專題09角及角平分線的有關(guān)計(jì)算

（鞏固提升練20題+能力培優(yōu)練8題+拓展突破練8題+中考真題練8題）

知識(shí)清單

1.角：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，兩條射線的公共端點(diǎn)叫做這個(gè)角的頂點(diǎn)，這兩條射線叫做

這個(gè)角的邊．或：角也可以看成是一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的．

2.平角和周角：一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終邊和始邊成一條直線時(shí)，所形成的角叫做平角．終邊繼續(xù)

旋轉(zhuǎn)，當(dāng)它又和始邊重合時(shí)，所形成的角叫做周角．

3.角的表示：

①用數(shù)字表示單獨(dú)的角，如∠1，∠2，∠3等．

②用小寫的希臘字母表示單獨(dú)的一個(gè)角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等．

③用一個(gè)大寫英文字母表示一個(gè)獨(dú)立（在一個(gè)頂點(diǎn)處只有一個(gè)角）的角，如∠B，∠C等．

④用三個(gè)大寫英文字母表示任一個(gè)角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等．

注意：用三個(gè)大寫英文字母表示角時(shí)，一定要把頂點(diǎn)字母寫在中間，邊上的字母寫在兩側(cè)．

4.用一副三角板，可以畫出15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，180°的角.

5.角的度量

角的度量有如下規(guī)定：把一個(gè)平角180等分，每一份就是1度的角，單位是度，用“°”表示，1度記作“1°”，

n度記作“n°”．

把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分記作“1”．

把1的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒記作“1”．

即1°=60，1=60.

6.角的性質(zhì)

①角的大小與邊的長(zhǎng)短無關(guān)，只與構(gòu)成角的兩條射線的幅度大小有關(guān).

②角的大小可以度量，可以比較.

③角可以參與運(yùn)算.

7.角的平分線

從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出的一條射線，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線．

8.余角和補(bǔ)角

（1）余角：如果兩個(gè)角的和等于90°（直角），就說這兩個(gè)角互為余角．即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角．

（2）補(bǔ)角：如果兩個(gè)角的和等于180°（平角），就說這兩個(gè)角互為補(bǔ)角．即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)

角．

（3）性質(zhì)：等角的補(bǔ)角相等．等角的余角相等．

（4）余角和補(bǔ)角計(jì)算的應(yīng)用，常常與等式的性質(zhì)、等量代換相關(guān)聯(lián)．

注意：余角（補(bǔ)角）與這兩個(gè)角的位置沒有關(guān)系．不論這兩個(gè)角在哪兒，只要度數(shù)之和滿足了定義，則它

們就具備相應(yīng)的關(guān)系．

一、單選題

1．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·期末）有下列關(guān)于角的說法：

①兩條射線組成的圖形叫作角；

②角的邊越長(zhǎng)，角越大；

1

③在角一邊的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)D；

④角可以看作由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形．

其中正確的有（）．

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

【答案】A

【分析】本題主要考查了角的定義，根據(jù)角的概念對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解，熟練掌握有公共

端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角是解決此題的關(guān)鍵．

【詳解】有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫作角，故①錯(cuò)誤，不符合題意；

角的大小與開口大小有關(guān)，角的邊是射線，沒有長(zhǎng)短之分，故②錯(cuò)誤，不符合題意；

角的邊是射線，不能延長(zhǎng)，故③錯(cuò)誤，不符合題意；

角可以看作由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，④正確，符合題意，

∴只有④一個(gè)選項(xiàng)正確，

故選：A．

2．（24-25七年級(jí)上·河北邢臺(tái)·期中）如圖所示，還可以表示為（）

∠1

A．B．C．D．

【答案】∠?B∠???∠???∠???

【分析】本題考查角的表示方法，根據(jù)一個(gè)角可以用三個(gè)大寫字母表示，進(jìn)行判斷即可．

【詳解】解：由圖可知，還可以表示為；

故選B．∠1∠???

3．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·期末）若，則的補(bǔ)角的度數(shù)為（）．

A．B．∠?=52°C．∠?D．

【答案】48C°208°128°38°

【分析】此題主要考查了補(bǔ)角的定義，兩角相加為，則兩角互補(bǔ)．根據(jù)補(bǔ)角的定義進(jìn)行解答即可．

【詳解】解：的補(bǔ)角的度數(shù)為1．80°

故選：C．∠?180°?52°=128°

4．（18-19七年級(jí)·吉林長(zhǎng)春·期末）如圖，是北偏東方向的一條射線，將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

得到射線，則的方位角是（）??30°???80°

????

2

A．北偏西B．北偏西C．東偏北D．東偏北

【答案】B30°50°30°50°

【分析】本題考查了方位角的計(jì)算，理解圖示，掌握方位角的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．

根據(jù)題意，，可得在北偏西方向即可求解．

【詳解】解：∠?如??圖=所8示0，°??50°

∵是北偏東方向的一條射線，

∴??，30°

∵∠將?射??線=3繞0°點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到射線，

∴??，?80°??

∴∠???=80°，

∴∠??的?方=位∠角??是?北?偏∠西???=，80°?30°=50°

故選??：B．50°

5．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）若，，，則（）

''″

A．∠?=B3．2°18∠?=32°1530∠?=32.25°

C．∠?>∠?>∠?D．∠?>∠?>∠?

【答案∠】?A>∠?>∠?∠?>∠?>∠?

【分析】本題主要考查角的大小比較，需要熟練掌握度數(shù)與度分秒形式之間的轉(zhuǎn)化．將三個(gè)角的度數(shù)都轉(zhuǎn)

化成度分秒的形式后，即可得到三個(gè)角的大小關(guān)系．

【詳解】解：∵，

''

∴，0.25°=60×0.25=15

'

∵∠?=3＞2°15＞，

''″'

∴32°1832°15．3032°15

∠?>∠?>∠?

3

故選：A．

6．（19-20七年級(jí)上·安徽馬鞍山·期末）如圖，一副三角板（直角頂點(diǎn)重合）擺放在桌面上，若，

則等于（）∠???=160°

∠???

A．B．C．D．

【答案】20A°30°40°50°

【分析】本題考查了角度的計(jì)算，如圖可知，的度數(shù)正好是兩直角相加減去的度數(shù)，進(jìn)而即可

解出答案．∠???∠???

【詳解】解：，，

∵∠???=∠???=90°∠???=160°，

∴故∠選?：??A．=∠???+∠????∠???=90°+90°?160°=20°

7．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，將三個(gè)同樣的正方形的一個(gè)頂點(diǎn)重合放置，則的度數(shù)是（）

∠1

A．B．C．D．

【答案】35D°30°25°20°

【分析】本題主要考查了角度的計(jì)算，根據(jù)，利用正方形的角都是直角，即可

求得和的度數(shù)從而求解．∠1=∠???+????∠???

【詳解∠?】??解：∠如??圖?，

∵，，

∴∠???=∠???=∠???=90°∠???=，42°,∠???=28°，

∵∠???=90°?∠???=90°?，28°=62°∠???=90°?∠???=90°?42°=48°

∴∠1=∠???+∠????∠???．

故選∠1D=．62°+48°?90°=20°

4

8．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，是的平分線，是的平分線，若，

，則的度數(shù)為（）??∠?????∠???∠???=2?∠???=

40°∠???

A．B．C．D．

【答案】?+B20°?+40°??20°?+80°

【分析】本題主要考查角的計(jì)算，角平分線的定義，靈活運(yùn)用角的和差計(jì)算角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．由角

平分線的定義可求解，，進(jìn)而可求解．

1

【詳解】因?yàn)槭恰??的?=平分∠?線??，=40°∠???=2∠???=?

所以??∠???，

因?yàn)椤??是?=∠?的??平=分4線0，°

所以??∠???，

1

所以∠???=2∠???=?．

故選：∠?B?．?=∠???+∠???=?+40°

9．（22-23七年級(jí)上·河南新鄉(xiāng)·期末）如圖，已知，，且，則

11

的度數(shù)為（）∠???=3∠???∠???=2∠???∠???=20°∠???

A．B．C．D．

【答案】10C0°110°120°135°

【分析】本題考查了角平分線的定義、角的計(jì)算、方程，根據(jù)已知條件列方程即可．

【詳解】設(shè)，則，．

11

因?yàn)椤???=?∠?，?所?=以3?∠???=2，?解得．

11

所以∠????∠???=∠???2??3?=20°?=120°

故選：∠?C?．?=120°

10．（2024七年級(jí)上·云南·專題練習(xí)）將一張長(zhǎng)方形紙片按如圖所示的方式折疊，、為折痕，點(diǎn)

、折疊后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為、，若，則????的度數(shù)為（）????

''''

????∠???=10°∠???

5

A．B．C．D．

【答案】40A°45°50°55°

【分析】本題考查了角的計(jì)算，可以設(shè)，，根據(jù)折疊可得∠，

'''

，進(jìn)而可求解．∠???=?∠???=?∠???=∠???∠???=

'

∠【?詳?解?】解：設(shè)，，

''

根據(jù)折疊性質(zhì)可知∠???=?∠???，=?．

''

∵，∠???=∠???∠???=∠???

''

∴∠???=10°，．

∵∠四?邊??形=10°是+長(zhǎng)?方∠形??，?=10°+?

∴????，

∴∠???=90°，

∴10°+?+?，+10°+10°+?+?=90°

∴?+?=30°．

''''

故選∠?：??A．=∠???+∠???+∠???=10°+30°=40°

二、填空題

11．（24-25七年級(jí)上·河北石家莊·期中）比較大?。海ㄌ?、或）

'″

【答案】20°153020.25°><=

【分析】本>題主要考查了度、分、秒的轉(zhuǎn)化運(yùn)算，注意以60為進(jìn)制，比較簡(jiǎn)單．先進(jìn)行度、分、秒的轉(zhuǎn)化

運(yùn)算，再對(duì)比即可得出答案．

【詳解】解：∵，

''

∴0.2，5°=0.25×60=15

'

∴20.25°=20°15．

'″

故答20案°1為53：0>．20.25°

12．（2024>七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）社會(huì)熱點(diǎn)情境·野生動(dòng)物保護(hù)天氣轉(zhuǎn)暖，每年的二、三月，一大批國(guó)

家二級(jí)保護(hù)動(dòng)物白天鵝從三門峽天鵝湖國(guó)家城市濕地公園北遷，天鵝遷徙時(shí)常排成人字形，這個(gè)人字形的

一邊與其飛行方向夾角是，從空氣動(dòng)力學(xué)角度看，這個(gè)角度對(duì)于白天鵝隊(duì)伍飛行最佳，所受阻力最

'″

小，則的補(bǔ)角是54°448．

'″

【答案】54°448

'″

【分析】本12題5°考15查52了補(bǔ)角的定義和度、分、秒的互化，根據(jù)補(bǔ)角的定義列式計(jì)算即可．

6

【詳解】解：

'″

180°?54°448

'″'″

=179°5960．?54°448

'″

=故答12案5°為15：52．

'″

13．（2024七12年5級(jí)°15上5·2全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，，平分，

，請(qǐng)寫出下列正確結(jié)論的序號(hào)．???∠???=50°??∠???∠???=

9①0°；②；③；④．

∠???=130°∠???=25°∠???=155°∠???=45°

【答案】①②③

【分析】本題主要考查角平分線的定義，根據(jù)角平分線的定義、鄰補(bǔ)角和直角的概念求解可得．

【詳解】解：，

∵∠???=50°，故①正確；

∴∠??平?分=180°，?∠???=130°

∵??∠???，故②項(xiàng)正確；

11

∴∠???=2∠???=2×50°=2，5°故③正確；

∴∠???=180，°?∠???=15，5°

∵∠???=90°∠???=50°，故④錯(cuò)誤；

∴故∠答?案??為=：1①80②°?③∠?．???∠???=40°

14．（2019·廣西貴港·三模）小明把一副含，的直角三角板如圖擺放，其中，，

，則等于．45°30°∠?=∠?=90°∠?=45°

∠?=30°∠?+∠?

【答案】/210度

【分析】本21題0°考查的是三角形的外角的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰

的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，，根據(jù)三角形的外角的性

質(zhì)計(jì)算即可．∠?=45°∠?=60°

【詳解】解：如圖．

7

∵，，，

∴∠?=∠1+∠?∠?=∠4+∠?∠?=∠?=90°

∠?+∠?

=∠1+∠?+∠4+∠?

=∠2+∠?+∠3+∠?

=∠2+∠3+30°+90°

=90°+．30°+90°

=故答21案0°為：．

三、解答題210°

15．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）計(jì)算：

(1)；

''″

(2)83°46+52°391.6

'″

【答96案°?】1(18)°2659

'″

(2)136°2516

'″

【分77析°3】31本題考查了度分秒的加減計(jì)算，熟練掌握換算方法是解題的關(guān)鍵．

（1）兩個(gè)度數(shù)相加，需要將度與度，分與分，秒與秒對(duì)應(yīng)相加，分或秒的結(jié)果滿分別化為度和分求解；

（2）兩個(gè)度數(shù)相減，借化為，借化為，然后進(jìn)行計(jì)算即可．60

''″

【詳解】（1）解：1°60，160

''″

，83°46+52°3916

'″

=135°8516．

'″

=（21）36解°2：516，

'″

96°?18°2659，

'″'″

=95°5960．?18°2659

'″

=167．7（°3230124七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，已知輪船在燈塔的北偏西的方向上，輪船在燈塔的

南偏東的方向上．??20°??

80°

8

(1)求從燈塔看兩輪船的視角（即）的度數(shù)；

(2)輪船在?的平分線上，則輪∠船???在燈塔的什么方向上？

【答案】?(1∠)?????

(2)輪船在燈12塔0°的北偏東方向上

【分析】?（1）根?據(jù)40°即可求出；

（2）根據(jù)平分∠??求?出=∠???，+然∠后?根??據(jù)+∠???即可解答．

本題主要考?查?方向∠角?的??知識(shí)點(diǎn)∠?，?解?答本題的關(guān)∠鍵?是??搞=懂∠方?向??角?的∠概??念?和利用好角平分線的知識(shí)點(diǎn)．

【詳解】（1）解：如圖所示，因?yàn)檩喆跓羲谋逼鞯姆较蛏希?/p>

??20°

輪船在燈塔的南偏東的方向上，

所以??80°

∠???=∠???+∠???+∠???

=20°+．90°+90°?80°

=（21）20解°：因?yàn)槠椒郑?/p>

所以??∠???，

11

所以∠???=2∠???=2×120°=60°

∠???=∠???，?∠???

=所以60輪°?船20在°=燈4塔0°的北偏東方向上．

17．（202?4七年級(jí)?上·全國(guó)·專4題0°練習(xí)）如圖，、、三點(diǎn)在一條直線上，，平分，

，求的度數(shù)．???∠???=2∠?????∠???

∠???=77°∠???

9

【答案】

【分析】本26題°考查了角平分線的定義，平角的定義以及角度的和差計(jì)算問題的，解答本題的關(guān)鍵是方程思

想的運(yùn)用．

首先根據(jù)角平分線的概念得到，然后利用平角的概念求解即可．

【詳解】解：因?yàn)槠椒帧?，??=∠???=，77°?∠???

所以?．?∠???∠???=77°

所以∠???=∠???．

因?yàn)椤???=∠???=77°?∠???，，

所以∠???+∠???+∠???=180°∠???=2，∠???

所以2∠???+∠???+277°?∠?．??=180°

18．（∠?2?0?24=七1年80級(jí)°?上2·全×國(guó)77·專°=題2練6°習(xí)）線段與角的計(jì)算．

(1)如圖①，已知線段，點(diǎn)C為線段上的一點(diǎn)，，點(diǎn)D，E分別是和的中點(diǎn)，

求的長(zhǎng)；??=12cm????=4cm????

(2)?如?圖②，已知被分成，平分，平分，且，

求的度數(shù)．∠???∠???:∠???:∠???=2:3:4??∠?????∠???∠???=90°

【答∠?案??】(1)

(2)6cm

【分13析5°】本題考查了線段的中點(diǎn)、線段的和差、角平分線的定義，熟練掌握以知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題

的關(guān)鍵．

（1）由線段的中點(diǎn)得出，，再由計(jì)算即可得解；

（2）設(shè)，??=2cm，??=4cm，則??=??+??，由角平分線的定義得出，

∠???=，2求?出°∠???=3?°，∠結(jié)??合?=4?°∠，??得?出=9?°，求解即可．∠???=?°

∠【?詳?解?】=（21?）°解：因∠為?D?，?E=分6別?是°和∠?的?中?點(diǎn)=，90°6?=90

所以，．????

11

因?yàn)??=2??，??=2??

所以??=4cm．

因?yàn)??=2cm，，

所以??=12cm，??=4cm

??=8cm

10

所以，

所以??=4cm．

（2）?解?：=設(shè)??+??=6cm，，，則．

因?yàn)槠椒帧???，=2?平°分∠???，=3?°∠???=4?°∠???=9?°

所以??∠??，???∠??，?

所以∠???=?°∠???=2?°．

因?yàn)椤???=?°+，3?°+2?°=6?°

所以∠???=，90°

所以6?=9，0

所以?=15．

19．（∠?2?0?24=七1年35級(jí)°上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)O在直線上，與互余，射線平分．

??∠???∠?????∠???

(1)如圖①，若，求的度數(shù)；

(2)如圖②，若∠???=20°，求∠???的度數(shù)；

(3)請(qǐng)你猜想∠?和??=55之°間的∠數(shù)??量?關(guān)系，并說明理由．

【答案】(1)∠???∠???

(2)40°

(3)110°，理由見解析

1

【分∠?析?】?=本2題∠考??查?了與角平分線有關(guān)的計(jì)算、互余，熟練掌握互余的定義是解題關(guān)鍵．

（1）先根據(jù)互余的定義可得，再根據(jù)角平分線的定義可得，然后根據(jù)平角的定義

求解即可得；∠???=70°∠???=140°

（2）先根據(jù)互余的定義可得，再根據(jù)角平分線的定義可得，然后根據(jù)平角的定義

求解即可得；∠???=35°∠???=70°

（3）先根據(jù)互余的定義可得，再根據(jù)角平分線的定義可得

，然后根據(jù)平角的定義∠即??可?得=．90°?∠???∠???=2∠???=180°?

2【∠詳??解?】（1）解：與互余，

∵∠．???∠???

∴∠???+∠??，?=90°

∵∠???=20°

11

．

∴射∠?線??=平7分0°，

∵??∠???，

∴∠???=2∠???=140°．

∴（∠2）??解?：=180°?與∠???=互40余°，

∵∠???∠?．??

∴∠???+∠??，?=90°

∵∠???=55°．

∴射∠?線??=平3分5°，

∵??∠???，

∴∠???=2∠???=70°．

∴（∠3）??解?：=180°?∠???=．11理0由°如下：

1

與∠???互=余2∠，???

∵∠???∠???，

∴∠???+∠???=90°．

∴射∠?線??=平9分0°?∠?，??

∵??∠???，

∴∠???=2∠???=180°?2∠???．

∴即∠???=180°?∠．???=2∠???

1

20∠．?（??24=-252∠七?年??級(jí)上·河北石家莊·期中）【實(shí)踐活動(dòng)】

如圖1，將一副三角板的直角頂點(diǎn)重合擺放．

（1）若，則＝；（填、、）；

（2）①∠若???=50°，∠則???∠；??若?∠???，>則<=；

②與∠???之=間20的°數(shù)量∠關(guān)?系??是=．∠???=150°∠???=

【折∠?展?探?究∠】???

（3）如圖2，若，且，探索與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理

由．∠???≠∠???∠???+∠???=180°∠???∠???

【答案】（1），；（2）①，；②；，理由見解

40°=160°30°∠???+∠???=180°∠???+∠???=180°

12

析

【分析】本題考查了角的計(jì)算，角的大小比較，掌握角的計(jì)算，角的大小比較方法是解題的關(guān)鍵．

（1）根據(jù)圖形中角的關(guān)系即可得出的度數(shù)．由題意，得，，進(jìn)而得出

，∠，?然??后根據(jù)角度運(yùn)算可得出∠?答??案=；90°∠???=90°∠???+

∠（?2?）?①=根90據(jù)°角∠的??運(yùn)?算+可∠?得?出?=90°的度數(shù)，再根據(jù)計(jì)算即可得出的度數(shù)；先

根據(jù)計(jì)∠算?得??出的度數(shù)，∠再?根??據(jù)=角∠的??運(yùn)?算+即∠?可?得?出的度數(shù)∠?；??

②由∠???=∠??，??∠???，可得∠?出??，∠???，則得出

∠???=90°∠??，?進(jìn)=而90得°出∠???+∠???=90°∠???+∠???=90，°進(jìn)而得出∠答??案?；+

2（∠3?）?根?據(jù)+題∠?意??，由=180°∠???得+出∠：???=∠???+2∠???+∠???=，1進(jìn)80而°得出

∠???+∠???，=由1此80可°得∠?與??+2∠之??間?的+數(shù)∠?量?關(guān)?系=．180°∠???+∠???=

∠【?詳??解+】2解∠?：?（?1+）∠由??題?意=，18得0°，∠???∠???，，

∴∠???=90°，∠???=90°∠???=50°

∠???=∠????∠???=90°?50°=4，0°

∠∴???=∠????．∠???=90°?50°=40°

故答∠?案??為=：∠??，?；

（2）①∵40°=，，，

∴∠???=90°∠???=90°∠???，=20°

∴∠???=∠????∠???=90°?20°=70°，

∵∠???=∠???，+∠???=70°+90°=160°

∴∠???=150°，

∴∠???=∠????∠???=150°?90°=60．°

故答∠?案??為=：∠???，?∠?；??=90°?60°=30°

②∵160°，30°，

∴∠???=90°∠??，?=90°，

∴∠???+∠???=90°∠???+∠．???=90°

又∠∵???+2∠???+∠???=180°，

∴∠???=∠???+∠???+∠???

∠???+∠???

=∠???+∠???+∠???+∠???

=∠???，+2∠???+∠???

=∴180°與之間的數(shù)量關(guān)系是．

故答∠?案??為：∠???；∠???+∠???=180°

（3）∠與???+之∠?間?的?=數(shù)1量8關(guān)0°系是，理由如下：

∵∠???∠???，∠???+∠???，=180°，

∠???=∠???+∠???∠???=∠???+∠???∠???+∠???=180°

13

∴，

即∠???+∠???+∠???+∠???，=180°

∴∠???+2∠???+∠???=180°

∠???+∠???

=∠???+∠???+∠???+∠???

=∠???．+2∠???+∠???

=180°

21．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，從頂點(diǎn)O引一條射線，若，則

是（）∠???=50°??∠???=20°∠???

A．B．C．D．或

【答案】20D°30°70°30°70°

【分析】本題考查了角的計(jì)算，分為兩種情況：①當(dāng)在內(nèi)部時(shí)，②當(dāng)在外部時(shí)，根據(jù)角

之間的關(guān)系求出即可．??∠?????∠???

【詳解】解：分為兩種情況：

①如圖①，當(dāng)在內(nèi)部時(shí)，；

??∠???∠???=∠????∠???=50°?20°=30°

②如圖②，當(dāng)在外部時(shí)，．

??∠???∠???=∠???+∠???=50°+20°=70°

故選D．

22．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，若，OC是的平分線，則①；

1

②；③；④∠???=2∠???．正確∠?的?是?（）∠???=3∠???

1

∠???=2∠???∠???=2∠???∠???=3∠???

14

A．①②B．③④C．②③D．①④

【答案】B

【分析】本題主要考查角的比較與運(yùn)算這一知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握角平分線定義是解題關(guān)鍵．設(shè)，由

是的平分線，可得，∠???=?，

13

∠故?能??判=斷2出∠選??項(xiàng)?中,?各?角∠大?小??關(guān)系．∠???=∠???????=2?∠???=2?,∠???=∠???=2?

【詳解】解：設(shè)，

∠???是=?的平分線，

∵∠???=2∠???,??∠???

3

∴∠???=2?,∠???=∠???=?

∴2

1

∠???=∠???????=2?．

1

∴故∠③??④?正=確2∠，??①?,②∠?錯(cuò)??誤=，3∠???

故選B．

23．（24-25七年級(jí)上·河北保定·期中）如圖，是的平分線，是內(nèi)部一條射線，過點(diǎn)O作

射線，在平面內(nèi)沿箭頭方向轉(zhuǎn)動(dòng)，使得??∠???，若??∠???，則的度

數(shù)為（??）∠???:∠???=3:2∠???=120°∠???=30°∠???

A．B．C．或D．無法計(jì)算

【答案】15C°105°15°105°

【分析】本題主要考查了有關(guān)角平分線的計(jì)算，明確題意，理清圖中各角度之間的數(shù)量關(guān)系是解答本題的

關(guān)鍵．由是的平分線得，進(jìn)而求得，

1

結(jié)合??∠???得∠???=∠???=，2∠再?分??兩=種6情0況°：當(dāng)在∠?下?方?=時(shí)∠，?，?當(dāng)??∠在???上=方30時(shí)°，

3

分別討∠?論??即:可∠?求?解?=．3:2∠???=2∠???=45°????????

【詳解】解：∵，是的平分線，

∴∠???=120°??，∠???

1

∠???=∠???=2∠???=60°

15

又∵，

∴∠???=30°，

而∠???=∠????∠?，??=30°

∴∠???:∠???=3:2，

3

如圖∠?，??當(dāng)=2在∠???下=方4時(shí)5°，

????

此時(shí)，；

如圖，當(dāng)∠???在=∠?上?方?時(shí)+，∠???=60°+45°=105°

????

此時(shí)，；

即：∠???=∠或????∠，???=60°?45°=15°

故選：∠?C?．?=15°105°

24．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·期末）已知一個(gè)角的余角比這個(gè)角的補(bǔ)角的小，則這個(gè)角的余角的度數(shù)

1

是，補(bǔ)角的度數(shù)是．320°

【答案】

【分析】本題主要15考°查了1一0元5°一次方程的應(yīng)用，余角和補(bǔ)角的知識(shí)，設(shè)這個(gè)角的度數(shù)是，則它的余角為

，補(bǔ)角為，根據(jù)一個(gè)角的余角比這個(gè)角的補(bǔ)角的多，即可列方程求解?，熟練掌握余角的90和°等?

1

?于，互補(bǔ)18的0°兩?角?之和為是解決此題的關(guān)鍵．320°

【詳90解°】設(shè)這個(gè)角的度數(shù)是18，0則°它的余角為，補(bǔ)角為，

根據(jù)題意，得?，90°??180°??

1

解得．90°??=3180°???20°

∴?=75°，，

即這90個(gè)°?角7的5°余=角1的5°度1數(shù)8為0°?7，5°補(bǔ)=角10的5°度數(shù)為，

故答案為：，．15°105°

25．（2024七15年°級(jí)1上05·云°南·專題練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，，平分，

???∠???=50°??∠???∠???=

16

，請(qǐng)寫出下列正確結(jié)論的序號(hào)．

90°

①；②；③；④．

【答∠?案?】?①=1②30③°∠???=25°∠???=155°∠???=45°

【分析】本題主要考查角平分線、垂直、鄰補(bǔ)角的定義以及角的和差，熟知鄰補(bǔ)角的定義及角平分線的定

義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圖形的特點(diǎn)及角平分線的概念依次求出各角度即可解答．

【詳解】解：，

∵∠???=50°，故①正確；

∴∠??平?分=180°?，∠???=130°

∵??∠???，故②正確；

1

∴∠???=2∠???=25°，故③正確；

∴∠???=180，°?∠???=15，5°

∵∠???=90°∠???=50°，故④錯(cuò)誤．

∴綜∠上?，??正=確1的80是°?①∠②??③??，∠???=40°

故答案為：①②③．

26．（24-25七年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)O在直線上，平分，平分．給出

下面四個(gè)結(jié)論：①與互余：②與互補(bǔ)；??③??∠?????∠???；

④∠???∠．?上??述結(jié)論中，∠正??確?結(jié)論∠?的?序?號(hào)有∠?．??+∠???=∠???+180°

∠????∠???=2∠???

【答案】①②④

【分析】本題主要考查角平分線的性質(zhì)、余角、補(bǔ)角和角度的和差關(guān)系，根據(jù)角平分線得

和，利用平角即可判定①，結(jié)合余角和補(bǔ)角得定義即可判斷②，利用角平∠分?線??的=性∠質(zhì)??和?平

角即∠?可??判=斷∠③??，?利用角度和差關(guān)系即可判斷④．

【詳解】解：∵平分，平分

∴?，?∠?????，∠???

∵∠A，??O?，=B∠三??點(diǎn)?在同∠?一?直?線=上∠?，??

，

2∠???+2∠???=2∠???+∠???=180°

17

∴，

即∠???與+∠???互=余9，0°故①正確；

∵∠A，??O?，B∠三??點(diǎn)?在同一直線上，

∴，

∵∠?平??分+∠???，=180°

∴??∠???，

∴∠???=∠???，

即∠???與+∠???互=補(bǔ)1，80故°②正確；

∵∠???∠???，

∴∠???+∠???=180°，

則∠???+∠???+∠???=∠???，+180°

不能∠?得??到+∠???=∠??即?+180°，

故③錯(cuò)誤∠；???=∠???∠???+∠???=∠???+180°

∵，，

∴∠???=∠???∠???=∠???，故④正確；

故答∠?案??為?：∠①??②?=④∠．???+∠????∠???=∠???=2∠???

27．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖①，把直角三角形的直角頂點(diǎn)O放在直線上，射線

平分．???????

∠???

(1)若，求的度數(shù)；

(2)若∠???=28°，則∠???的度數(shù)為______；（用含m的代數(shù)式表示）

(3)由∠（?1?）?和=（?2°）可得∠?，??和之間的數(shù)量關(guān)系是______；

(4)若將直角三角形繞∠點(diǎn)??O?旋轉(zhuǎn)∠?到?如?圖②所示的位置，其他條件不變，請(qǐng)問：和之間的數(shù)

量關(guān)系是否發(fā)生變化??？?請(qǐng)說明理由．∠???∠???

【答案】(1)

(2)56°

(3)2?°

(4)∠不?發(fā)??生=變化2∠，?見??解析

【分析】本題考查與角平分線有關(guān)的計(jì)算，根據(jù)圖形直觀得出各個(gè)角之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵，等量

18

代換起到非常重要的作用．

（1）根據(jù)角平分線和互為余角的意義，可求出，再根據(jù)互為補(bǔ)角求出即可；

（2）由（1）的計(jì)算過程，將進(jìn)行計(jì)∠?算?即?,可∠?得?出?答案；∠???

（3）根據(jù)（1）（2）的解題過∠程?得??出=?°；

（4）根據(jù)角平分線和互為余角的意義可∠?得??=2∠???，再根據(jù)互為補(bǔ)角的意義得到

∠???=∠???=9．0°?∠???

∠【?詳??解】=（1810）°?解2：∠?如?圖?=1，180°?290°?∠???=2∠???

∵，

∠???=28°,∠???=90，°

∴又∠∵???平=分90°?2，8°=62°

??∠???，

∴∠???=2∠???=124°．

∴（∠2）??解?：=如18圖0°1?，∠???=180°?124°=56°

∵，

∠???=?°,∠???=90°，

∴又∠∵???平=分∠????，∠???=90°??°=(90??)°

??∠???，

∴∠???=2∠???=2(90??)°．

∴（∠3）??解?：=由18（01°）?和∠?（?2?）=可1得80：°?2(90??)°=2；?°

理由：∵平分，∠???=2∠???

??∠???，

∴∠???=2∠???=2(∠?，???∠???)=290°?∠???

∵∠???=∠????∠???．

∴（∠4）??解?：=180°?和∠???之=間18的0°數(shù)?量2關(guān)90系°不?∠發(fā)?生?變?化=，2∠???

∠???∠???19

如圖2，

∵平分，

??∠???，

∴∠???=∠??，?

∵∠???=90°，

∴∠???=∠???=90°?∠???，

∴即∠???=180°?2，∠???=180°?290°?∠???=2∠???

∴∠???和=2∠??之?間的數(shù)量關(guān)系不發(fā)生變化，

28∠．?（?2?4-2∠5?七?年?級(jí)上·陜西西安·階段練習(xí)）探究與實(shí)踐

將一副三角板