PAGE1專題24第24章圓單元測試（培優(yōu)提升卷）班級：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事項(xiàng)：本試卷滿分120分，試題共23題，其中選擇10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（24-25九年級下·福建廈門·階段練習(xí)）已知的半徑是．點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)．則的長可能是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，熟知點(diǎn)與圓心的距離小于半徑是正確解答此題的關(guān)鍵．當(dāng)該點(diǎn)在圓內(nèi)．則半徑大于點(diǎn)到圓心的距離，據(jù)此即可作答．【詳解】解：∵的半徑為，點(diǎn)在內(nèi)，∴，則A、B、C、D四個選項(xiàng)，唯有A選項(xiàng)的滿足小于，故選：A．2．（2025九年級下·全國·專題練習(xí)）如圖，以△的邊為直徑作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．若要使是的切線，則下列補(bǔ)充的條件不正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】根據(jù)三角形中位線定理、平行線的性質(zhì)與判定、切線的判定定理證明，判斷即可．【解答】解：、，，是△的中位線，，，，是的切線，故本選項(xiàng)不符合題意；B、由選項(xiàng)可知：是的切線，故本選項(xiàng)不符合題意；C、，，，，，，，是的切線，故本選項(xiàng)不符合題意；D、當(dāng)時，不能證明是的切線，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的判定，三角形中位線定理、平行線的性質(zhì)與判定，經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．3．（22-23九年級上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）下列命題中，正確的是（）A．三個點(diǎn)確定一個圓 B．等弧所對的圓周角相等C．直角三角形的內(nèi)心與外心重合 D．與圓的一條半徑垂直的直線是該圓的切線【答案】B【分析】根據(jù)圓的確定，圓周角定理，內(nèi)心和外心的定義，切線的定義逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】A、不在同一條直線的三個點(diǎn)確定一個圓，選項(xiàng)說法錯誤，不符合題意；B、等弧所對的圓周角相等，選項(xiàng)說法正確，符合題意；C、直角三角形的內(nèi)心和外心不重合，選項(xiàng)說法錯誤，不符合題意；D、經(jīng)過半徑的外端，并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，選項(xiàng)說法錯誤，不符合題意；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查圓的確定，圓周角定理，內(nèi)心和外心的定義，切線的定義，熟練掌握不在同一條直線的三個點(diǎn)確定一個圓；等弧所對的圓周角相等；三角形的內(nèi)心是三條角平分線的交點(diǎn)，外心是三邊的中垂線的交點(diǎn)和切線的判定定理是解題的關(guān)鍵．4．（24-25九年級上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）如圖，是的直徑，弦于點(diǎn)E，如果，則的長為（）

A．1 B．2 C．4 D．8【答案】B【分析】本題考查垂徑定理，根據(jù)垂徑定理得出即可得到答案【詳解】解：∵是的直徑，弦于點(diǎn)E，∴，故選B5．（2025·湖南長沙·二模）如圖，是的直徑，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了圓周角定理，在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．根據(jù)圓周角定理求解即可．【詳解】解：和都對著，．故選：C．6．（21-22九年級上·陜西安康·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，的半徑為2，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，若將沿y軸向下平移，使得與x軸相切，則向下平移的距離為（

）A．1 B．5 C．3 D．1或5【答案】D【分析】分圓P在軸的上方與軸相切和圓P在軸的下方與軸相切兩種情況分別求解即可．【詳解】解：當(dāng)圓P在軸的上方與軸相切時，平移的距離為，當(dāng)圓P在軸的下方與軸相切時，平移的距離為，綜上所述，向下平移的距離為1或5．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了相切的定義、平移變換等知識點(diǎn)，注意分類討論是解答本題的關(guān)鍵．7．（2025·安徽滁州·一模）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，，，則的大小為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了圓內(nèi)接四邊形、三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．由四邊形是的內(nèi)接四邊形，得到，得出，再在中利用三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：四邊形是的內(nèi)接四邊形，，，，．故選：A．8．（2025·重慶·模擬預(yù)測）如圖，在矩形中，點(diǎn)在邊上，，以為圓心，的長為半徑畫弧，這條弧恰好經(jīng)過點(diǎn)，且交于點(diǎn)，則陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查的是扇形的面積計(jì)算，掌握矩形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)矩形的性質(zhì)得到為等邊三角形，根據(jù)扇形的面積公式計(jì)算即可．【詳解】如答圖，連接，由題意得，，，，，則，為等邊三角形，，陰影部分的面積為．故選：C．9．（2025·河南信陽·三模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，正六邊形的頂點(diǎn)，在軸上，頂點(diǎn)在軸上，若正六邊形的中心點(diǎn)的坐標(biāo)為則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】過點(diǎn)P作與點(diǎn)K，延長交y軸與點(diǎn)N，連接，，，先證明四邊形是矩形，再根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，由含30度直角三角形的性質(zhì)得出，由等腰三角形的性質(zhì)得出，由勾股定理求出，求出點(diǎn)K的坐標(biāo)即可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)．【詳解】解：過點(diǎn)P作與點(diǎn)K，延長交y軸與點(diǎn)N，連接，，，則，，∵是正六邊形，且中心角為，則，，∴，，∴，∴四邊形是矩形，∵正六邊形的中心點(diǎn)的坐標(biāo)為∴，∴，∴，∴點(diǎn)K的坐標(biāo)為：，∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了正多邊形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，寫出直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，掌握正多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（上海市閔行區(qū)2024-2025學(xué)年下學(xué)期七年級期末數(shù)學(xué)試題）一張直角三角形紙片，兩條直角邊長分別為a和，將紙片先繞長為b的直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，得到圓錐體甲；再繞長為a的直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，得到圓錐體乙，關(guān)于這兩個圓錐體，有下列兩個結(jié)論：①甲、乙的側(cè)面積之比為；②甲、乙的體積之比為．對于結(jié)論①和②，下列說法正確的是（

）A．①正確，②錯誤 B．①②都正確C．①錯誤，②正確 D．①②都錯誤【答案】B【分析】本題主要考查了求圓錐的側(cè)面積，圓錐的體積，分別計(jì)算繞不同直角邊旋轉(zhuǎn)形成的圓錐的側(cè)面積和體積，再求比值判斷結(jié)論是否正確．【詳解】解：繞長為的直角邊旋轉(zhuǎn)，底面半徑，高，母線，所以甲的側(cè)面積，甲的體積；繞長為的直角邊旋轉(zhuǎn)，底面半徑，高，母線，所以乙的側(cè)面積，乙的體積．則側(cè)面積之比：，故結(jié)論①正確；體積之比：，故結(jié)論②正確．綜上，①②均正確．故選：B．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）請把答案直接填寫在橫線上11．（2025·福建廈門·二模）已知直線l與相交，圓心O到直線l的距離為，則的半徑可能為．（只寫一個）【答案】6（或其他值）【分析】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，根據(jù)圓和直線相交即可求解，掌握直線和圓的位置與圓心距d與半徑r之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵直線l與相交，圓心O到直線l的距離為，∴的半徑大于，故答案為：6（或其他值）．12．（2025·廣西南寧·模擬預(yù)測）圓底燒瓶是化學(xué)實(shí)驗(yàn)中常用的反應(yīng)容器．圖1是一個裝有液體的圓底燒瓶（厚度忽略不計(jì)），圖2是它的側(cè)面示意圖．若燒瓶中液體水平寬度為，豎直高度為，則的半徑為；【答案】【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．由垂徑定理得到，設(shè)的半徑為，則，，在中，根據(jù)勾股定理有，代入即可解答．【詳解】解：連接，∵，∴，設(shè)的半徑為，則，∴，∵在中，，即，解得：，∴的半徑為．故答案為：．13．（24-25九年級下·全國·假期作業(yè)）如圖，在正多邊形中，若，則該多邊形的邊數(shù)為．【答案】10【分析】本題考查正多邊形和圓，掌握正多邊形中心角的計(jì)算方法以及圓周角定理是正確解答的關(guān)鍵．根據(jù)正多邊形的性質(zhì)，中心角的計(jì)算方法以及圓周角定理列方程求解即可【詳解】解：如圖，設(shè)這個正邊形的外接圓為，連接，，則，，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，這個正多邊形是正十邊形，故答案為：10．14．（2025·山西朔州·三模）如圖，數(shù)學(xué)課上，老師讓同學(xué)們從卡紙上剪下一個扇形，它可以折成一個底面半徑為，高為的圓錐體，那么這個扇形的圓心角的度數(shù)是．【答案】/度【分析】本題考查了圓錐與扇形之間的關(guān)系，扇形的弧長，勾股定理；設(shè)圓錐的母線為，由勾股定理得，由弧長公式得，即可求解；理解圓錐與扇形之間的關(guān)系，掌握弧長公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)圓錐的母線為，這個扇形的圓心角，，，，解得：，故答案為：．15．（2025·廣東廣州·二模）如圖，正方形的邊長為6，以邊為直徑在正方形內(nèi)部作半圓，圓心為O，過點(diǎn)A作半圓的切線，與半圓相切于點(diǎn)F，與相交于點(diǎn)E，則．【答案】【分析】本題考查了切線長定理，正方形的性質(zhì)，勾股定理；由于與圓切于點(diǎn)，根據(jù)切線長定理有，；設(shè)．則，，然后在三角形中由勾股定理可以列出關(guān)于的方程，即可求出．【詳解】解：與圓切于點(diǎn)，∴根據(jù)切線長定理有，，設(shè)，則，，在三角形中由勾股定理得：，，．故答案為：．16．（24-25九年級下·河北石家莊·開學(xué)考試）如圖，在直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)為圓心，畫半徑的圓，點(diǎn)為直線上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線，切點(diǎn)為，則的最小值為

【答案】4【分析】設(shè)直線分別與軸，軸交于點(diǎn)，連接，先求出，再根據(jù)圓的切線的性質(zhì)可得，根據(jù)勾股定理可得，從而可得當(dāng)時，的值最小，則取得最小值，然后根據(jù)等腰三角形的判定和勾股定理可求出，由此即可得．【詳解】解：如圖，設(shè)直線分別與軸，軸交于點(diǎn)，連接，

當(dāng)時，，解得，即，當(dāng)時，，即，∴，∵軸軸，∴，∵的圓心為，半徑為，∴，，∵是的切線，∴，即，∴，∴當(dāng)?shù)闹底钚r，取得最小值，由垂線段最短可知，當(dāng)時，的值最小，∴此時，∴，∴，∴，∴的最小值為，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的判定、一次函數(shù)的應(yīng)用，正確找出當(dāng)時，的值最小，則取得最小值是解題關(guān)鍵．三、解答題（本大題共7小題，共72分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（23-24九年級上·浙江紹興·階段練習(xí)）如圖，在單位長度為1的正方形網(wǎng)格圖中，一條圓弧經(jīng)過網(wǎng)格點(diǎn)三點(diǎn)，請?jiān)诰W(wǎng)格中進(jìn)行下列操作：

(1)在圖中確定該圓弧所在圓的圓心D點(diǎn)的位置．(2)寫出D點(diǎn)坐標(biāo)為_________，并求的半徑長．【答案】(1)答案見詳解；(2)；【分析】（1）根據(jù)垂徑定理得到圓的圓心D點(diǎn)的位置及坐標(biāo)；（2）從圖上可直接讀出點(diǎn)D的坐標(biāo)；根據(jù)勾股定理進(jìn)行計(jì)算，得到答案．【詳解】（1）由垂徑定理得到圓的圓心D;如圖所示：

（2）

D點(diǎn)坐標(biāo)為；連接，由勾股定理得：【點(diǎn)睛】本題考查的是過三點(diǎn)的圓、垂徑定理、勾股定理，掌握這些知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．18．（23-24九年級上·廣東東莞·期末）如圖，正六邊形內(nèi)接于，邊長為2．(1)求的直徑的長；(2)求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查正多邊形和圓，圓周角定理：（1）連接，求出的度數(shù)，得到是等邊三角形，得到，即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)圓周角定理，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）解：連接．∵正六邊形內(nèi)接于，∴，又，∴是等邊三角形．∴．∴．（2）解：∵，∴．19．（23-24九年級上·浙江杭州·期中）已知：如圖，是的直徑，弦于點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，、的延長線交于點(diǎn)(1)求證：；(2)若，的度數(shù)為，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）利用，可得，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)可得，即可得到結(jié)論；（2）利用，可得，根據(jù)圓周角定理得到，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余即可得到的度數(shù)；【詳解】（1）解：連接，∵，∴，∴，∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴，即：（2）∵，，∴，，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，掌握垂徑定理是是解決本題的關(guān)鍵．20．（2025·河北秦皇島·一模）如圖1，某公園有一個圓形音樂噴泉，為了保障游客安全，管理部門打算在噴泉周圍設(shè)置一圈防護(hù)欄現(xiàn)在對噴泉進(jìn)行測量和規(guī)劃，其示意圖如圖2所示，相關(guān)信息如下：信息二：點(diǎn)O為噴泉中心，是噴泉邊緣的一條弦，米，D是弦的中點(diǎn)，連接并延長，交劣弧于點(diǎn)C，米．信息二：已知防護(hù)欄要距離噴泉邊緣1米，以O(shè)為圓心，R為半徑作防護(hù)欄所在圓．請根據(jù)以上信息解答下列問題(1)求噴泉的半徑；(2)要在防護(hù)欄上每隔1.5米安裝一盞景觀燈，大約需要安裝多少盞景觀燈？（取3.14，結(jié)果保留整數(shù)）【答案】(1)噴泉的半徑為5米(2)大約需要安裝25盞景觀燈【分析】本題考查垂徑定理，求圓的周長，熟練掌握垂徑定理，是解題的關(guān)鍵：（1）連接，設(shè)噴泉的半徑為，根據(jù)垂徑定理和勾股定理進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)噴泉的半徑求出防護(hù)欄的半徑，進(jìn)而求出防護(hù)欄的周長，進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：連接，設(shè)噴泉的半徑為，則：，∴，∵D是弦的中點(diǎn)，∴平分弦，，∴，∴，∴，∴米；答：噴泉的半徑為5米；（2）解：由題意，得：米，（盞）；答：大約需要安裝25盞景觀燈．21．（2020·新疆烏魯木齊·一模）如圖，在中，，以為直徑的交于，點(diǎn)在線段上，且．

(1)求證：是的切線；(2)若，，求的半徑．【答案】(1)證明見解析(2)1【分析】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等邊對等角，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）連接．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和切線的判定定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)切線的性質(zhì)得到，求得．根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：連接．

，，，，，．，，是的切線；（2）解：，為直徑，是的切線．是的切線，，，．，在中，，，．的半徑為1．22．（24-25九年級上·四川綿陽·階段練習(xí)）已知，如圖，中，，點(diǎn)在邊上，是的外接圓，，．(1)證明：與相切；(2)如圖1，連接，若，求長度；(3)如圖2，作，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，若，求長度．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）作直徑與交于點(diǎn)H，由圓周角定理得到，由等腰三角形的三線合一得到，，再根據(jù)平行即可得到，繼而求證；（2）設(shè)半徑為，由勾股定理得，則，在中，由勾股定理得，解得：，則，證明，則，在中，，在中，；（3）解：連接，與交于點(diǎn)，顯然四邊形是平行四邊形，則，導(dǎo)角得到，而在平行四邊形中，，而，導(dǎo)角則，故，由中位線得到，則，，．【詳解】（1）證明：作直徑與交于點(diǎn)H，∵，∴，∴，∴，∴，，∵，∴，而是直徑，∴與相切；（2）解：連接，設(shè)半徑為，∵，∴，∵在中，，∴由勾股定理得：，∴，∵在中，由勾股定理得：∴，解得：，∴∵，∴，∵，∴，而，∴，又∵，∴，∴，∴在中，，在中，則，∴；（3）解：連接，與交于點(diǎn)∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∴平分，即，又，∴，而在平行四邊形中，，而，∴，∴，∴，∵，∴，∵是直徑，∴，∴，又點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，∴，在中，，∴，在中，，∴，在中，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，弧、弦之間的關(guān)系，平行四邊形的判定與性質(zhì)，綜合性很強(qiáng)，難度較大，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．23．（24-25九年級上·北京·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為1，對于線段和x軸上的點(diǎn)P，給出如下定義：若將線段繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)可以得到⊙的弦（分別為A，B的對應(yīng)點(diǎn)），則稱線段為以P為中心的“相關(guān)線段”．(1)如圖，已知點(diǎn)，在線段，，中，以P為中心的“相關(guān)線段”是________；(2)已知點(diǎn)，線段是以P為中心的“相關(guān)線段”，求點(diǎn)F的橫坐標(biāo)的取值范圍．(3)已知點(diǎn)，若直線上存在點(diǎn)F，使得線段是以P為中心的“相關(guān)線段”，直接寫出m的取值范圍：___________．【答案】(1)和(2)(3)【分析】（1）由題知“關(guān)聯(lián)線段”是關(guān)于P點(diǎn)成中心對稱的，根據(jù)