2025年高考數(shù)學(xué)模擬檢測(cè)卷（立體幾何突破能力提升訓(xùn)練）考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.已知空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，若AC⊥BD，則四邊形EFGH一定是（）A.矩形B.菱形C.正方形D.平行四邊形2.直線l過(guò)點(diǎn)A（1，2），且與直線m：x+y-1=0垂直，則直線l的方程是（）A.x-y+1=0B.x-y-1=0C.x+y-3=0D.x+y+1=03.若點(diǎn)P在直線x=1上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)P到點(diǎn)A（2，1）的距離的最小值是（）A.1B.C.D.24.圓心在直線y=x上的圓C與直線l：x-y+4=0相切，且圓C過(guò)點(diǎn)A（1，2），則圓C的方程是（）A.(x-1)2+(y-1)2=5B.(x+1)2+(y+1)2=5C.(x-2)2+(y-2)2=5D.(x+2)2+(y+2)2=55.函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是（）A.1B.3C.2D.46.若函數(shù)g(x)=ax2+bx+c的圖像開口向上，且頂點(diǎn)在x軸上，則（）A.a>0，b2-4ac>0B.a<0，b2-4ac<0C.a>0，b2-4ac<0D.a<0，b2-4ac>07.已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a_3+a_7=10，則S_6等于（）A.30B.45C.60D.758.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(1)=1，f(x+2)=-f(x)，則f(2025)的值是（）A.1B.-1C.2025D.-20259.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a2+b2=c2，且2ab=c2，則角C的大小是（）A.30°B.45°C.60°D.90°10.已知函數(shù)f(x)=sin(x+π/4)，則f(π/4)的值是（）A.0B.1C.√2/2D.-√2/211.若實(shí)數(shù)x滿足x2-2x+1>0，則x的取值范圍是（）A.(-∞，1)B.(1，+∞)C.(-∞，1)∪(1，+∞)D.R12.已知圓O的半徑為1，點(diǎn)P在圓外，且OP=2，則點(diǎn)P到圓O的最短距離是（）A.1B.C.D.3二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在題中橫線上。）13.若直線l過(guò)點(diǎn)A（1，2），且與直線m：3x-y+1=0平行，則直線l的方程是__________。14.已知等比數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，若b_1=2，q=3，則T_4等于__________。15.函數(shù)f(x)=x3-3x+1的極小值是__________。16.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a=3，b=4，c=5，則cosA等于__________。（接下來(lái)的題目繼續(xù)擴(kuò)展，保持題型多樣性和內(nèi)容豐富度，同時(shí)注意語(yǔ)言風(fēng)格和情感表達(dá)，確保符合人的思維方式和教學(xué)場(chǎng)景。）三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）17.（10分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AD=2，AB=1，E是PC的中點(diǎn)。（1）求證：平面ABE⊥平面PAC；（2）求二面角A-PB-C的余弦值。18.（12分）已知函數(shù)f(x)=x2+2ax+a-1。（1）若f(x)在x=1處取得最小值，求a的值；（2）若對(duì)任意x∈R，都有f(x)≥0，求a的取值范圍。19.（12分）在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且a=3，b=4，sinC=2sinA。（1）求c的值；（2）求cosB的值。20.（12分）已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a_1=1，a_n+1=2S_n+1（n≥1）。（1）求證：{a_n}是等比數(shù)列；（2）求a_n的通項(xiàng)公式。21.（12分）如圖，在直三棱柱ABC-A?B?C?中，底面△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=1，AA?=2，D是AB的中點(diǎn)。（1）求證：BD⊥CD；（2）求二面角A-BC-C?的余弦值。22.（12分）已知函數(shù)f(x)=|x+1|+|x-1|。（1）作出函數(shù)f(x)的圖像；（2）若關(guān)于x的不等式f(x)+a≥0在R上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。四、證明題（本大題共2小題，共20分。）23.（10分）已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且a_1+a_3+a_5=15，a_2+a_4+a_6=21。求證：{a_n}是遞增數(shù)列。24.（10分）已知函數(shù)f(x)=x3-3x+1。求證：f(x)在R上存在唯一一個(gè)極小值點(diǎn)。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.答案：D解析：因?yàn)锳C⊥BD，所以AC與BD所成的角為直角。E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線定理，EF平行且等于AC的一半，GH平行且等于AC的一半，F(xiàn)G平行且等于BD的一半，EH平行且等于BD的一半。因此，四邊形EFGH的對(duì)邊平行且相等，所以四邊形EFGH是平行四邊形。2.答案：A解析：直線m的斜率為-1，因?yàn)橹本€l與直線m垂直，所以直線l的斜率為1。直線l過(guò)點(diǎn)A（1，2），所以直線l的方程為y-2=1×（x-1），即x-y+1=0。3.答案：A解析：點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離可以表示為d=√[（x-2）2+（1-1）2]，因?yàn)辄c(diǎn)P在直線x=1上，所以x=1。代入得d=√[（1-2）2+（1-1）2]=√1=1。4.答案：C解析：圓心在直線y=x上，設(shè)圓心為（a，a），圓C與直線l相切，切點(diǎn)到圓心的距離等于圓的半徑。圓C過(guò)點(diǎn)A（1，2），所以（1-1）2+（2-a）2=a2，解得a=2。圓的半徑為√[（1-2）2+（2-2）2]=1。所以圓C的方程為（x-2）2+(y-2)2=5。5.答案：B解析：函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|可以分段表示為：當(dāng)x<-2時(shí)，f(x)=-(x-1)-(x+2)=-2x-1；當(dāng)-2≤x≤1時(shí)，f(x)=-(x-1)+(x+2)=3；當(dāng)x>1時(shí)，f(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1。因此，函數(shù)f(x)的最小值為3。6.答案：A解析：函數(shù)g(x)=ax2+bx+c的圖像開口向上，所以a>0。頂點(diǎn)在x軸上，所以判別式b2-4ac=0。因此，a>0，b2-4ac>0。7.答案：B解析：等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a_3+a_7=2a_1+8d=10，所以a_1+4d=5。S_6=6a_1+15d=6(a_1+4d)-24d=30-24d。因?yàn)閍_1+4d=5，所以S_6=45。8.答案：B解析：函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，所以f(-x)=-f(x)。f(x+2)=-f(x)意味著f(x+4)=f(x)。因此，f(2025)=f(1)=-f(-1)=-1。9.答案：C解析：在△ABC中，a2+b2=c2，所以△ABC是直角三角形，且∠C=90°。2ab=c2，所以ab=c2/2。因此，sinA=opposite/hypotenuse=b/c，sinB=a/c。因?yàn)椤螩=90°，所以sinC=1。因此，角C的大小是60°。10.答案：C解析：函數(shù)f(x)=sin(x+π/4)，所以f(π/4)=sin(π/4+π/4)=sin(π/2)=1。11.答案：C解析：x2-2x+1=(x-1)2>0，所以x-1≠0，即x≠1。因此，x的取值范圍是(-∞，1)∪(1，+∞)。12.答案：A解析：圓O的半徑為1，點(diǎn)P在圓外，且OP=2，所以點(diǎn)P到圓O的最短距離是OP-半徑=2-1=1。二、填空題答案及解析13.答案：3x-y-1=0解析：直線l過(guò)點(diǎn)A（1，2），且與直線m：3x-y+1=0平行，所以直線l的斜率與直線m的斜率相同，即3。所以直線l的方程為y-2=3（x-1），即3x-y-1=0。14.答案：26解析：等比數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，b_1=2，q=3。T_4=b_1(1-q?)/(1-q)=2(1-3?)/(1-3)=26。15.答案：0解析：函數(shù)f(x)=x3-3x+1的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=3x2-3。令f'(x)=0，解得x=±1。f(1)=13-3×1+1=0，f(-1)=（-1）3-3×（-1）+1=0。因此，函數(shù)f(x)的極小值為0。16.答案：3/5解析：在△ABC中，a=3，b=4，c=5，所以cosA=（b2+c2-a2）/（2bc）=（42+52-32）/（2×4×5）=3/5。三、解答題答案及解析17.解析：（1）證明：因?yàn)镻A⊥底面ABCD，所以PA⊥AB。又因?yàn)锳B⊥AD，PA∩AD=A，所以AB⊥平面PAC。因?yàn)镋是PC的中點(diǎn)，所以PE=EC。又因?yàn)锳B⊥平面PAC，所以AB⊥PE。因此，平面ABE⊥平面PAC。（2）求二面角A-PB-C的余弦值：過(guò)點(diǎn)A作AH⊥PB，垂足為H。因?yàn)槠矫鍭BE⊥平面PAC，且平面ABE∩平面PAC=AB，AH⊥AB，所以AH⊥平面PAC。過(guò)點(diǎn)H作HC⊥PC，垂足為C。因?yàn)槠矫鍼BC⊥平面PAC，且平面PBC∩平面PAC=PC，HC⊥PC，所以HC⊥平面PAC。因此，∠AHC是二面角A-PB-C的平面角。在△AHC中，AH=√2/2，HC=√2/2，AC=2。所以cos∠AHC=AH/AC=√2/2÷2=√2/4。18.解析：（1）若f(x)在x=1處取得最小值，則f'(x)=2x+2a=0，解得a=-1。所以f(x)=x2-2x-2。f(1)=1-2-2=-3，所以最小值為-3。（2）若對(duì)任意x∈R，都有f(x)≥0，則判別式b2-4ac≤0，即4a2-4（1-a）≤0，解得a≤-1或a≥1。19.解析：（1）因?yàn)閟inC=2sinA，所以c=2a。又因?yàn)閍=3，所以c=6。（2）cosB=(a2+c2-b2)/(2ac)=(32+62-42)/(2×3×6)=5/6。20.解析：（1）證明：a_n+1=2S_n+1，所以a_n=2S_n-2S_{n-1}+1。因?yàn)閍_1=1，所以a_2=2S_1+1=3。對(duì)于n≥2，a_n=2S_n-2S_{n-1}+1=2（S_n-S_{n-1}）+1=2a_n+1，所以a_n=-1。因此，{a_n}是等比數(shù)列，公比為3。（2）a_n=3^{n-1}。21.解析：（1）證明：因?yàn)榈酌妗鰽BC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=1，所以AB=√2。D是AB的中點(diǎn)，所以AD=BD=√2/2。又因?yàn)锳A?=2，所以△ABD是等腰三角形，且AD=BD。因此，BD⊥CD。（2）求二面角A-BC-C?的余弦值：過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC，垂足為H。因?yàn)锳A?⊥底面ABC，且BC⊥AH，所以AH⊥平面ABC。過(guò)點(diǎn)H作HC⊥CC?，垂足為C。因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面ACC?A?，且平面ABC∩平面ACC?A?=AH，HC⊥AH，所以HC⊥平面ABC。因此，∠AHC是二面角A-BC-C?的平面角。在△AHC中，AH=1/2，HC=√2/2，AC=1。所以cos∠AHC=AH/AC=1/2÷1=1/2。22.解析：（1）函數(shù)f(x)=|x+1|+|x-1|的圖像如下：當(dāng)x<-2時(shí)，f(x)=-2x；當(dāng)-2≤x≤1時(shí)，f(x)=3；當(dāng)x>1時(shí)，f(x)=2x。（2）若關(guān)于x的不等式f(x)+a≥0在R上恒成立，則a≥-f(x)的最小值。因?yàn)閒(x)的最小值為3，所以a≥-3。23.證明：因?yàn)閧a_n}是