PAGE1專題23弧長和扇形面積（11大類型精準(zhǔn)練+過關(guān)檢測）內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲第一步：學(xué)析教材學(xué)知識：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)練題型強知識：11大核心考點精準(zhǔn)練第二步：記串知識識框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握第三步：測過關(guān)測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補缺快速提升知識點1.弧長公式（1）圓周長公式：C＝2πR（2）弧長公式：l=nπR180（弧長為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為①在弧長的計算公式中，n是表示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不要帶單位．②若圓心角的單位不全是度，則需要先化為度后再計算弧長．③題設(shè)未標(biāo)明精確度的，可以將弧長用π表示．④正確區(qū)分弧、弧的度數(shù)、弧長三個概念，度數(shù)相等的弧，弧長不一定相等，弧長相等的弧不一定是等弧，只有在同圓或等圓中，才有等弧的概念，才是三者的統(tǒng)一．知識點2.扇形的面積公式（1）圓面積公式：S＝πr2（2）扇形：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形叫做扇形．（3）扇形面積計算公式：設(shè)圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，則S扇形=n360πR2或S扇形=12（4）求陰影面積常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割補法．求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．知識點3.圓錐的側(cè)面積和全面積圓錐的側(cè)面積：S側(cè)=12?2πr?l＝π圓錐的全面積：S全＝S底+S側(cè)＝πr2+πrl【類型1】已知半徑和圓心角求弧長1．（24-25九年級上·廣東廣州·期末）在半徑為的圓中，的圓心角所對的弧長是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查弧長的計算，關(guān)鍵是掌握弧長的計算公式．弧長公式∶(弧長為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為r)，由此即可計算．【詳解】解：故選：A．2．（24-25九年級上·陜西渭南·期中）制作彎形管道時，需要先按中心線計算“展直長度”再下料．中心線可看做半徑為，圓心角為所對的圓弧，試計算如圖所示的管道的展直長度，即的長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了弧長的計算公式，根據(jù)弧長公式進行計算即可．弧長公式：（弧長為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為R）．【詳解】解：的長為．故選：D．3．（2025·江蘇鹽城·三模）如圖，點在以為直徑的半圓上，半徑，，則的長度為(結(jié)果保留)【答案】【分析】本題考查了弧長公式、根據(jù)，得出，進而根據(jù)弧長公式計算，即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∴的長度為，故答案為：．4．（2025·湖北咸寧·模擬預(yù)測）如圖，是的直徑，點是上的一點，點是延長線上的一點，連接，．(1)求證：是的切線；(2)若的直徑是8，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了切線的判定，弧長公式，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)等邊對等角并結(jié)合已知可得出，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得出，然后根據(jù)切線的判定即可得證；（2）在中，根據(jù)正切的定義和特殊角的三角函數(shù)值可求出，然后根據(jù)弧長公式求解即可．【詳解】（1）證明：連，，，，，，即，是直徑，，，是半徑，是的切線．（2）解：的直徑是8，，在中，，，，的長為．【類型2】已知弧長和圓心角求半徑5．（2025·安徽合肥·二模）若扇形的弧長為，，則扇形的半徑為（

）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】B【分析】本題考查了弧長公式，弧長公式為，分別是圓心角，半徑，據(jù)此列式代數(shù)進行計算，即可作答．【詳解】解：依題意，設(shè)扇形的半徑為，∵扇形的弧長為，，則∴解得，故選：B6．（2024·黑龍江哈爾濱·中考真題）若圓心角所對的弧長是，則此弧所在圓的半徑的長是．【答案】【分析】本題考查了弧長公式，熟練掌握弧長公式是解題的關(guān)鍵．設(shè)半徑為，根據(jù)弧長公式得出，計算即可得到答案．【詳解】解：設(shè)半徑為，根據(jù)題意得，∴，故答案為：．7．（22-23九年級上·全國·單元測試）弧長為的弧所對的圓心角為，求弧所在的圓的半徑．【答案】18【分析】設(shè)弧所在的圓的半徑為，由弧長公式計算即可得到答案．【詳解】解：設(shè)弧所在的圓的半徑為，由弧長公式得：，解得：，弧所在的圓的半徑為18．【點睛】本題主要考查了弧長公式，熟練掌握弧長公式是解題的關(guān)鍵．【類型3】已知弧長和半徑求圓心角8．（24-25九年級下·貴州畢節(jié)·階段練習(xí)）將一把折扇展開，可抽象看成一個扇形．若該扇形的半徑為3，弧長為，則這個扇形的圓心角的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查弧長公式，根據(jù)弧長公式（n為圓心角的度數(shù)，r為扇形的半徑）求解即可．【詳解】解：設(shè)這個扇形的圓心角的度數(shù)為n，根據(jù)題意，得，解得，故選：C．9．（2025·安徽合肥·三模）如圖，為的直徑，，劣弧的長，則弦的長為（）A．2 B．4 C．4 D．6【答案】C【分析】本題考查了弧長公式，勾股定理；先利用弧長公式求出，再根據(jù)勾股定理計算即可．【詳解】解：連接，設(shè)的度數(shù)為，∵，∴半徑，則，∴，∴弦，故選：C．10．（24-25九年級上·河南信陽·階段練習(xí)）如圖1是小區(qū)圍墻上的花窗，其形狀是扇形的一部分，圖2是其幾何示意圖（陰影部分為花窗）．已知，點C，D分別為的中點，且的長度為．(1)求扇形的圓心角度數(shù)；(2)依據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)，求花窗的面積．【答案】(1)扇形圓心角的度數(shù)為(2)花窗的面積為【分析】本題考查求圓心角與扇形面積，熟練掌握弧長與扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)的度數(shù)為，根據(jù)弧長公式列方程求解即可；（2）先根據(jù)扇形的面積公式求出、，再由求解即可．【詳解】（1）解：由題知，，點C，D分別為的中點，∴，設(shè)的度數(shù)為，∵的長度為．∴，解得，∴扇形圓心角的度數(shù)為；（2）解：∵，∴，∴花窗的面積為．【類型4】求扇形的面積11．（2025·浙江溫州·三模）已知扇形的半徑為6，圓心角為，則它的面積是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查扇形面積公式的知識點，已知扇形的半徑和圓心角度數(shù)求扇形的面積，選擇公式直接計算即可．【詳解】解：，故選：D．12．（2025·貴州貴陽·一模）如圖①是一塊弘揚“新時代青年勵志奮斗”的扇面宣傳展板，該展板的部分示意圖如圖②所示，它是以點為圓心，長分別為半徑，圓心角的扇面，若，則陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了扇形的面積，掌握扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)直接求解即可．【詳解】解：如圖，．故選：A．13．（2025·四川廣安·模擬預(yù)測）如圖，在正六邊形中，連結(jié)與，以點為圓心，長為半徑畫弧，若，則圖中陰影部分的面積是．【答案】【分析】此題重點考查正多邊形和圓、圓周角定理、垂徑定理、直角三角形中角所對的直角邊等于斜邊的一半、勾股定理、扇形的面積公式等知識，正確地添加輔助線是解題的關(guān)鍵．作正六邊形的外接圓，圓心為點，連接交于點，連接、，求得，由垂徑定理得，則，所以，根據(jù)勾股定理求得，則，即可根據(jù)扇形的面積公式求得陰影部分面積．【詳解】解：作正六邊形的外接圓，圓心為點，連接交于點，連接、，，，，、，∴弧弧，，，，，，，故答案為：．14．（24-25九年級上·內(nèi)蒙古赤峰·期末）如圖，四邊形內(nèi)接于，，為對角線，點在的延長線上，且．(1)判斷所在直線與的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若，的半徑為3，求陰影部分的面積．（結(jié)果保留）【答案】(1)所在直線與相切，理由見解析；(2)．【分析】本題考查了切線的判定，圓有關(guān)的性質(zhì)，扇形的面積，熟練運用是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)圓周角為直角的弦是直徑得到是直徑，再根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得到，從而得到，根據(jù)已知得，同弧所對的圓周角相等得，從而得到，即可證明；（2）找到圓心角，再利用扇形的面積公式即可求解．【詳解】（1）解：所在直線與相切，理由如下：連接，，是直徑，，，，，，，，即，點D在上，是的切線；（2）由（1）知，，，，，．【類型5】求弓形的面積15．（2025·安徽安慶·一模）如圖，已知的半徑為2，點A和點B在上，若，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了扇形面積公式，等邊三角形的判定與性質(zhì)，弓形面積；先證明是等邊三角形，推出，直接根據(jù)即可得出結(jié)論，熟記扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，是等邊三角形，，，故選：B．16．（2024·江蘇徐州·模擬預(yù)測）如圖，在等腰中，，，以為直徑的交于點D，連接、，則圖中陰影部分的面積為．【答案】【分析】本題考查了圓的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，扇形面積公式，熟練掌握圓的性質(zhì)，扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圓周角定理可得，再根據(jù)三角形中位線定理可得，從而得到，即可求解．【詳解】解：∵，，為的直徑．∴，∴，∴，∴陰影部分的面積為．故答案為：17．（23-24九年級上·浙江紹興·期末）如圖，為半圓的直徑，為半圓上一點，為弧的中點，交弦于點，若，求：

(1)的長．(2)陰影部分的面積．【答案】(1)1(2)【分析】本題考查垂徑定理、勾股定理及扇形面積計算，掌握垂徑定理，勾股定理是解題的關(guān)鍵．（1）由E是弧的中點，可得．根據(jù)垂徑定理得：，在中，運用勾股定理可將的長求出，由即可求解；（2）利用陰影部分面積等于扇形面積減去面積即可求出．【詳解】（1）解：∵E是弧的中點，，∴，∴，∵為半圓O的直徑，，∴，在中，，∴，解得：，∴，∴的長為1；（2）解：連接，

在中，，，，，，．【類型6】求不規(guī)則圖形的面積18．（24-25九年級下·河南商丘·期中）如圖，半徑為的扇形中，為的中點，連接，．已知的長度為，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查的是扇形面積的計算，熟記扇形的面積公式及菱形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．證明，得出，則圖中陰影部分的面積為扇形的面積，根據(jù)已知求得圓心角，進而根據(jù)扇形面積公式，即可求解．【詳解】解：如圖，設(shè)交于點，∵為的中點，∴，∴，又∵∴∴∵半徑為的扇形中，的長度為，設(shè)∴，解得：∴∴圖中陰影部分的面積為故選：A．19．（2025·重慶·二模）如圖，在菱形中，以點為圓心，為半徑畫弧，交線段于點，以為直徑畫半圓．若，，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查扇形面積的計算及等邊三角形的性質(zhì)，能夠?qū)㈥幱安糠值拿娣e轉(zhuǎn)化為兩個扇形的面積與等邊三角形之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．本題利用等于陰影部分的面積進行計算即可．【詳解】解：如圖作半圓的圓心，連接，并作于點，，，，為等邊三角形，∴，，，，在直角中，勾股定理可得：，，，，陰影部分的面積．故選：D．20．（24-25九年級上·安徽阜陽·期末）如圖，是的弦，過圓心作于點，延長交于點，與過點的的切線交于點，連接．(1)求證：是的切線．(2)若，，求線段的長及陰影部分的面積．【答案】(1)證明見解析(2)，陰影部分的面積為【分析】本題考查圓的綜合運用，涉及垂徑定理，切線的性質(zhì)與判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，圓中陰影面積的計算，特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握圓的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）連接，，利用得出垂直平分，得出，證明，結(jié)合切線的性質(zhì)得出即可證明；（2）設(shè)的半徑為，則，，在中，利用列式求出，利用，求出，則，即可求出和，則可求出，求出，利用即可求解．【詳解】（1）解：如圖，連接，，為的切線，，．，，即垂直平分，．在和中，，，，．又是的半徑，是的切線；（2）解：設(shè)的半徑為，則，，由（1）可知．，，解得：，，，，，，，．，，．21．（24-25九年級上·吉林松原·期末）如圖，在中，，，的垂直平分線交于點，以為圓心，為半徑作．(1)求證：是的切線；(2)若的半徑為4，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留根號和）．【答案】(1)見解析；(2)．【分析】（1）連接．由中垂線的性質(zhì)得出，由等腰三角形的性質(zhì)得出．求出，則可得出答案；（2）求出，，由扇形的面積公式可得出答案．【詳解】（1）證明：如圖所示，連接．是的垂直平分線，．點在上．，，．，．．即，是的切線．（2）解：，．，在中，，．【點睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，扇形的面積公式，解直角三角形，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)和相關(guān)公式是解題的關(guān)鍵．【類型7】求旋轉(zhuǎn)后的面積22．（24-25九年級上·河北秦皇島·期中）如圖，在中，，將繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，則圖中陰影部分的面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了扇形面積計算，勾股定理，先利用勾股定理求出的長，再根據(jù)進行求解即可．【詳解】解：∵在中，，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∴，故選：C．23．（2023·山東聊城·二模）如圖，將繞點旋轉(zhuǎn)得到，已知，則線段掃過的圖形面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查扇形面積的計算；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．由于將繞點C旋轉(zhuǎn)得到，可見，陰影部分面積為扇形減扇形，分別計算兩扇形面積，再計算其差即可．【詳解】解：如圖：；；則．故選：D．24．（24-25六年級下·上海·階段練習(xí)）如圖，已知，，，半徑為的從點出發(fā)，沿方向滾動到點時停止．則在此運動過程中，掃過區(qū)域的面積是．（結(jié)果保留）【答案】【分析】本題考查扇形面積的計算，掌握圓面積、扇形面積以及長方形面積的計算方法是正確解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意畫出圖形如圖，將運動路徑分為，根據(jù)圓面積、扇形面積以及矩形面積，即進行計算即可．【詳解】解：運動路徑如圖：故答案為：．【類型8】求圓錐的側(cè)面積25．（2025·廣西南寧·三模）廣西斗笠是當(dāng)?shù)貍鹘y(tǒng)手工編織的實用雨具，其形狀常可抽象成圓錐．如圖，已知一廣西斗笠的底面半徑為，母線長，則該斗笠的側(cè)面面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查求圓錐的側(cè)面積，根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式：，進行計算即可．【詳解】解：由題意，該斗笠的側(cè)面面積為；故選C．26．（2025·四川綿陽·三模）如圖，物體由兩個圓錐組成，其主視圖中，，，若上面圓錐的側(cè)面積為5，則下面圓錐的側(cè)面積為（

）A．10 B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．也考查了等腰直角三角形和等邊三角形的性質(zhì)．先證明為等邊三角形得到，再證明為等腰直角三角形得到，再利用圓錐的側(cè)面積的計算方法得到上面圓錐的側(cè)面積與下面圓錐的側(cè)面積的比等于，從而得到下面圓錐的側(cè)面積．【詳解】，而，∴為等邊三角形，，，，，，，∴為等腰直角三角形，∴，∴，∵上面圓錐與下面圓錐的底面相同，∴上面圓錐的側(cè)面積與下面圓錐的側(cè)面積的比等于，∴下面圓錐的側(cè)面積．故選：D．27．（2025·云南昆明·二模）2025年3月9日，云南省首屆“云嶺石榴紅”陀螺邀請賽在玉溪市新平彝族傣族自治縣正式開幕．來自昆明、玉溪、普洱等省內(nèi)7個州市的68支隊伍齊聚一堂，展開激烈角逐，以陀螺為媒，共話民族團結(jié)，共促文化交流．陀螺的底部是一個圓錐的造型．如圖，圓錐的母線長為，高h為，則此圓錐的側(cè)面積為．（結(jié)果保留）【答案】【分析】本題考查了勾股定理，圓錐的側(cè)面積的求解，掌握圓錐的側(cè)面積為（分別為底面圓半徑和母線長）是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)勾股定理求出半徑，再由圓錐側(cè)面積計算公式求解即可．【詳解】解：由題意得，，∴圓錐的側(cè)面積為，故答案為：．28．（24-25九年級上·貴州貴陽·期中）已知圓錐的底面半徑為，高，現(xiàn)有一只螞蟻從底邊上一點A出發(fā)，在側(cè)面上爬行一周后又回到A點．(1)求圓錐的全面積；(2)求螞蟻爬行的最短距離．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了求圓錐全面積，勾股定理，弧長公式，對于（1），先根據(jù)勾股定理求出圓錐的母線，再根據(jù)得出答案；對于（2），先根據(jù)弧長公式求出圓心角，可知該三角形是直角三角形，結(jié)合兩點之間線段最短，再根據(jù)勾股定理得出答案．【詳解】（1）解：∵．∴在中，由勾股定理，得母線，∴；（2）解：設(shè)扇形的圓心角為．由（1）知，，而圓錐的側(cè)面展開后的扇形的弧長為，∴，解得，即是等腰直角三角形．在中，由勾股定理，得，∴螞蟻爬行的最短距離為．【類型9】求圓錐的底圓半徑29．（2025·云南·中考真題）若一個圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)為，母線長為，則該圓錐的底面圓的半徑為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了圓錐的計算，解題的關(guān)鍵是了解圓錐的底面周長等于側(cè)面展開圖扇形的弧長．設(shè)圓錐底面圓半徑為，根據(jù)圓錐側(cè)面展開圖的扇形弧長等于底面圓的周長得到，即可求解半徑．【詳解】解：設(shè)圓錐底面圓半徑為，由題意得：，解得，因此，該圓錐的底面圓半徑為，故選：B．30．（2025·四川廣安·中考真題）如圖，圓錐的側(cè)面展開圖是一個圓心角為的扇形，若圓錐的母線長為5，則該圓錐的底面圓的半徑為（

）A． B． C． D．5【答案】A【分析】本題考查了與圓錐相關(guān)的計算，熟知圓錐側(cè)面展開后是扇形及與圓錐的底面半徑的關(guān)系是解題的關(guān)鍵；先計算圓錐展開圖的扇形的弧長，再進一步計算即可【詳解】解：圓錐側(cè)面展開圖的扇形的弧長，∴該圓錐的底面圓的半徑為；故選：A31．（2025·山東臨沂·二模）如圖，正五邊形的邊長為4，以為圓心，以為半徑作弧，若用扇形圍成一個圓錐的側(cè)面，則該圓錐的底面半徑為．【答案】【分析】本題主要考查了正多邊形與圓，展開圖折疊成幾何體，圓錐的計算，正確記憶相關(guān)知識點是解題關(guān)鍵．設(shè)該圓錐的底面半徑為，根據(jù)正多邊形內(nèi)角和定理求出，再根據(jù)圓錐底面圓周長等于其側(cè)面展開圖的扇形的弧長列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)該圓錐的底面半徑為，由題意得，由題意得，，，該圓錐的底面半徑為，故答案為：．【類型10】求圓錐側(cè)面展開后圓心角的度數(shù)32．（2025·湖南長沙·模擬預(yù)測）已知一個圓錐的母線長，底面半徑是，則圓錐側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了圓錐側(cè)面展開圖，弧長等知識．熟練圓錐側(cè)面展開圖的弧長是圓錐底面圓的周長是解題的關(guān)鍵．設(shè)該圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù)是，依題意得，，計算求解即可．【詳解】解：設(shè)該圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù)是，依題意得，，解得，，故選：D．33．（2025·黑龍江佳木斯·二模）已知圓錐的母線長為，底面圓的半徑為，則圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)是．【答案】【分析】本題主要考查了求圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)，設(shè)圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)是，根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖得到的扇形的弧長等于其底面圓周長建立方程求解即可．【詳解】解；設(shè)圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)是，由題意得，，解得，∴圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)是，故答案為：．34．（24-25九年級上·甘肅慶陽·階段練習(xí)）在綜合實踐活動課上，小明同學(xué)用紙板制作了一個底面半徑為2，母線長為3的圓錐形漏斗模型（如圖），求這個圓錐形漏斗的側(cè)面積及側(cè)面展開圖的圓心角．【答案】這個圓錐形漏斗的側(cè)面積為，,側(cè)面展開圖的圓心角為．【分析】本題主要考查了圓錐的計算．根據(jù)圓錐的側(cè)面積，代入數(shù)進行計算即可；再根據(jù)即可求出圓心角．【詳解】解：圓錐的側(cè)面積；設(shè)側(cè)面展開圖的圓心角為，則：，．答：這個圓錐形漏斗的側(cè)面積為，側(cè)面展開圖的圓心角為．【類型11】求圓錐中的最值問題35．（2025·河北滄州·模擬預(yù)測）已知某建筑物的頂端為圓錐形（如圖），為了美觀，要在圓錐形建筑上裝飾一條燈帶，燈帶自處開始繞側(cè)面一周又回到點，若這個圓錐形建筑物的底面周長為，母線的長為，則這條燈帶的最短長度是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了圓錐的計算，首先求出圓錐底面的周長，再求出圓錐側(cè)面的圓心角度數(shù)，最后運用勾股定理求出的長即可．【詳解】如圖，扇形為圓錐的側(cè)面展開圖，連接．圓錐形底面周長為，母線的長為，．解得，即，，∴，過點作于點，．．∴，，，垂直，，．故這條燈帶的最短長度為，故選D．36．（24-25九年級上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）已知圓錐的底面半徑為2，母線長，現(xiàn)有一只小蟲從圓錐底面圓上A點出發(fā)，沿著圓錐側(cè)面繞行到母線的中點B，則它所走的最短路程是．【答案】【分析】本題考查求圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角，圓錐側(cè)面上最短路徑問題，涉及弧長公式，圓的周長公式，勾股定理，兩點之間線段最短等知識，掌握圓錐的底面周長就是側(cè)面展開圖（扇形）的弧長和兩點之間線段最短是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圓錐的底面周長就是側(cè)面展開圖（扇形）的弧長求解圓心角；再畫出展開圖，根據(jù)兩點之間線段最短和勾股定理求解即可．【詳解】解：設(shè)它的側(cè)面展開圖的圓心角為，根據(jù)圓錐的底面周長就是側(cè)面展開圖（扇形）的弧長得：，又∵．，解得：．∴它的側(cè)面展開圖的圓心角是；根據(jù)側(cè)面展開圖的圓心角是，畫出展開圖如下：根據(jù)兩點之間，線段最短可知為最短路徑，，B為的中點，由（1）知∴∴它所走的最短路線長是．故答案為：37．（24-25九年級上·廣東肇慶·期末）綜合與實踐問題情境：如圖1，將一個圓心角為、半徑為R的扇形，可制作成圓錐（如圖2），圓錐的底面半徑為r，點A與點重合，工人在制作圓錐形物品時，通常要先確定扇形圓心角度數(shù)，再度量裁剪材料．(1)探索嘗試：圖1中，圓錐側(cè)面扇形的弧長與圓錐底面周長_____（填“相等”或“不相等”）．(2)解決問題：為操作簡便，工人希望能簡潔求n的值，請用含r，R的式子表示n；(3)拓展延伸：圖3是一種紙質(zhì)圓錐形生日帽，，C是中點，現(xiàn)要從點A到點C再到點A之間拉一裝飾彩帶（如圖4），求彩帶長度的最小值．【答案】(1)相等；(2)；(3)【分析】本題主要考查了圓錐側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù)、勾股定理求最值等知識點，掌握圓錐的相關(guān)計算是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)圓錐底面周長與其側(cè)面展開圖的弧長相等即可求解；（2）根據(jù)求解即可；（3）根據(jù)條件得出圓錐的側(cè)面展開后可得到的扇形圓心角為，進而根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：由于圓錐的側(cè)面的扇形的弧和底面圓的圓周重合，即圓錐側(cè)面扇形的弧長與圓錐底面周長相等．故答案為：相等．（2）解：由圓錐的底面周長等于側(cè)面扇形的弧長，可得：則：，即：．（3）解：如圖：∵，∴，∴，∴圓錐的側(cè)面展開后可得到的扇形圓心角為，∴，∵，C是中點，∴，∴在中，，∴彩帶長度的最小值為．38．（24-25九年級上·安徽蕪湖·期末）如圖1，等腰三角形ABC中，當(dāng)頂角的大小確定時，它的對邊（即底邊）與鄰邊（即腰或）的比值他就確定了，我們把這個比值記作，即，當(dāng)時，如．(1)__________，__________，的取值范圍是__________；(2)如圖2，圓錐的母線長為18，底面直徑，一只螞蟻從點P沿著圓錐的側(cè)面爬行到點Q，求螞蟻爬行的最短路徑長．（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】(1)，，(2)約為【分析】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、圓錐的側(cè)面展開圖、弧長公式等知識點，掌握相關(guān)性質(zhì)定理和的定義是解本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)進行計算即可；（2）先根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖的知識和扇形的弧長公式計算，可求扇形的圓心角；再根據(jù)的定義即可解答．【詳解】（1）解：如圖1，由，得，∴，如圖2，∵，∴作于D，則，，∴，則，∴∴，∴；∵，∴，∴．故答案為：，，；（2）解：∵圓錐的底面直徑，∴圓錐的底面周長為，即側(cè)面展開圖扇形的弧長為，設(shè)扇形的圓心角為，則，解得，，∴螞蟻爬行的最短路徑長為．一、單選題1．（2025·四川宜賓·二模）圓心角為，半徑為的扇形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了扇形的面積，根據(jù)扇形面積公式直接計算即可求解，掌握扇形面積計算公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意得，，故選：．2．（2025·江蘇無錫·三模）勞動課上，小明用一張半徑為，圓心角是的扇形紅色紙片做成一個圓錐形的帽子（紙片無損耗），則這個圓錐形帽子的側(cè)面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了關(guān)扇形和圓錐的相關(guān)計算．根據(jù)扇形面積公式進行計算即可求解．【詳解】解：故選：C．3．（2025九年級下·云南楚雄·學(xué)業(yè)考試）一個圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，且側(cè)面積為，該圓錐的母線長為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】本題考查了求圓錐的母線長，熟練掌握扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．設(shè)圓錐的母線長為，根據(jù)扇形的面積公式列出方程，即可求解．【詳解】解：設(shè)圓錐的母線長為，由題意得，，解得：，圓錐的母線長為3．故選：A．4．（24-25七年級上·陜西咸陽·階段練習(xí)）中國扇文化有著深厚的文化底蘊，是民族文化的一個組成部分，中國被譽為制扇王國．小旭制作了一把扇形紙扇，如圖，，，紙扇完全打開后，外側(cè)兩竹條（竹條寬度忽略不計）的夾角，現(xiàn)需在扇面一側(cè)繪制水墨畫，則水墨畫所在紙面的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了扇形面積的計算，將山水畫所在紙面的面積轉(zhuǎn)化為大小兩個扇形的面積之差即可解決問題．【詳解】解：由題知，，，所以山水畫所在紙面的面積為：．故選：B．5．（2025·云南昆明·模擬預(yù)測）如圖，，，是上的點，，，則陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查圓周角定理，扇形的面積，熟練掌握圓周角定理和扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．先利用圓周角定理得出，再利用扇形面積公式計算即可．【詳解】解：∵，∴，∴，故選：B．6．（2025·湖南邵陽·一模）如圖，以正六邊形的頂點O為圓心，的長為半徑畫圓，若圓與正六邊形重疊部分（圖中陰影部分）的面積為，則的半徑為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】本題考查了正多邊形與圓，掌握扇形面積公式是解題關(guān)鍵．先求出正六邊形的內(nèi)角度數(shù)，再設(shè)的半徑為，根據(jù)扇形面積公式列方程求解即可．【詳解】解：正六邊形，，設(shè)的半徑為，則，解得：，即的半徑為3故選：A．7．（2025·山西·中考真題）如圖，在中，，分別以點為圓心、的長為半徑畫弧，與的延長線分別交于點．若，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，扇形的面積，由等腰直角三角形的性質(zhì)得，，進而由解答即可求解，掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，故選：．8．（2025·山西·模擬預(yù)測）如圖，半徑為2的圓形紙片上有三點，分別沿弦折疊圓形紙片，使折疊后的與都經(jīng)過圓心，則，圍成的陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了求不規(guī)則圖形的面積，解直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)與判定，折疊的性質(zhì)，垂徑定理，在上取點關(guān)于直線的對稱點，連接，連接交于點，由折疊的性質(zhì)可得，則可證明和是等邊三角形，垂直平分，進而可得，解直角三角形得到，則，可求出，同理可得，再根據(jù)列式求解即可．【詳解】解：如圖，在上取點關(guān)于直線的對稱點，連接，連接交于點．由折疊可知．和是等邊三角形，垂直平分．，，在中，，∴，∴，同理可得，，故選：A．二、填空題9．（24-25九年級下·廣東深圳·階段練習(xí)）若一個扇形的弧長為，半徑為6，則此扇形的面積為．【答案】【分析】本題考查了扇形的面積公式．熟記扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)扇形的面積公式即可得出求解．【詳解】解：扇形的面積為：．故答案為：．10．（2025·云南昆明·模擬預(yù)測）“五育課堂”手工課開課啦！某同學(xué)制作了一個圓錐模型，其側(cè)面展開圖的圓心角為，底面圓的半徑為1，則這個圓錐的母線長為．【答案】3【分析】本題考查了圓錐的側(cè)面展開圖、弧長公式，掌握圓錐的側(cè)面展開圖的弧長等于底面圓的周長是解題的關(guān)鍵．設(shè)這個圓錐的母線長為，根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖的弧長等于底面圓的周長，列出方程即可求解．【詳解】解：設(shè)這個圓錐的母線長為，由題意得，，解得：，這個圓錐的母線長為3．故答案為：3．11．（24-25九年級下·廣西南寧·階段練習(xí)）在半徑為的圓中，的圓心角所對的弧長為．（結(jié)果保留）【答案】【分析】本題考查了弧長的計算，要熟練掌握弧長公式．根據(jù)弧長公式即可直接求解．【詳解】解：弧長為，故答案為：．12．（2025·湖南長沙·三模）圓錐繡球是虎耳草科繡球?qū)僦参?，圓錐狀聚傘花序尖塔形，其寓意著希望、永恒、美滿與團聚．如圖是按照其形狀制作的圓錐繡球模型：母線長為，底面半徑長為，則此圓錐的側(cè)面積為（結(jié)果保留）．【答案】【分析】本題考查了求圓錐側(cè)面積，根據(jù)側(cè)面積公式計算即可．【詳解】解：，故答案為：．13．（2025·山西朔州·三模）如圖，數(shù)學(xué)課上，老師讓同學(xué)們從卡紙上剪下一個扇形，它可以折成一個底面半徑為，高為的圓錐體，那么這個扇形的圓心角的度數(shù)是．【答案】/度【分析】本題考查了圓錐與扇形之間的關(guān)系，扇形的弧長，勾股定理；設(shè)圓錐的母線為，由勾股定理得，由弧長公式得，即可求解；理解圓錐與扇形之間的關(guān)系，掌握弧長公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)圓錐的母線為，這個扇形的圓心角，，，，解得：，故答案為：．14．（2025·廣東廣州·二模）如圖，在菱形中，，分別以點和點為圓心，線段長的一半為半徑作圓弧，交于點E、F、G、H，則圖中陰影部分的面積為.【答案】【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，角直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，扇形面積公式，熟練掌握各知識點并靈活運用是解題的關(guān)鍵．連接與交于點，先根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合角直角三角形的性質(zhì)求出對角線的長，繼而得到菱形的面積，再由扇形面積公式求解，最后由．【詳解】解：連接與交于點，∵菱形，，∴，，，∴，∴，∴，∴，，∴，故答案為：．15．（2025·河南·中考真題）我國魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽在為《九章算術(shù)》作注時，創(chuàng)立了“割圓術(shù)”．如圖是研究“割圓術(shù)”時的一個圖形，所在圓的圓心為點O，四邊形為矩形，邊與相切于點，連接，，連接交于點．若，則圖中陰影部分的面積為．【答案】【分析】根據(jù)圓的切線的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，得到，由垂徑定理可得，由圓周角定理可得，進而證明是等邊三角形，得到，再根據(jù)陰影部分的面積求解即可．【詳解】解：所在圓的圓心為點O，邊與相切于點，，，四邊形為矩形，，，，，，，，，，是等邊三角形，，，陰影部分的面積，故答案為：．【點睛】本題考查了求不規(guī)則圖形面積，矩形的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，圓的切線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，扇形面積，掌握圓的相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．16．（2025·吉林·二模）如圖，是的直徑，且是的一條弦．射線與相切于點．作，并與交于點，延長交于，交于點，連接、．給出下面五個結(jié)論：①；②；③；④若點與圓心重合，陰影部分的面積為；⑤，則．上述結(jié)論中，正確結(jié)論的序號有．【答案】①③⑤【分析】先利用切線的性質(zhì)可得，再根據(jù)直角的意義與直角三角形兩個銳角互余可得，，再根據(jù)等邊對等角可得，從而可得，再根據(jù)等角邊等邊可得，由此可判斷①；結(jié)合①可證明，不能得出，由此可判斷②；利用三角形的外角性質(zhì)可推得，由此可判斷③；先證明是等邊三角形，從而可利用求解，由此可判斷④；連接，先利用勾股定理求得，再求得，然后證明，列出比例式，求得，再證明，從而可得，由此可判斷⑤．【詳解】解：∵是的切線，∴，∴，．又∵，∴，∴，∴，故①正確；連接，，，，，，不能得出，故②錯誤；，，，，故③正確；當(dāng)點與圓心重合時，，，是等邊三角形，，，故④錯誤；∵是的直徑，∴，在中，，，∴，∵，∴，，∴，∴，，即，解得：，∵，∴，∴，故⑤正確，上述結(jié)論中，正確結(jié)論的序號有①③⑤．故答案為：①③⑤．【點睛】本題考查了勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，切線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，扇形面積等知識，解題關(guān)鍵是找準(zhǔn)相似三角形列出比例式求解．三、解答題17．（23-24九年級上·廣東陽江·階段練習(xí)）張師傅要將一張殘缺的圓形輪片恢復(fù)原貌（如圖），他在該輪片上畫了三個點．(1)請你幫張師傅找出此殘片所在圓的圓心．（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(2)連接，若圓形輪片的直徑為，圓心角，求弧的長．【答案】(1)作圖見詳解(2)弧的長為【分析】本題主要考查垂直平分線的性質(zhì)，弧長的計算方法，掌握垂直平分線的畫法，弧長公式的計算方法是解題的關(guān)鍵．（1）線段的垂直平分線的交點即為圓心，根據(jù)畫線段垂直平分線的方法即可求解；（2）根據(jù)弧長的計算方法即可求解．【詳解】（1）解：分別以點為圓心，以大于為半徑畫弧交于點，連接；分別以點為圓心，以大于為半徑畫弧交于點，連接；線段交于點，如圖所示，∴點即為所求圓心．（2）解：根據(jù)題意，如圖所示，連接，圓形輪片的直徑為，圓心角，∴，∴，∴弧的長為．18．（2023·江西南昌·一模）如圖1是一座拱橋，圖2是其側(cè)面示意圖，斜道的坡度，斜道的坡度，測得湖寬米，米，米，已知弧所在圓的圓心在上．（備注：坡度即坡角的正切值，如的坡度．）(1)分別求拱橋部分C、D到直線的距離；(2)求弧的長（結(jié)果保留π）．【答案】(1)點C到直線的距離為15米，點D到直線的距離為20米(2)米【分析】（1）過點C作于E，過點D作于F，根據(jù)坡度的概念分別設(shè)出、、、的長，再利用