專題10y＝a(x－h(huán))2與y＝a(x－h(huán))2＋k的圖象和性質(zhì)

（12大類型精準(zhǔn)練+過關(guān)檢測）

內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

析教材學(xué)知識：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

練題型強知識：X大核心考點精準(zhǔn)練

第二步：記

串知識識框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測

過關(guān)測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補缺快速提升

知識點1：二次函數(shù)ya(xh)2(a0)的圖象和性質(zhì)

溫馨提示：二次函數(shù)的對稱性及最值問題

對于二次函數(shù)y=a(x-h)2(a≠0)圖象上的點，當(dāng)圖象開口何上，到對你抽的距離越大，到對應(yīng)的函數(shù)值

就越大；當(dāng)圖象開口何下，點到對你抽的距離越大，則對應(yīng)的函數(shù)值就越；若兩點到對你軸的距離相等，

則對應(yīng)的函數(shù)值相等，觀察圖象可得以上規(guī)律

【課前熱身】

2

1．（24-25九年級上·北京通州·階段練習(xí)）拋物線yx2的頂點坐標(biāo)為（）

A．1,2B．2,1C．2,0D．2,0

1

2

2．（24-25九年級上·全國·假期作業(yè)）對于二次函數(shù)y9x1，下列結(jié)論正確的是（）

A．y隨x的增大而增大B．當(dāng)x0時，y隨x的增大而增大

C．當(dāng)x1時，y隨x的增大而增大D．當(dāng)x1時，y隨x的增大而增大

3．（2022九年級上·全國·專題練習(xí)）說出下列拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo)．

1

(1)y(x1)2(2)y2x27(3)y2(x3)26

4

4．（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）在同一坐標(biāo)系中畫出下列函數(shù)的圖象，觀察拋物線，并指出它們的開

口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo)及對稱軸兩側(cè)圖象的增減性．

(1)yx2；

(2)y(x2)2；

(3)y(x1)2．

知識點2：二次函數(shù)ya(xh)2k(a0)的圖象和性質(zhì)

2

【課前熱身】

2

1．（2025·山東濰坊·三模）關(guān)于拋物線yx21，下列說法中錯誤的是（）

A．開口方向向上B．對稱軸是直線x2

C．頂點坐標(biāo)為2,1D．當(dāng)x2時，y隨x的增大而減小

2

2．（2024·黑龍江哈爾濱·中考真題）二次函數(shù)y2x13的最小值是（）

A．1B．1C．2D．3

2

3．（24-25九年級上·陜西西安·期中）已知二次函數(shù)yx24．

(1)求它的圖象的開口方向、對稱軸及頂點坐標(biāo)；

(2)當(dāng)x取什么范圍時，y隨x的增大而增大？

2

4．（24-25九年級上·湖南長沙·期中）已知二次函數(shù)yx21．

2

(1)直接寫出二次函數(shù)yx21的對稱軸和頂點坐標(biāo)；

(2)在平面直角坐標(biāo)系中，畫出這個二次函數(shù)的簡圖；

(3)當(dāng)1x3時，直接寫出y的取值范圍．

3

知識點3：二次函數(shù)的平移

1.平移步驟：

2

⑴將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點式y(tǒng)axhk，確定其頂點坐標(biāo)h，k；

⑵保持拋物線yax2的形狀不變，將其頂點平移到h，k處，具體平移方法如下：

2.平移規(guī)律：

在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“h值正右移，負(fù)左移；k值正上移，負(fù)下移”．概括成八個字“左加右減，上加

下減”．

【課前熱身】

1．（2025·四川綿陽·二模）如果將拋物線yx21向右平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度，那

么所得的拋物線的解析式是（）

2

A．yx13B．yx22

2

C．yx21D．yx11

2

2．（2025·廣東東莞·模擬預(yù)測）將二次函數(shù)y2x23的圖象沿x軸方向向右平移2個單位長度，平

移后的二次函數(shù)的解析式為（）

22

A．y=-2(x-4)+1B．y2x43

2

C．y2x23D．y2x21

3．（22-23九年級上·四川涼山·階段練習(xí)）已知把二次函數(shù)ya(xh)2k的圖像先向左平移2個單位長度，

1

再向上平移4個單位長度，得到拋物線y(x1)23．

2

(1)試確定a,h,k的值；

(2)指出二次函數(shù)ya(xh)2k圖像的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo)．

4

【題型1】關(guān)于二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2的敘述

1．（23-24九年級上·海南省直轄縣級單位·階段練習(xí)）拋物線y(x3)24的對稱軸是（）

A．直線x3B．直線x3C．直線x4D．直線x4

2．（24-25九年級上·河北衡水·階段練習(xí)）對于拋物線y3(x1)2和y3x2的圖象比較，下列說法不正

確的是（）

A．開口都向下B．對稱軸相同C．最大值都是0D．與y軸交點不相同

3．（24-25九年級上·北京·開學(xué)考試）若拋物線的頂點在x軸上，對稱軸是直線x1，與y軸交于點A0,3．

(1)求拋物線的解析式．

(2)寫出它的頂點坐標(biāo)和開口方向．

【題型2】二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2的圖象

2

4．（24-25九年級上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)ya5x1的圖象如圖所示，則a可能是（）

A．4B．5C．6D．7

12

5．（24-25九年級上·廣西河池·期中）如圖，二次函數(shù)yx1的大致圖象是（）

2

A．B．C．D．

2

6．（24-25九年級上·安徽亳州·期末）在同一平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)ymxn和一次函數(shù)

ymxnm0,n0的圖象大致為（）

A．B．C．D．

【題型3】二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2的增減性

5

2

7．（23-24九年級上·廣東惠州·階段練習(xí)）拋物線y2x1的圖像經(jīng)過點A3,y1，B1,y2，C4,y3，

則y1，y2，y3大小關(guān)系是（）

A．y1y2y3B．y1y3y2C．y2y1y3D．y2y3y1

22

8．（24-25九年級上·浙江杭州·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)y1xm，y2xn，直線x1與函數(shù)y1，y2的

圖象分別交于點A1,a1，B1,a2，得（）

A．若1mn，則a1a2B．若m1n，則a1a2

C．若mn1，則a1a2D．若m1n，則a1a2

9．（24-25九年級上·內(nèi)蒙古呼和浩特·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)y3(xh)2，當(dāng)x1時，y隨x的增大而

增大，則h的取值范圍是．

【題型4】二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2的最值

2

10．（24-25九年級上·天津·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的二次函數(shù)yxh，當(dāng)2x5時，函數(shù)有最大值

1，則h的值為．

11．（24-25九年級上·山東德州·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)y(xh)2（h為常數(shù)），當(dāng)2x5時，函數(shù)

的最大值為1，則h的值為．

2

12．（24-25九年級上·江蘇南京·期中）已知二次函數(shù)yxh（h是常數(shù)），且2x3．

(1)當(dāng)h1時，求函數(shù)的最大值；

(2)若函數(shù)的最大值為1，求h的值．

【題型5】二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2與幾何綜合問題

112

13．（24-25九年級上·四川自貢·階段練習(xí)）如圖，直線yx1與拋線y(x4)交于B,C兩點（點B在

22

點C的左側(cè)）．

(1)求B,C兩點的坐標(biāo)；

(2)記拋物線的頂點為A，求VABC的面積．

6

2

14．（24-25九年級上·吉林松原·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，拋物線yxh的

頂點為B2,0，與y軸交于點A，過點A作ACy軸，交該拋物線于點C，連接BC，以AC、BC為邊作

ACBD，點D在x軸的負(fù)半軸上．

(1)求該拋物線的解析式；

(2)求點D的坐標(biāo)及ACBD的面積．

2

15．（24-25九年級上·河南信陽·階段練習(xí)）如圖，已知二次函數(shù)yx2的圖象與x軸交于點A，與y

軸交于點B．

(1)寫出該拋物線的對稱軸并求點A，B的坐標(biāo)；

(2)求SAOB；

(3)在對稱軸上是否存在一點P，使以P,A,O,B為頂點的四邊形為平行四邊形？

【題型6】二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2+k的性質(zhì)敘述

2

16．（23-24九年級上·四川南充·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)y3x23，下列說法正確的是（）

A．對稱軸為x2

B．頂點坐標(biāo)為2,3

C．函數(shù)的最大值是3

D．當(dāng)x2時，y隨x的增大而減小

17．（2025·黑龍江哈爾濱·三模）拋物線y3(x1)25的對稱軸為直線．

2

18．（2025·黑龍江哈爾濱·二模）二次函數(shù)y2x25的最大值是．

【題型7】二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2+k的增減性

2

19．（23-24九年級上·甘肅武威·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)yx12的圖象上有三點，

A2,y1,B2,y2,C3,y3，則y1,y2,y3的大小關(guān)系為．

7

2

20．（24-25九年級上·重慶渝北·期中）如果二次函數(shù)y(x1)m（m為常數(shù)）的圖象上有兩點4,y1和

4,y2，那么y1y2（填“>”、“=”或“<”）．

2

21．（24-25九年級上·北京海淀·期中）1.已知拋物線yaxhka0經(jīng)過A1,0，B3,0兩點．若

P2,y1，Qm,y2是拋物線上的兩點，且y1y2，則m的值可以是．（寫出一個即可）

【題型8】二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2+k的最值

2

22．（23-24九年級上·甘肅武威·階段練習(xí)）拋物線yx142x2如圖所示，則函數(shù)y的最小值

和最大值分別是．

2

23．（24-25九年級上·河南漯河·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)y2x15，當(dāng)4x1時，y的取值范圍

是．

2

24．（24-25九年級下·江蘇南京·期中）已知二次函數(shù)yxmm21（m是常數(shù)）

(1)若m1，

①該函數(shù)的頂點坐標(biāo)為___________；

②當(dāng)2x2時，該函數(shù)的最大值___________；

③當(dāng)1x3時，該函數(shù)的最大值為___________；

(2)當(dāng)2x1時，該函數(shù)的最大值為4，則常數(shù)m的值為___________．

【題型9】二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2+k的平移問題

25．（24-25九年級上·安徽合肥·階段練習(xí)）某二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，且頂點是1,2．

(1)求此二次函數(shù)解析式；

(2)求此二次函數(shù)圖象如何平移可以得到y(tǒng)2x2圖象？

26．（24-25九年級上·河南信陽·階段練習(xí)）已知拋物線ya(xh)2的對稱軸為直線x2，且過點1,3．

(1)求該拋物線的解析式；

(2)該拋物線是由拋物線yax2經(jīng)過怎樣的平移得到的？

(3)當(dāng)x在什么范圍內(nèi)時，y隨x的增大而減??？

8

22

27．（2025·河北邯鄲·一模）如圖，拋物線l1:y1a(x1)2與l2:y2(x2)1交于點A(1,2)，以下結(jié)

論：

①無論x取何值，y2總是負(fù)數(shù)；

②l2可由l1向右平移3個單位，再向下平移3個單位得到；

③當(dāng)3x1時，隨著x的增大，y1y2的值先增大后減?。?/p>

下列說法正確的是（）

A．只有①正確B．只有②正確C．只有③不正確D．①②③都正確

【題型10】二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2+k與幾何性質(zhì)問題

2

28．（2025·廣東東莞·二模）如圖，點A是拋物線yax3k與y軸的交點，AB∥x軸交拋物線另一

點于B，點C為該拋物線的頂點．若VABC為等邊三角形，則a的值為（）

31

A．B．2C．D．1

32

2

29．（2025·陜西漢中·模擬預(yù)測）已知拋物線yx21與y軸交于點D0,3，其頂點為點A，與x軸交

于B,C兩點（B在C的左側(cè)），連接DB,DC，若在拋物線上存在一點P，使得S△POCS△DBC，則P的坐標(biāo)

是（）．

A．2,1B．0.5,1.25C．33,323D．23,2

9

【題型10】二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2+k性質(zhì)的推理計算與證明

2

30．（2025·浙江湖州·二模）已知二次函數(shù)yx1h（h為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點A2,3．

(1)求此二次函數(shù)的表達式．

(2)將拋物線先向左平移n(n0)個單位，再向上平移5個單位，函數(shù)圖象恰好經(jīng)過原點，求n的值．

2

(3)已知點p,m,q,m在二次函數(shù)yx1h的圖象上，且72p3q2，求m的取值范圍．

12

31．（24-25八年級下·北京·期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線yxhk過點A1,1，B5,1．

2

(1)求拋物線的解析式；

(2)已知Mx1,y1和Nx2,y2是拋物線上的兩點，若對于0x12，ax2a1，都有y1y2，求a的取值

范圍．

2

32．（2025·北京通州·一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線yaxm3a0上有

、

Ax1,y1Bx2,y2兩點．

(1)對于x11,x23，有y1y2，求該拋物線的頂點坐標(biāo)；

(2)對于任意實數(shù)m，若m2x1m1,x2m2，都有y1y20，求a的值．

10

【題型11】二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2+k的實際應(yīng)用

33．（2025·江西上饒·一模）彈力球游戲規(guī)則：彈力球拋出后與地面接觸一次，彈起降落，若落入筐中，則

游戲成功．彈力球著地前后的運動路徑可近似看成形狀相同的兩條拋物線．在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系

xOy中，x（單位：m）是彈力球距拋出點的水平距離，y（單位；m）是彈力球距地面的高度．甲站在原點

處，從離地面1m的點A處拋出彈力球，彈力球在點B處著地后彈起．已知彈力球第一次著地前拋物線的函

數(shù)解析式為ya(x2)21.8．

(1)求a的值及OB的長．

(2)若彈力球在點B處著地后彈起的最大高度比著地前拋物線的最大高度低1m．

①求彈力球第一次著地后彈起降落形成的拋物線的函數(shù)解析式．

②如圖，如果在地面上擺放一個底面半徑為0.2m，高0.6m的圓柱形筐，此時筐的最左端與原點的水平距離

為dm．若要使得游戲成功，則d的取值范圍是________．

【題型12】二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2+k與幾何綜合問題

2

34．（2025·甘肅隴南·一模）如圖，二次函數(shù)yx21的圖象與y軸交于點A，與軸交于點B，C．

(1)求點A，B，C的坐標(biāo)，

(2)在拋物線上是否存在一點P，使SPABSABO？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請

說明理由．

11

42

35．（2025·山東聊城·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，二次函數(shù)yx14的圖

9

象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），頂點為C．

(1)求A，B，C三點的坐標(biāo)；

(2)一個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過B，C，Mt,4三點，其中t1，該函數(shù)圖象與x軸交于另一點D，點D在線

段OB上（與點O，B不重合）．

①若D點的坐標(biāo)為3,0，求t的值；

②用t表示OD和DB，并求ODDB的最大值．

12

一、單選題

2

1．（24-25九年級上·青海西寧·階段練習(xí)）對于二次函數(shù)y3x3的圖象，下列說法錯誤的是（）

A．頂點坐標(biāo)為3,0B．x3時，y的值隨x值的增大而減少

C．對稱軸為x3D．函數(shù)的最小值為0

2

2．（24-25九年級上·青海西寧·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)y3xa的圖象上，當(dāng)x2時，y隨x的增大

而增大，則a的取值范圍是（）

A．a(chǎn)2B．a(chǎn)2C．a(chǎn)2D．a(chǎn)2

3．（24-25九年級上·遼寧葫蘆島·期中）下列拋物線中，與y2x25拋物線形狀相同、開口方向不同，且

頂點坐標(biāo)為(1,2)的是（）

A．y2(x1)22B．y2(x1)22

C．y2(x1)22D．y2(x1)22

xc2

4．（24-25八年級下·黑龍江綏化·階段練習(xí)）已知直線交拋物線y1xa于點Ac,m，交拋物線

2

y2xb于點Bc,n，下列結(jié)論：①若abc，則mn，②若bac，則mn，③若cba，

則mn，④若acb，則mn；其中正確的是（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

2

5．（24-25八年級下·福建福州·階段練習(xí)）對于拋物線yx21，下列判斷不正確的是（）

A．拋物線的開口向下

B．當(dāng)x2時，y有最大值1

C．對稱軸為直線x2

D．當(dāng)x2時，y隨x的增大而增大

2

6．（2025·內(nèi)蒙古赤峰·一模）已知二次函數(shù)yxh2（h為常數(shù)），當(dāng)自變量x的值滿足2x4的

情況下，與其對應(yīng)的函數(shù)值y的最大值為2，則h的值為（）

A．0或4B．2或6C．0或6D．2或4

2

7．（2025·福建泉州·模擬預(yù)測）直線l:ykxbk0與拋物線yx23交于A，B兩點，與拋物線

2

yx13交于C，D兩點，且始終滿足ABCD，則直線l必過的定點為（）

333

A．3,B．,1C．,0D．3,0

222

8．（24-25九年級上·河北承德·期末）對于點Pm3,m24，下列描述不正確的是（）

2

A．不論m為何值，點P都在拋物線yx34上

13

B．點P有最高點為3,4

C．在x軸上能找到兩個符合條件的點P

D．點P不會在第三象限出現(xiàn)

二、填空題

2

9．（24-25九年級上·遼寧大連·階段練習(xí)）已知點A1,y1，B2,y2，C6,y3在拋物線yx2上，則y1，

y2，y3的大小關(guān)系是（用“<”號連接）．

10．（23-24九年級上·上海青浦·階段練習(xí)）已知拋物線開口向上，對稱軸是直線x5，拋物線上兩點坐標(biāo)

為（2，y1），（4，y2），那么y1y2．（填“>”或“<”）

2

11．（23-24九年級上·福建莆田·階段練習(xí)）已知A2,y1，B2,y2，C2,y3是二次函數(shù)y3x1k

圖像上三點，則y1，y2，y3的大小關(guān)系為

2

12．（23-24九年級上·山東日照·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)yax1a(a0)，當(dāng)1x4時，y的最

小值為4，則a的值為．

2

13．（2025·廣東珠?！ひ荒＃佄锞€L:yax31過A2,3,Bm,3兩點，將拋物線L向左或向右平

移后得到拋物線M，設(shè)拋物線M的頂點為C．若VABC是以AB為斜邊的直角三角形，則點C的坐標(biāo)

為．

2

14．（24-25九年級上·河北保定·期末）已知二次函數(shù)yx3aa1（a為常數(shù)）．當(dāng)a取不同的值時，

其圖象構(gòu)成一個“拋物線系”．如圖，這些分別是當(dāng)a1，a0，a1，a2時，二次函數(shù)的圖象，則它

們的頂點坐標(biāo)滿足的函數(shù)解析式是．

三、解答題