PAGE1銜接點(diǎn)01運(yùn)算與技巧小學(xué)階段初中階段【運(yùn)算內(nèi)容】主要學(xué)習(xí)基本的四則運(yùn)算，包括整數(shù)、分?jǐn)?shù)的加減乘除，以及簡(jiǎn)單的估算和計(jì)算器使用.【運(yùn)算技巧】注重運(yùn)算的準(zhǔn)確性和熟練度，通過反復(fù)練習(xí)掌握基本的運(yùn)算技巧，如：湊十法、乘法口訣等.【運(yùn)算內(nèi)容】在小學(xué)基礎(chǔ)上，擴(kuò)展到有理數(shù)、有理數(shù)和實(shí)數(shù)，增加了負(fù)數(shù)、無理數(shù)的概念和運(yùn)算，學(xué)習(xí)乘方、開方等更復(fù)雜的運(yùn)算，以及代數(shù)式的運(yùn)算.【運(yùn)算技巧】強(qiáng)調(diào)靈活運(yùn)用運(yùn)算律和運(yùn)算技巧，如交換律、結(jié)合律、分配律等，提高運(yùn)算效率和準(zhǔn)確性，同時(shí)注重運(yùn)算過程中的邏輯性和嚴(yán)密性.銜接指引鞏固基礎(chǔ)運(yùn)算能力1.提高計(jì)算準(zhǔn)確率與速度：在小學(xué)高年級(jí)，應(yīng)重點(diǎn)練習(xí)整數(shù)、分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算，確保計(jì)算準(zhǔn)確快速，為初中學(xué)習(xí)有理數(shù)、實(shí)數(shù)的運(yùn)算打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).2.強(qiáng)化運(yùn)算順序：熟練掌握運(yùn)算順序，即先乘除后加減，有括號(hào)先算括號(hào)內(nèi)的，避免在復(fù)雜運(yùn)算中出現(xiàn)錯(cuò)誤.學(xué)習(xí)并運(yùn)用運(yùn)算定律1.理解并掌握運(yùn)算定律：在小學(xué)階段，應(yīng)深入學(xué)習(xí)加法交換律、結(jié)合律，乘法交換律、結(jié)合律和分配律等，理解其意義并能靈活運(yùn)用.2.運(yùn)用運(yùn)算定律簡(jiǎn)化計(jì)算：在解決實(shí)際問題時(shí)，有意識(shí)地運(yùn)用運(yùn)算定律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算，提高運(yùn)算效率和準(zhǔn)確性.培養(yǎng)抽象思維能力1.從具體到抽象過渡：在小學(xué)高年級(jí)，逐漸引入用字母表示數(shù)的概念，讓學(xué)生理解代數(shù)式的意義，為初中學(xué)習(xí)代數(shù)式運(yùn)算做好準(zhǔn)備.2.解決代數(shù)問題：通過解決簡(jiǎn)單的代數(shù)問題，如解一元一次方程，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和邏輯推理能力.學(xué)習(xí)新的運(yùn)算技巧1.預(yù)習(xí)有理數(shù)運(yùn)算：在暑假期間，可以預(yù)習(xí)有理數(shù)的加減乘除運(yùn)算，特別是負(fù)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則，為初中學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備.2.掌握乘方、開方運(yùn)算：了解乘方、開方的概念和運(yùn)算規(guī)則，通過練習(xí)掌握其計(jì)算方法.培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣1.養(yǎng)成預(yù)習(xí)和復(fù)習(xí)的習(xí)慣：在小學(xué)高年級(jí)，開始培養(yǎng)預(yù)習(xí)和復(fù)習(xí)的習(xí)慣，為初中學(xué)習(xí)更復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識(shí)做好準(zhǔn)備.2.整理錯(cuò)題集：將做錯(cuò)的題目整理成錯(cuò)題集，分析錯(cuò)誤原因，避免重復(fù)犯錯(cuò)，提高學(xué)習(xí)效率.1．運(yùn)算定律1）加法交換律：加法結(jié)合律：2）乘法交換律：乘法結(jié)合律：3）乘法分配律：乘法分配律的逆用：2．運(yùn)算性質(zhì)1）減法的性質(zhì)：2）除法的性質(zhì)：3）商的“不變性”，即若，則，；3．裂項(xiàng)公式（補(bǔ)充）：把一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)的和或積，使得算式可以消去某些項(xiàng)，使運(yùn)算簡(jiǎn)捷.第一類（“裂差”型運(yùn)算）：或第二類（“裂和”型運(yùn)算）：或裂和型運(yùn)算與裂差型運(yùn)算的對(duì)比：裂差型運(yùn)算的核心環(huán)節(jié)是“兩兩抵消達(dá)到簡(jiǎn)化的目的”，裂和型運(yùn)算的題目不僅有“兩兩抵消”型的，同時(shí)還有轉(zhuǎn)化為“分?jǐn)?shù)湊整”型的，以達(dá)到簡(jiǎn)化目的.4．?dāng)?shù)列求和公式（補(bǔ)充）eq\o\ac(○,1)等差數(shù)列求和等差數(shù)列求和公式：（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)計(jì)算方法：（末項(xiàng)－首項(xiàng)）÷公差+1eq\o\ac(○,2)等比數(shù)列求和等比數(shù)列的求和公式：（末項(xiàng)×公比—首項(xiàng)）÷（公比—1）（公比≠1）5．乘法公式（補(bǔ)充）平方差公式：完全平方公式：，考點(diǎn)一：活用運(yùn)算定律和性質(zhì)（湊整思想）1．（2024·內(nèi)蒙古通遼·小升初真題）脫式計(jì)算下面各題，能簡(jiǎn)算的要簡(jiǎn)算。7.6×2.5×4

87×8586

26.4－3.28－6.4－4.721.25×8×4×2.5

73×101

2．（2024·山西呂梁·小升初真題）脫式計(jì)算，能簡(jiǎn)算的要簡(jiǎn)算。0.25×5.32×4

9573．（2024·河南周口·小升初真題）計(jì)算下面各題，能簡(jiǎn)算的要簡(jiǎn)算。1?45÷59+13.8?13÷4．（2024·河南南陽·小升初真題）脫式計(jì)算，能簡(jiǎn)算的要簡(jiǎn)算。89×14+2湊整思想是一種廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)計(jì)算中的方法，其核心在于通過調(diào)整數(shù)值，使其變成更容易計(jì)算的整數(shù)，從而簡(jiǎn)化運(yùn)算過程，提高計(jì)算速度和準(zhǔn)確性.如：把“一些分?jǐn)?shù)（或小數(shù)）湊成整數(shù)”，把“一些整數(shù)湊成10的整倍數(shù)”，使有理數(shù)式子容易計(jì)算出結(jié)果，這一思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教育中尤為重要，它不僅幫助學(xué)生快速掌握加減乘除的基本運(yùn)算，還培養(yǎng)了他們的邏輯思維和解決問題的能力.以下是湊整法在不同運(yùn)算中的具體應(yīng)用：加法湊整其基本思路是將加數(shù)湊成整數(shù)，再進(jìn)行計(jì)算.例如，計(jì)算1999+198+97+8時(shí)，可以將每個(gè)加數(shù)湊成整數(shù)：1999+198+97+8=(2000?1)+(200?2)+(100?3)+8=2300?6+8=2302.減法湊整例如，計(jì)算2537?118?382時(shí)，可以先將減數(shù)湊成整數(shù)：2537?118?382=2537?(118+382)=2537?500=2037乘法湊整1）乘法湊整通常利用乘法的交換律和結(jié)合律.例如，計(jì)算8×34×25×125×4時(shí)，可以將乘數(shù)湊成整十、整百：8×34×25×125×4=(8×125)×(25×4)×34=1000×100×34=34000002）利用互為倒數(shù)的特性，如計(jì)算，由于?和?互為倒數(shù)，乘積為1，所以整個(gè)表達(dá)式簡(jiǎn)化為1×5=5.除法湊整除法湊整可以通過將除數(shù)或被除數(shù)湊成整數(shù)，再進(jìn)行計(jì)算.例如，計(jì)算316÷9+413÷9+171÷9時(shí)，可以將被除數(shù)相加，再除以相同的除數(shù)：316÷9+413÷9+171÷9=(316+413+171)÷9=900÷9=100分?jǐn)?shù)加減法的湊整湊整法同樣適用于分?jǐn)?shù)運(yùn)算.例如，計(jì)算，可以先將同分母的分?jǐn)?shù)相加：和，最終結(jié)果為1+1=2.1．（2024·湖南株洲·小升初真題）脫式計(jì)算，能簡(jiǎn)算的要簡(jiǎn)算。①864÷[（327－263）÷8]

②85×34＋15×75%③78+50%2．（2024·河南鄭州·小升初真題）脫式計(jì)算，能簡(jiǎn)算的要簡(jiǎn)算。（1）1417×（3）241×690÷339÷345×678÷241

（4）43．（2024·四川成都·小升初真題）計(jì)算下面各題，能簡(jiǎn)算的要簡(jiǎn)算。（1）29+512×24（4）34?23×7.2

4．（2024·四川巴中·小升初真題）計(jì)算下面各題，能簡(jiǎn)算的要簡(jiǎn)算。25×40×4

24÷171823.2?4.5+6.8?15.5

405÷15×198?184

5．（2024·河南駐馬店·小升初真題）用你喜歡的方法計(jì)算。845318考點(diǎn)二：巧分組法1.（2024·廣東·小升初模擬）計(jì)算題，寫出計(jì)算過程和結(jié)果。（1）（2）2.．（2024六年級(jí)·浙江·培優(yōu)）計(jì)算。（1）（2）2023-2020+2017-2014＋2011－2008＋……＋19－16+13－10+7－4+13.．（2022·江蘇南京·統(tǒng)考小升初真題）簡(jiǎn)算，并寫出簡(jiǎn)算過程。99－97＋95－93＋91－89＋…＋7－5＋3－14.（2024·江蘇·六年級(jí)?？计谥校┯?jì)算：在數(shù)學(xué)計(jì)算中，巧分組法是一種重要的巧算技巧。它通過將算式中的若干項(xiàng)合理分組，使得每組的計(jì)算結(jié)果相同或便于計(jì)算，從而快速得出整個(gè)算式的答案。例如，在計(jì)算一系列連續(xù)奇數(shù)相加時(shí)，可以根據(jù)數(shù)字的符號(hào)規(guī)律，將四個(gè)數(shù)分為一組，因?yàn)槊拷M的和為零，最終簡(jiǎn)化計(jì)算過程。這種方法尤其適用于涉及大量相近數(shù)字的加法運(yùn)算，通過尋找數(shù)字間的規(guī)律和特征，進(jìn)行分組處理，可以顯著提高計(jì)算效率?！窘忸}技巧】觀察所求算式特征，巧妙運(yùn)用分組搭配處理，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算。1．（2024六年級(jí)·全國·）計(jì)算20042．（2023·四川成都·小升初真題）計(jì)算。10143．（2025五年級(jí)下·全國·專題練習(xí)）計(jì)算：14．（2025五年級(jí)下·全國·專題練習(xí)）計(jì)算：1考點(diǎn)三：換元法1．（2024·成都市小升初模擬）計(jì)算（寫出必要的計(jì)算過程）。2.（2023·廣東·?？夹∩跄M）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算。換元法是一種在數(shù)學(xué)解題中廣泛使用的方法，尤其在解決復(fù)雜問題時(shí)，能夠顯著簡(jiǎn)化計(jì)算步驟，使問題變得更容易處理。在小學(xué)階段，學(xué)生們初次接觸換元法，主要是為了培養(yǎng)他們的邏輯思維和問題解決能力。換元法的基本思想是將一個(gè)復(fù)雜的數(shù)學(xué)表達(dá)式中的某一部分用一個(gè)新變量來代替，從而將原問題轉(zhuǎn)化為更容易解決的形式。例如，在解決某些代數(shù)問題時(shí)，若某個(gè)表達(dá)式重復(fù)出現(xiàn)，我們可以將其用一個(gè)字母（如x或y）來表示，這樣就能簡(jiǎn)化計(jì)算過程。這種方法的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，通過構(gòu)造新的變量（即換元），將復(fù)雜的問題標(biāo)準(zhǔn)化、簡(jiǎn)單化?！窘忸}技巧】從式子的整體角度考察，把部分式子用字母代替后，再進(jìn)行化簡(jiǎn)求值。通過引入字母轉(zhuǎn)化命題結(jié)構(gòu)，這樣不但可以減少運(yùn)算過程，還有利于尋找接題思路，其中的新變量在解題過程中起到橋梁作用。1．（2021六年級(jí)上·遼寧·專題練習(xí)）算一算。（1＋＋＋）×（＋＋＋）－（1＋＋＋＋）×（＋＋）2．（2021六年級(jí)上·江蘇南京·專題練習(xí)）計(jì)算下面各題?？键c(diǎn)四：分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)計(jì)算1．（24-25六年級(jí)上·江蘇常州·期中）先觀察下列等式再完成題后問題。

（1）請(qǐng)你猜想：________。（2）探究并計(jì)算：。2．（2021六年級(jí)上·遼寧·專題練習(xí)）計(jì)算。

【解題技巧】把一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)的和或積，使得算式可以消去某些項(xiàng)，使運(yùn)算簡(jiǎn)捷。利用下面的拆項(xiàng)公式課化簡(jiǎn)一些有理數(shù)式子的計(jì)算第一類（“裂差”型運(yùn)算）：①或②。裂差型裂項(xiàng)的三大關(guān)鍵特征：（1）分子全部相同，最簡(jiǎn)單形式為都是1的，復(fù)雜形式可為都是x(x為任意自然數(shù))的，但是只要將x提取出來即可轉(zhuǎn)化為分子都是1的運(yùn)算。（2）分母上均為幾個(gè)自然數(shù)的乘積形式，并且滿足相鄰2個(gè)分母上的因數(shù)“首尾相接”（3）分母上幾個(gè)因數(shù)間的差是一個(gè)定值。第二類（“裂和”型運(yùn)算）：或裂和型運(yùn)算與裂差型運(yùn)算的對(duì)比：裂差型運(yùn)算的核心環(huán)節(jié)是“兩兩抵消達(dá)到簡(jiǎn)化的目的”，裂和型運(yùn)算的題目不僅有“兩兩抵消”型的，同時(shí)還有轉(zhuǎn)化為“分?jǐn)?shù)湊整”型的，以達(dá)到簡(jiǎn)化目的。1．（2024·河北石家莊·小升初真題）觀察下列式子：，，，…請(qǐng)計(jì)算＝()。2．（2021六年級(jí)上·江蘇南京·專題練習(xí)）計(jì)算下面各題。3．（2024·全國·小升初模擬）4．（2022·浙江杭州·小升初真題）用遞等式計(jì)算：6．（23-24六年級(jí)下·四川成都·期末）選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄓ?jì)算。考點(diǎn)五：數(shù)列求和（等差、等比數(shù)列）1．（2020·四川成都·小升初模擬）計(jì)算【解題技巧】eq\o\ac(○,1)等差數(shù)列求和等差數(shù)列求和公式：（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)計(jì)算方法：（末項(xiàng)－首項(xiàng)）÷公差+1eq\o\ac(○,2)等比數(shù)列求和等比數(shù)列的求和公式：（末項(xiàng)×公比—首項(xiàng)）÷（公比—1）（公比≠1）1．（24-25七年級(jí)上·廣東惠州·期中）（1）如果欲求的值，可令①，將①式右邊順序倒置，得②，由②式+①式，得；；由結(jié)論求；（2）①觀察一列數(shù)2，4，8，16，32，…，發(fā)現(xiàn)從第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之比是一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)是；根據(jù)此規(guī)律，如果（n為正整數(shù)）表示這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)，那么，；②為了求的值，可令①，則②，由②式﹣①式，得，，即．仿照以上推理，計(jì)算．2．（24-25七年級(jí)上·全國·假期作業(yè)）【等比數(shù)列】按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列的一般形式可以寫成：．一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比值等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用表示．如：數(shù)列為等比數(shù)列，其中，公比為．根據(jù)以上材料，解答下列問題：（1）等比數(shù)列的公比為，第項(xiàng)是．【公式推導(dǎo)】如果一個(gè)數(shù)列，是等比數(shù)列，且公比為，那么根據(jù)定義可得到：．所以，，，（2）由此，請(qǐng)你填空完成等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：．【拓廣探究】等比數(shù)列求和公式并不復(fù)雜，但是其推導(dǎo)過程——錯(cuò)位相減法，構(gòu)思精巧、形式奇特．下面是小明為了計(jì)算的值，采用的方法：設(shè)①，則②，得，．【解決問題】（3）請(qǐng)仿照小明的方法求的值．考點(diǎn)六：運(yùn)用乘法公式運(yùn)算1．（24-25七年級(jí)下·四川達(dá)州·開學(xué)考試）計(jì)算：用簡(jiǎn)便方法計(jì)算．解：①②．（i）例題的求解過程中，第②步變形是利用（填乘法公式的名稱）；（ii）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：．2．（23-24七年級(jí)下·全國·課后作業(yè)）簡(jiǎn)便計(jì)算：．3．（2022·四川綿陽·小升初真題）計(jì)算題。

【解題技巧】平方差公式：完全平方公式：，1．（24-25七年級(jí)下·全國·課后作業(yè)）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：(1)；(2)．2．（23-24七年級(jí)下·全國·課后作業(yè)）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：(1)(2)3．（24-25七年級(jí)下·江蘇宿遷·階段練習(xí)）運(yùn)用整式乘法公式簡(jiǎn)便計(jì)算：(1)；(2)．一、選擇題1．（2024·河南開封·小升初真題）計(jì)算時(shí)，用（

）計(jì)算比較簡(jiǎn)便。A．加法結(jié)合律 B．乘法分配律C．乘法交換律 D．乘法結(jié)合律2．（2024·山西晉中·小升初真題）張麗用計(jì)算器計(jì)算“45.7×9.9”時(shí)，發(fā)現(xiàn)鍵“9”壞了，下面輸入不能得到正確結(jié)果的是（

）。A．45.7×3.3×3 B．45.7×10－0.1 C．45.7×8.8＋45.7×1.13．（2023·廣東深圳·小升初真題）《九章算術(shù)》是中國古代第一部數(shù)學(xué)專著。它介紹了分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)的另一種方法：先通分，再把分子直接相除。例如：。下面（

）是采用這種方法計(jì)算的。A． B．C． D．4．（2022·廣西貴港·小升初真題）有一個(gè)數(shù)字鍵“4”壞了的計(jì)算器，用這個(gè)計(jì)算器計(jì)算24×25時(shí)，下列按鍵方案中（

）合適。A．3×8×25 B．6×4×25 C．25×25－1 D．2×2×3×25二、填空題5．（2024·河北石家莊·小升初真題）觀察下列式子：，，，…請(qǐng)計(jì)算＝()。6．（2024·浙江溫州·小升初真題）計(jì)算“0.36＋”。方法一：用分?jǐn)?shù)加減法計(jì)算，和是個(gè)相加；方法二：用小數(shù)加減法計(jì)算，和是個(gè)0.01相加。7．（2022·湖南長沙·小升初真題）計(jì)算：。8．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·小升初真題）請(qǐng)根據(jù)①、②兩題的運(yùn)算方法計(jì)算第③題。①4×6＝（4×6）×（1×1）＝24×1＝24×1②0.4×0.6＝（4×6）×（0.1×0.1）＝24×0.01＝0.24③＝()×()×（）＝()×()＝()9．（2024·山東濰坊·小升初真題）一種數(shù)學(xué)運(yùn)算，規(guī)則是這樣的：＝ad－bc，例如＝5×3－2×4＝7，那么＝()。10．（2024·河南南陽·小升初真題）1＋…＝()11．（2024六年級(jí)·全國·競(jìng)賽）計(jì)算：()。12．（2024六