第47練極化恒等式(分值：40分)1.極化恒等式在平面向量中：(a+b)2=a2+b2+2a·b，(a-b)2=a2+b2-2a·b，兩式相減可得極化恒等式：a·b=14[(a+b)2-(a-b)2]2.幾何解釋(1)平行四邊形模型：向量的數(shù)量積等于“和對(duì)角線長”與“差對(duì)角線長”平方差的14，即a·b=14[(a+b)2-(a-b)2](如圖(2)三角形模型：向量的數(shù)量積等于第三邊的中線長與第三邊長的一半的平方差，即AB·AC=AM2-MB2(M為BC的中點(diǎn))(如圖極化恒等式表明，向量的數(shù)量積可以由向量的模來表示，可以建立起向量與幾何長度之間的等量關(guān)系.一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分，共25分)1.如圖，AB是圓O的直徑，P是AB上的點(diǎn)，M，N是直徑AB上關(guān)于O對(duì)稱的兩點(diǎn)，且AB=6，MN=4，則PM·PN等于()A.13 B.7 C.5 D.3答案C解析連接PO(圖略)，由向量極化恒等式知PM·PN=PO2-14MN2=PO2.(2025·泰安模擬)在同一平面內(nèi)，M，N是兩個(gè)定點(diǎn)，P是動(dòng)點(diǎn)，若MP·NP=4，則點(diǎn)P的軌跡為()A.橢圓 B.拋物線C.直線 D.圓答案D解析設(shè)M，N的中點(diǎn)為A，由極化恒等式可得MP·NP=|PA|2-14|MN|2=4，因?yàn)镸，N3.已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則PA·(PB+PC)的最小值是()A.-2 B.-32 C.-43 D答案B解析如圖，設(shè)BC的中點(diǎn)為D，AD的中點(diǎn)為M，連接DP，PM，則PA·(PB+PC)=2PA·PD=2|PM|2-12|AD|2=2|PM|2-32≥-32，當(dāng)且僅當(dāng)M與4.(2024·貴州省名校協(xié)作體聯(lián)考)已知橢圓C：x29+y28=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)M在直線l：x+y-4=0上運(yùn)動(dòng)，則MF1·A.7 B.9 C.13 D.15答案A解析由橢圓C：x29+yF1(-1，0)，F(xiàn)2(1，0)，設(shè)原點(diǎn)為O，根據(jù)極化恒等式可得MF1·MF2=|MO|2-14|F1F2|2點(diǎn)M在直線l：x+y-4=0上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，可得|MO|min=42=22故MF1·MF2的最小值為5.已知正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，如果對(duì)于常數(shù)λ，在正方形ABCD的四條邊上，有且只有8個(gè)不同的點(diǎn)P，使得PE·PF=λ成立，那么λ的取值范圍是()A.(0，2] B.(0，2) C.(0，4] D.(0，4)答案D解析如圖所示，設(shè)EF的中點(diǎn)為O，則根據(jù)極化恒等式可得PE·PF=|PO|2-4=λ即|PO|2=λ+4，所以|PO|=λ+4，由對(duì)稱性可知每個(gè)邊上存在兩個(gè)點(diǎn)P，所以點(diǎn)P在邊的中點(diǎn)和頂點(diǎn)之間，故2<λ二、填空題(每小題5分，共15分)6.如圖，在平面四邊形ABCD中，O為BD的中點(diǎn)，且OA=3，OC=5.若AB·AD=-7，則BC·DC=.

答案9解析由AB·AD=AO2-14BD2=9-14BD則BC·DC=CB·CD=CO2-14BD2=25-7.(2024·鄭州模擬)如圖所示，△ABC是邊長為8的等邊三角形，點(diǎn)P為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，長度為6的線段EF的中點(diǎn)為B，則PE·PF的取值范圍是.

答案[39，55]解析由向量極化恒等式知PE·PF=|PB|2-|BE|2=|PB|2-9.又△ABC是邊長為8的等邊三角形，所以當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)A或點(diǎn)C時(shí)，|PB|取最大值8.當(dāng)點(diǎn)P位于AC的中點(diǎn)時(shí)，|PB|取最小值，即|PB|min=8sinπ3=43所以|PB|的取值范圍為[43，8]，所以PE·PF的取值范圍為[39，55].8.如圖，正方形ABCD的邊長為2，P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)(包含邊界)，且PA⊥PB，則PC·PD的取值范圍是.

答案[0，4]解析如圖，∵PA⊥PB，∴點(diǎn)P在以AB為直徑的半圓上，取CD的中點(diǎn)O，連接PO，由向量極化恒等式知PC·PD=|PO|2-