專題11二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質內容導航——預習三步曲第一步：學析教材學知識：教材精講精析、全方位預習練題型強知識：X大核心考點精準練第二步：記串知識識框架：思維導圖助力掌握知識框架、學習目標復核內容掌握第三步：測過關測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預習效果、查漏補缺快速提升知識點1、二次函數(shù)與之間的相互關系1.頂點式化成一般式

從函數(shù)解析式我們可以直接得到拋物線的頂點(h，k)，所以我們稱為頂點式，將頂點式去括號，合并同類項就可化成一般式．2.一般式化成頂點式．對照，可知，．∴拋物線的對稱軸是直線，頂點坐標是．方法歸納：1．拋物線的對稱軸是直線，頂點坐標是，可以當作公式加以記憶和運用．2．求拋物線的對稱軸和頂點坐標通常用三種方法：配方法、公式法、代入法，這三種方法都有各自的優(yōu)缺點，應根據(jù)實際靈活選擇和運用．

【課前熱身】1．（24-25九年級上·海南省直轄縣級單位·期中）求二次函數(shù)的對稱軸、頂點坐標和最值．2．（24-25九年級上·吉林·期中）已知二次函數(shù)．(1)用配方法將其化為的形式；(2)寫出拋物線與坐標軸交點的坐標．知識點2、二次函數(shù)的圖象的畫法1.一般方法：列表、描點、連線；2.簡易畫法：五點定形法.其步驟為：(1)先根據(jù)函數(shù)解析式，求出頂點坐標和對稱軸，在直角坐標系中描出頂點M，并用虛線畫出對稱軸．(2)求拋物線與坐標軸的交點，當拋物線與x軸有兩個交點時，描出這兩個交點A、B及拋物線與y軸的交點C，再找到點C關于對稱軸的對稱點D，將A、B、C、D及M這五個點按從左到右的順序用平滑曲線連結起來．方法歸納：當拋物線與x軸只有一個交點或無交點時，描出拋物線與y軸的交點C及對稱點D，由C、M、D三點可粗略地畫出二次函數(shù)圖象的草圖；如果需要畫出比較精確的圖象，可再描出一對對稱點A、B，然后順次用平滑曲線連結五點，畫出二次函數(shù)的圖象【課前熱身】1．（21-22九年級上·陜西渭南·階段練習）已知二次函數(shù)的解析式，補充下表，并根據(jù)表中的數(shù)據(jù)在如圖所示的平面直角坐標系中，利用描點法畫出這個二次函數(shù)的示意圖．

2．（22-23九年級上·北京東城·期末）已知二次函數(shù)部分自變量與函數(shù)值的對應值如下表所示：(1)求二次函數(shù)解析式；(2)在平面直角坐標系中畫出二次函數(shù)的圖象；(3)當時，的取值范圍是____________．知識點3、二次函數(shù)的圖象與性質1.二次函數(shù)圖象與性質2.二次函數(shù)圖象的特征與a、b、c及b2-4ac的符號之間的關系項目字母字母的符號圖象的特征aa＞0開口向上a＜0開口向下bab＞0(a，b同號)對稱軸在y軸左側ab＜0(a，b異號)對稱軸在y軸右側cc=0圖象過原點c＞0與y軸正半軸相交c＜0與y軸負半軸相交b2-4acb2-4ac=0與x軸有唯一交點b2-4ac＞0與x軸有兩個交點b2-4ac＜0與x軸沒有交點【課前熱身】1．（2025·黑龍江佳木斯·二模）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（

）A． B． C． D．2．（24-25九年級下·廣東汕頭·階段練習）若拋物線經(jīng)過點和點，試比較與的大?。?．（23-24九年級上·河南周口·階段練習）如圖，已知拋物線過點與，與軸交于點．點在拋物線上，且與點關于對稱軸對稱．(1)求該拋物線的函數(shù)關系式和對稱軸；(2)求的面積．知識4、求二次函數(shù)的最大（?。┲档姆椒ㄈ绻宰兞康娜≈捣秶侨w實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大（或最?。┲?，即當時，．要點歸納：如果自變量的取值范圍是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自變量的取值范圍x1≤x≤x2內，若在此范圍內，則當時，，若不在此范圍內，則需要考慮函數(shù)在x1≤x≤x2范圍內的增減性，如果在此范圍內，y隨x的增大而增大，則當x＝x2時，；當x＝x1時，，如果在此范圍內，y隨x的增大而減小，則當x＝x1時，；當x＝x2時，，如果在此范圍內，y值有增有減，則需考察x＝x1，x＝x2，時y值的情況．【課前熱身】1．（2025·遼寧撫順·二模）二次函數(shù)的最小值是（）A． B．3 C． D．52．（24-25九年級下·天津和平·開學考試）二次函數(shù)的圖象開口向，頂點坐標，當時y的取值范圍的是．3．（24-25九年級上·河南平頂山·期末）在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點點．(1)求該拋物線的解析式；(2)若是拋物線上不同的兩點，求m的值；(3)當時，直接寫出y的取值范圍：．【類型1】把y=ax2+bx+c配成頂點式1．（2025·貴州遵義·模擬預測）二次函數(shù)的頂點在第________象限？A．一 B．二 C．三 D．四2．（23-24九年級上·安徽亳州·階段練習）用配方法求二次函數(shù)的頂點坐標和對稱軸．3．（2025·浙江杭州·一模）在平面直角坐標系中，函數(shù)（為常數(shù)）圖象的頂點坐標是．(1)判斷點是否在該函數(shù)的圖象上，并說明理由．(2)求證：．【類型2】畫y=ax2+bx+c的圖象4．（24-25九年級上·山西臨汾·期末）已知二次函數(shù)．(1)該二次函數(shù)的圖象與x軸的交點坐標是_____________、_____________，頂點坐標是_____________；(2)在平面直角坐標系中，畫出二次函數(shù)的大致圖象；(3)當時，結合函數(shù)圖象，直接寫出y的取值范圍_____________．5．（24-25九年級上·北京·期中）已知二次函數(shù)的圖象過點，，．(1)求該拋物線的表達式；(2)補全表格，畫出二次函數(shù)的圖象；x……y……(3)關于該二次函數(shù)，下列說法正確的有______．①圖象開口朝下，頂點為；②當時，y隨x增大而減?。虎郛敃r，y的取值范圍為；④圖象與兩坐標軸的交點所形成的三角形面積為6．【類型3】二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象問題6．（2025·陜西·一模）關于的二次函數(shù)（其中）的圖象可能是（

）A．B．C．D．7．（2025·安徽六安·三模）如圖，拋物線（m為常數(shù)）與x軸交于點，與y軸負半軸交于點C，若當時，，那么關于x的一次函數(shù)的圖象可能是（

）A．B．C． D．8．（24-25九年級上·陜西渭南·期中）如圖，已知拋物線經(jīng)過，兩點．(1)求拋物線的解析式；(2)點在拋物線上，且在對稱軸右側，若點的縱坐標為，求點到軸的距離．【類型4】關于y=ax2+bx+c性質的敘述9．（2025·廣東梅州·二模）對于二次函數(shù)，下列說法正確的是(

)A．當，隨的增大而減小 B．當時，有最大值C．圖像的頂點 D．圖像與x軸有兩個交點10．（2025·陜西商洛·三模）已知二次函數(shù)（a為常數(shù)，且），下列結論中正確的是（

）A．對稱軸在軸左側 B．當時，隨的增大而增大C．圖象一定不經(jīng)過第三象限 D．圖象與軸一定有兩個交點11．（2025·陜西西安·模擬預測）已知拋物線經(jīng)過點，點，在此拋物線上，當，時，恒成立，則下列說法錯誤的是（

）A．拋物線的對稱軸是直線B．拋物線經(jīng)過點C．拋物線開口向上D．拋物線的頂點坐標為【類型5】二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對稱性12．（24-25九年級上·福建廈門·期中）二次函數(shù)的圖象上有兩點和，則此拋物線的對稱軸是直線（

）A． B． C． D．13．（2025·山東濱州·二模）已知拋物線上部分點的橫坐標x與縱坐標y的對應值如表：012330m3①拋物線開口向上；②拋物線的對稱軸為直線；③m的值為；④圖象經(jīng)過一、二、四象限；⑤拋物線在y軸左側的部分是上升的．上述結論中正確的是（

）A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤14．（22-23九年級上·浙江杭州·階段練習）已知二次函數(shù)自變量x與函數(shù)值y之間滿足下列數(shù)量關系：則代數(shù)式的值等于．x…0123…y……【類型6】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式15．（24-25九年級上·云南紅河·期中）求下列拋物線對應的函數(shù)解析式：(1)頂點在原點，且過點；(2)過點，，；(3)過點，，；(4)當時，函數(shù)值取得最小值為，且此函數(shù)圖象與軸交于點．16．（24-25九年級上·浙江杭州·階段練習）在直角坐標系中，設函數(shù)（，是常數(shù)，）．(1)已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點和，求函數(shù)的表達式．(2)若函數(shù)圖象的頂點在函數(shù)的圖象上，求證：．17．（24-25九年級上·廣東廣州·階段練習）已知二次函數(shù)（a，b，c均為常數(shù)且）．(1)若該函數(shù)圖象過點，點和點，求二次函數(shù)表達式；(2)若，，且無論a取任何實數(shù)，該函數(shù)的圖象恒過定點，求出定點的坐標．【類型7】二次函數(shù)y=ax2+bx+c的平移問題18．（23-24九年級上·山東淄博·期中）已知二次函數(shù)．(1)請利用配方法推導出它的對稱軸和頂點坐標；(2)如果將該二次函數(shù)向右平移1個單位，再向下平移2個單位，平移后的函數(shù)的對稱軸為軸，求的值．19．（23-24九年級上·北京海淀·階段練習）在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點．(1)求該拋物線的表達式；(2)將該拋物線向上平移______個單位后，所得拋物線與x軸只有一個公共點．20．（2025·河北邢臺·二模）如圖，已知拋物線的圖象經(jīng)過點，交y軸于點B．(1)求a的值和拋物線的頂點坐標；(2)延長至點C，使．若將拋物線L平移后恰好經(jīng)過A，C兩點，求平移的最短路程．【類型8】二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與系數(shù)之間關系21．（2025·廣東清遠·二模）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于點，與y軸交于點B，對稱軸為直線，下列四個結論：①該圖象經(jīng)過點；②；③；④，其中正確結論的個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個22．（2025·山東青島·模擬預測）如圖，二次函數(shù)圖象的一部分與軸的一個交點坐標為，對稱軸為直線，結合圖象給出下列結論：①；②；③（為任意實數(shù)）；④若點，，均在二次函數(shù)圖像上，且滿足，則；其中正確的結論有．【類型9】二次函數(shù)y=ax2+bx+c的最值問題23．（2025·河南平頂山·二模）已知二次函數(shù)(1)若該二次函數(shù)圖象過點，求a的值．(2)請直接寫出此拋物線的對稱軸．(3)當時，y的最大值是6，求a的值．24．（2025·安徽淮北·三模）已知拋物線L：的系數(shù)滿足等式．(1)若拋物線L經(jīng)過點，求的值．(2)若，拋物線還經(jīng)過另一點，且．①求b的取值范圍．②記拋物線的頂點縱標為，求的最小值．25．（2025·山東聊城·三模）在平面直角坐標系中，已知拋物線．(1)若拋物線對稱軸為直線，求頂點坐標；(2)已知，是拋物線上兩點，當且時．都有，求m的取值范圍；(3)當時，二次函數(shù)的最大值與最小值的差為4，求m的值．【類型10】二次函數(shù)y=ax2+bx+c性質的推理計算與證明26．（2025·北京海淀·三模）在平面直角坐標系中，點，，在拋物線上．(1)判斷此拋物線與x軸的交點個數(shù)，并說明理由；(2)已知對于，，，總有，求的取值范圍．27．（24-25九年級下·安徽池州·期中）已知二次函數(shù)．(1)若二次函數(shù)的圖象與x軸交于點，求二次函數(shù)圖象與x軸的另外一個交點的坐標．(2)若當自變量x取任意實數(shù)時，總有對應的函數(shù)值，求m的取值范圍（用含有b的式子表示）．(3)當時，，求和的值及的取值范圍．28．（2025·浙江杭州·三模）已知二次函數(shù)的頂點橫坐標比二次函數(shù)（a為常數(shù)）的頂點橫坐標大1．(1)求a的值；(2)二次函數(shù)（a為常數(shù)）的圖象是否可以由平移得到？如果可以，請說出平移方案；如果不可以，請說明理由．(3)設點在拋物線上，點在拋物線上．若，且，，求n的值；【類型11】二次函數(shù)y=ax2+bx+c與公共點的計算與證明29．（2025·安徽阜陽·模擬預測）已知在平面直角坐標系中，直線經(jīng)過點，與拋物線的對稱軸交于點．(1)求k，b的值；(2)若拋物線與x軸交于，且，令，求h的最大值；(3)當時，拋物線與直線有且只有一個公共點，求c的取值范圍．30．（2025·江蘇鹽城·一模）點和點在二次函數(shù)圖象上，(1)當時，時①求證：；②已知點和點，若二次函數(shù)的圖象與線段只有一個交點，求的取值范圍；(2)當時，求證：．【類型12】二次函數(shù)y=ax2+bx+c的實際應用問題31．（2025·陜西榆林·三模）冬暖夏涼的黃土窯洞藏著四千年的智慧，高窗與厚土交織出天人合一的居住哲學．如圖1所示的窯洞，其下部近似為矩形（圖2），上部近似為一條拋物線．已知米，米，窯洞的最高點P（拋物線的頂點）離地面的距離為4米．以所在直線為x軸，所在直線為y軸建立平面直角坐標系．(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)若在窯洞的上部安裝兩根窗框、，點D、E在矩形的邊上，點F、G在拋物線上，點D與點E恰好是的三等分點（點D在點E的左側），求這兩根窗框的總長度．32．（2025·河北邢臺·三模）“投壺”是古人宴會時的一種娛樂游戲，參與者需站在一定距離外，將箭矢投入壺中，以投入的數(shù)量和方式計算得分．嘉嘉體驗了投壺游戲后作出示意圖如圖1，以投壺者所站位置為原點，地面為軸，為個單位長度建立平面直角坐標系，投擲過程中箭矢前端點的運動路徑可看作拋物線的一部分，點從點處出手，矩形為壺，，，．(1)如圖1，，若點為拋物線的頂點，，且拋物線經(jīng)過點．①求拋物線的解析式；②若點最終落在上，求此時的長；③豎直提高點的出手位置（點），使點落在上（不含邊界），求的取值范圍．(2)如圖2，調整出手的力度和角度，使拋物線在點處到達最高點．若點經(jīng)過點正上方處，直接寫出點在點正上方的距離（用含的式子表示）．【類型13】二次函數(shù)y=ax2+bx+c與幾何綜合問題33．（2025·安徽宿州·模擬預測）已知拋物線與x軸交于，兩點，與y軸交于點，對稱軸為直線．(1)求拋物線的函數(shù)表達式．(2)點P在直線上方的拋物線上，軸，交直線于點D，求線段的最大值．(3)拋物線上是否存在一點Q，使得的面積等于3？若存在，求出點Q的橫坐標q的值；若不存在，請說明理由．34．（24-25九年級下·福建漳州·期中）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線交軸于，兩點，交軸于點，直線交拋物線對稱軸于點，為軸下方拋物線上一點．(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)直線，分別交對稱軸于點，，當點，均在點的下方時，求證：為定值．35．（2025·山東東營·三模）在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，與軸交于點，且點坐標為，點坐標為．(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)如圖1，若點是第二象限內拋物線上一動點，求點到直線距離的最大值；(3)如圖2，若點是拋物線上一點，點是拋物線對稱軸上一點，是否存在點使以為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．一、單選題1．（24-25九年級上·廣東廣州·期中）二次函數(shù)的圖象過，兩點，則此拋物線的對稱軸是（）A．直線 B．直線 C．直線 D．直線2．（2025·安徽滁州·一模）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過，兩點，則下列判斷中正確的是（

）A．存在實數(shù)，使得 B．存在實數(shù)，使得C．無論實數(shù)為何值，都有 D．無論實數(shù)為何值，都有3．（2025·陜西西安·模擬預測）已知二次函數(shù)，點，均在該二次函數(shù)圖象上．若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．4．（2025·陜西西安·模擬預測）已知二次函數(shù)，當時，y隨x的增大而增大，點在該函數(shù)圖象上，若，，則與的大小關系是（

）A． B． C． D．無法判斷5．（2025·四川南充·中考真題）已知某函數(shù)圖象關于軸對稱，當時，；當時，．若直線與這個函數(shù)圖象有且僅有四個不同交點，則實數(shù)的范圍是（

）A． B．C． D．或6．（24-25九年級下·陜西西安·期中）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過四個象限，則的值可以是（）A．2 B．3 C．4 D．67．（2025·四川廣安·中考真題）如圖，二次函數(shù)（a，b，c為常數(shù)，）的圖象交x軸于A，B兩點，點A的坐標是，點B的坐標是，有下列結論：①；②；③關于x的方程的解是，；④．其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個8．（2025·湖南·模擬預測）在平面直角坐標系中，當且僅當某點的橫縱坐標數(shù)值完全一致時，該點被定義為“完美點”．如若點P的橫坐標和縱坐標相等，則稱點P為“完美點”，已知二次函數(shù)(a是常數(shù)，)的圖象上有且只有一個“完美點”，且當時，函數(shù)的最小值為，最大值為7，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、填空題9．（24-25九年級上·內蒙古烏?！て谀┯门浞椒▽懗傻男问绞牵?0．（24-25九年級上·河南信陽·期末）若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，則m的值為．11．（2025·貴州遵義·模擬預測）已知二次函數(shù)、且有、則、按從大到小的順序排列為．12．（2025·遼寧·模擬預測）如圖，在平面直角