平面向量知識(shí)點(diǎn)歸納一、平面向量的基本概念向量的定義：既有大小又有方向的量叫做向量。物理學(xué)中又叫做矢量。如力、速度、加速度、位移等。向量的表示幾何表示：用有向線段來(lái)表示向量，有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向。以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的向量記為\overrightarrow{AB}，也可記為\boldsymbol{a}。字母表示：用小寫(xiě)字母\boldsymbol{a},\boldsymbol,\boldsymbol{c},\dots表示向量。向量的模：向量的大小叫做向量的模（或長(zhǎng)度），記作|\overrightarrow{AB}|或|\boldsymbol{a}|。向量的模是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)。零向量：長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，記作\boldsymbol{0}。零向量的方向是任意的。單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量叫做單位向量。與非零向量\boldsymbol{a}同方向的單位向量記作\boldsymbol{e}_{\boldsymbol{a}}=\frac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|}。相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量。向量\boldsymbol{a}與\boldsymbol相等，記作\boldsymbol{a}=\boldsymbol。任意兩個(gè)相等的非零向量，都可以用同一條有向線段來(lái)表示，并且與有向線段的起點(diǎn)無(wú)關(guān)。相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量叫做相反向量。向量\boldsymbol{a}的相反向量記作-\boldsymbol{a}，顯然\boldsymbol{a}+(-\boldsymbol{a})=\boldsymbol{0}。平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫做共線向量。規(guī)定：零向量與任一向量平行，即\boldsymbol{0}\parallel\boldsymbol{a}。二、平面向量的線性運(yùn)算（一）向量的加法定義：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫做向量的加法。運(yùn)算法則三角形法則：已知非零向量\boldsymbol{a},\boldsymbol，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}，\overrightarrow{BC}=\boldsymbol，則向量\overrightarrow{AC}叫做\boldsymbol{a}與\boldsymbol的和，記作\boldsymbol{a}+\boldsymbol，即\boldsymbol{a}+\boldsymbol=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}。平行四邊形法則：已知兩個(gè)不共線的非零向量\boldsymbol{a},\boldsymbol，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a}，\overrightarrow{OB}=\boldsymbol，以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則對(duì)角線向量\overrightarrow{OC}叫做\boldsymbol{a}與\boldsymbol的和，即\boldsymbol{a}+\boldsymbol=\overrightarrow{OC}。運(yùn)算律交換律：\boldsymbol{a}+\boldsymbol=\boldsymbol+\boldsymbol{a}結(jié)合律：(\boldsymbol{a}+\boldsymbol)+\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}+(\boldsymbol+\boldsymbol{c})（二）向量的減法定義：求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的減法。運(yùn)算法則（三角形法則）：已知非零向量\boldsymbol{a},\boldsymbol，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a}，\overrightarrow{OB}=\boldsymbol，則向量\overrightarrow{BA}叫做\boldsymbol{a}與\boldsymbol的差，記作\boldsymbol{a}-\boldsymbol，即\boldsymbol{a}-\boldsymbol=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}。也可以說(shuō)，減去一個(gè)向量等于加上這個(gè)向量的相反向量，即\boldsymbol{a}-\boldsymbol=\boldsymbol{a}+(-\boldsymbol)。（三）向量的數(shù)乘定義：實(shí)數(shù)\lambda與向量\boldsymbol{a}的積是一個(gè)向量，記作\lambda\boldsymbol{a}，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：|\lambda\boldsymbol{a}|=|\lambda|\cdot|\boldsymbol{a}|當(dāng)\lambda>0時(shí)，\lambda\boldsymbol{a}與\boldsymbol{a}的方向相同；當(dāng)\lambda<0時(shí)，\lambda\boldsymbol{a}與\boldsymbol{a}的方向相反；當(dāng)\lambda=0時(shí)，\lambda\boldsymbol{a}=\boldsymbol{0}運(yùn)算律\lambda(\mu\boldsymbol{a})=(\lambda\mu)\boldsymbol{a}(\lambda+\mu)\boldsymbol{a}=\lambda\boldsymbol{a}+\mu\boldsymbol{a}\lambda(\boldsymbol{a}+\boldsymbol)=\lambda\boldsymbol{a}+\lambda\boldsymbol向量共線定理：向量\boldsymbol{a}(\boldsymbol{a}\neq\boldsymbol{0})與\boldsymbol共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)\lambda，使得\boldsymbol=\lambda\boldsymbol{a}。三、平面向量的坐標(biāo)表示平面向量的坐標(biāo)：在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量\boldsymbol{i},\boldsymbol{j}作為基底。對(duì)于平面內(nèi)的任一向量\boldsymbol{a}，由平面向量基本定理可知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x,y，使得\boldsymbol{a}=x\boldsymbol{i}+y\boldsymbol{j}，我們把有序數(shù)對(duì)(x,y)叫做向量\boldsymbol{a}的坐標(biāo)，記作\boldsymbol{a}=(x,y)，其中x叫做\boldsymbol{a}在x軸上的坐標(biāo)，y叫做\boldsymbol{a}在y軸上的坐標(biāo)。幾個(gè)特殊向量的坐標(biāo)：零向量\boldsymbol{0}=(0,0)；單位向量\boldsymbol{i}=(1,0)，\boldsymbol{j}=(0,1)。向量坐標(biāo)的求法：若向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，終點(diǎn)為P(x,y)，則\overrightarrow{OP}=(x,y)；若向量的起點(diǎn)為A(x_1,y_1)，終點(diǎn)為B(x_2,y_2)，則\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)。四、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算加法：若\boldsymbol{a}=(x_1,y_1)，\boldsymbol=(x_2,y_2)，則\boldsymbol{a}+\boldsymbol=(x_1+x_2,y_1+y_2)。減法：若\boldsymbol{a}=(x_1,y_1)，\boldsymbol=(x_2,y_2)，則\boldsymbol{a}-\boldsymbol=(x_1-x_2,y_1-y_2)。數(shù)乘：若\boldsymbol{a}=(x,y)，\lambda\inR，則\lambda\boldsymbol{a}=(\lambdax,\lambday)。向量共線的坐標(biāo)表示：設(shè)\boldsymbol{a}=(x_1,y_1)，\boldsymbol=(x_2,y_2)(\boldsymbol\neq\boldsymbol{0})，則\boldsymbol{a}\parallel\boldsymbol的充要條件是x_1y_2-x_2y_1=0。五、平面向量的數(shù)量積定義：已知兩個(gè)非零向量\boldsymbol{a}與\boldsymbol，它們的夾角為\theta(0\leq\theta\leq\pi)，我們把數(shù)量|\boldsymbol{a}||\boldsymbol|\cos\theta叫做\boldsymbol{a}與\boldsymbol的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol，即\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol|\cos\theta。規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即\boldsymbol{0}\cdot\boldsymbol{a}=0。幾何意義：數(shù)量積\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol等于\boldsymbol{a}的長(zhǎng)度|\boldsymbol{a}|與\boldsymbol在\boldsymbol{a}方向上的投影|\boldsymbol|\cos\theta的乘積，也等于\boldsymbol的長(zhǎng)度|\boldsymbol|與\boldsymbol{a}在\boldsymbol方向上的投影|\boldsymbol{a}|\cos\theta的乘積。性質(zhì)：設(shè)\boldsymbol{a},\boldsymbol都是非零向量，\boldsymbol{e}是與\boldsymbol方向相同的單位向量，\theta是\boldsymbol{a}與\boldsymbol{e}的夾角，則：\boldsymbol{e}\cdot\boldsymbol{a}=\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{e}=|\boldsymbol{a}|\cos\theta\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol\Leftrightarrow\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol=0（\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol表示\boldsymbol{a}與\boldsymbol的夾角為90°）當(dāng)\boldsymbol{a}與\boldsymbol同向時(shí)，\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol|；當(dāng)\boldsymbol{a}與\boldsymbol反向時(shí)，\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol=-|\boldsymbol{a}||\boldsymbol|。特別地，\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a}=|\boldsymbol{a}|^2或|\boldsymbol{a}|=\sqrt{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a}}|\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol|\leq|\boldsymbol{a}||\boldsymbol|運(yùn)算律交換律：\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol=\boldsymbol\cdot\boldsymbol{a}數(shù)乘結(jié)合律：(\lambda\boldsymbol{a})\cdot\boldsymbol=\lambda(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol)=\boldsymbol{a}\cdot(\lambda\boldsymbol)分配律：(\boldsymbol{a}+\boldsymbol)\cdot\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}+\boldsymbol\cdot\boldsymbol{c}坐標(biāo)表示：若\boldsymbol{a}=(x_1,y_1)，\boldsymbol=(x_2,y_2)，則\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol=x_1x_2+y_1y_2。向量夾角的坐標(biāo)公式：設(shè)\boldsymbol{a}=(x_1,y_1)，\boldsymbol=(x_2,y_2)，且\boldsymbol{a},\boldsymbol是非零向量，它們的夾角為\theta，則\cos\theta=\frac{\boldsy