)軸上表示x和2的兩點之間的距離是____；

(2)數(shù)軸上表示a和1的兩點之間的距離為6，則a表示的數(shù)為____；

(3)若x表示一個有理數(shù)，則x2x4有最小值嗎？若有，請求出最小值；若沒有，請說明理由．

【答案】(1)4，x2

(2)7或5

(3)有最小值，6

【知識點】數(shù)軸上兩點之間的距離、絕對值的幾何意義

【分析】本題考查了數(shù)軸，絕對值的性質(zhì)；

（1）根據(jù)在數(shù)軸上A、B兩點之間的距離為AB=a-b即可求解；

17

（2）根據(jù)在數(shù)軸上A、B兩點之間的距離為AB=a-b列方程即可求解；

（3）根據(jù)絕對值的幾何意義，即可得解．

【詳解】（1）解：數(shù)軸上表示3和1兩點之間的距離是134，

數(shù)軸上表示x和2的兩點之間的距離是x2，

故答案為：4，x2；

（2）解：∵數(shù)軸上表示a和1的兩點之間的距離為a16，

∴a7或a5，

故答案為：7或5．

（3）解：∵數(shù)軸上表示x和2的兩點之間的距離是x2，

數(shù)軸上表示x和4的兩點之間的距離是x4，

數(shù)軸上表示2和4的兩點之間的距離是246，

∴在數(shù)軸上的x2x4幾何意義是：表示有理數(shù)x的點到2及到4的距離之和，

∴當2x4，即表示有理數(shù)x的點在2和4之間時，它的最小值為6．

3．（24-25七年級上·廣東湛江·期中）先閱讀，結(jié)合數(shù)軸與絕對值的知識回答下列問題：

【閱讀】：52表示5與2差的絕對值，也可理解為5與2兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點之間的距離；52可

以看作52，表示5與2的差的絕對值，也可理解為5與2兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點之間的距離．

【探索】：

(1)數(shù)軸上表示3和2兩點之間的距離是________；一般地、數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點之間的距離等于

mn．如果表示數(shù)a和1的兩點之間的距離是3，那么a的值為________．

(2)若a32，b21，且數(shù)a、b在數(shù)軸上表示的點分別是點A、點B，則A、B兩點間的最大距離是

________，最小距離是________；

(3)利用數(shù)軸找出所有符合條件的整數(shù)點x，使得x2x57，這些點表示的數(shù)的和是________．

(4)應(yīng)用：小明媽媽要租房，使小明到學(xué)校與媽媽到上班地點距離和最小，若把租房地記作x，媽媽上班地

點記作1，小明學(xué)校記作2，那么距離和x1x2的最小值是：________．

(5)拓展：x1x2x3x4x50的最小值是：________．

【答案】(1)5，2或4；

(2)8，2；

(3)12；

(4)1；

18

(5)625．

【知識點】絕對值的幾何意義、帶有字母的絕對值化簡問題、數(shù)軸上兩點之間的距離

【分析】本題主要考查了數(shù)軸上兩點之間的距離、絕對值．解決本題的關(guān)鍵在于根據(jù)數(shù)軸上點的位置去掉

絕對值符號，解題過程中要注意分類討論．

（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點之間的距離公式求出表示3和2兩點之間的距離；根據(jù)數(shù)軸上兩點之間的距離公式列

出關(guān)于a的方程，解方程求出a；

（2）首先根據(jù)絕對值的性質(zhì)分別求出a、b的值，再根據(jù)數(shù)軸上兩點之間的距離公式分情況求出點A、點B

之間的距離，通過比較找出最大距離和最小距離；

（3）根據(jù)數(shù)軸上兩點之間的距離，可知當2x5時，x2x57，找到2x5之間的所有整數(shù)

并求和即可；

（4）分情況求出x1x2的取值范圍，根據(jù)取值范圍確定x1x2的最小值；

（5）由（4）可知，當25x26時，x1x2x3x4x50有最小值，根據(jù)規(guī)律去掉絕對

值符號求合即可．

【詳解】（1）解：數(shù)軸上表示3和2兩點之間的距離是3255；

表示數(shù)a和1的兩點之間的距離是3，

a13，

整理得：a13，

解得：a2或4；

故答案為：5；2或4；

（2）解：a32，

a32，

解得：a5或1，

b21，

b21，

解得：b3或1，

當a5，b3時，AB53538，

當a5，b1時，AB51516，

當a1，b3時，AB13145，

當a1，b1時，AB11112，

A、B兩點間的最大距離是8，最小距離是2；

（3）解：如下圖所示，

19

x2x2，

x2表示數(shù)軸上表示x的點到表示數(shù)2的點之間的距離，

x5表示數(shù)軸上表示x的點到表示數(shù)5的點之間的距離，

x2x5表示到點2和5的距離之和等于7的點，

從數(shù)軸上可知，表示數(shù)x的點在數(shù)軸上表示數(shù)2和5之間，

這些點表示的數(shù)有2、1、0、1、2、3、4、5，

這些點表示的數(shù)的和是2101234512，

故答案為：12；

（4）解：當x1時，

x1x21x2x32x，

x1，

2x2，

32x321；

當1x2時，

x1x2x12x1，

當x2時，

x1x2x1x22x3，

x2，

2x4，

2x3431，

距離和x1x2的最小值是：1；

（5）解：由4可知當25x26時，x1x2x3x4x50有最小值，

x1x2x3x4x50

x1x2x3x2526x27x50x

1232526272850

2612722835025

2525

625，

故答案為：625．

20

一、單選題

25

1．（23-24七年級上·青海西寧·期中）計算6的結(jié)果等于（）

39

A．10B．10C．5D．5

【答案】C

【知識點】有理數(shù)乘除混合運算

【分析】本題考查了有理數(shù)的乘除運算，先把除法轉(zhuǎn)化為乘法，然后根據(jù)有理數(shù)的乘法法則計算即可．

25

【詳解】解∶6

39

35

6

29

5，

故選∶C．

2．（2025·河南開封·二模）實數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，下列結(jié)論正確的是（）

A．a(chǎn)+b<0B．a(chǎn)b0

a

C．a(chǎn)b0D．0

b

【答案】B

【知識點】根據(jù)點在數(shù)軸的位置判斷式子的正負、有理數(shù)的除法運算、有理數(shù)的減法運算、兩個有理數(shù)的

乘法運算

【分析】此題考查了數(shù)軸與絕對值，有理數(shù)的運算，弄清數(shù)軸上點的位置是解本題的關(guān)鍵．根據(jù)數(shù)軸上點

的位置判斷b0a，且ba，再進一步分析即可．

21

【詳解】解：由數(shù)軸上的點位置得：b0a，且ba，

a

∴ab0，ab0，ab0，0，

b

故選：B．

3．（24-25七年級上·山東濟南·期中）已知非零實數(shù)x，y，z滿足xyyzzx0，且xyz0，

xyz

則的值為（）

xyz

A．1B．1C．3D．3

【答案】B

【知識點】有理數(shù)除法的應(yīng)用、帶有字母的絕對值化簡問題

【分析】本題主要考查絕對值的性質(zhì)，對已知條件進行分析，借助有理數(shù)的加法法則，假設(shè)x，y，z之間

的關(guān)系，是本題解題關(guān)鍵．對已知條件進行分析，由x，y，x的對稱性，不妨設(shè)xy0，則z0，由此

即可求解

【詳解】解∶∵xyyzzx0，且xyz0，

∴xy，yz，zx中有一個為0，

不妨設(shè)xy0，則z0，

∴xy，

不妨設(shè)x0，則y0，

xyzxyz

∴1111

xyzxyz

故選∶B．

4．（23-24七年級上·四川眉山·期末）定義一種對正整數(shù)n的“C運算”：①當n為奇數(shù)時，結(jié)果為3n1；②

nn

當n為偶數(shù)時，結(jié)果為（其中k是使為奇數(shù)的正整數(shù)）并且運算重復(fù)進行，例如：n66時，其“C運

2k2k

算”如下：

若n26，則第2023次“C運算”的結(jié)果是（）