4.4 等腰三角形第四章

圖形的軸對(duì)稱學(xué)習(xí)目標(biāo)課時(shí)講解1課時(shí)流程2等腰三角形的性質(zhì)等邊三角形的性質(zhì)等腰三角形的判定等邊三角形的判定含30°角的直角三角形的性質(zhì)逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升知1－講感悟新知知識(shí)點(diǎn)等腰三角形的性質(zhì)1文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言圖示軸對(duì)稱性等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，底邊上的中線（頂角的平分線、底邊上的高）所在的直線是它的對(duì)稱軸性質(zhì)定理1等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”）如圖，在△ABC

中，因?yàn)锳B=AC，所以∠B=∠C

知1－講感悟新知文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言圖示性質(zhì)定理2等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高互相重合（簡(jiǎn)寫成“三線合一”）如圖，在△ABC

中，AB=AC。①因?yàn)锳D

平分∠BAC，所以AD⊥BC

且BD=CD；②因?yàn)锳D⊥BC，所以AD

平分∠BAC

且BD=CD；③因?yàn)锽D=CD，所以AD平分∠BAC

且AD⊥BC

感悟新知拓展延伸：等腰三角形的其他性質(zhì)(1)等腰三角形兩腰上的中線、高分別相等；(2)等腰三角形兩底角的平分線相等；(3)

等腰三角形底邊上的中點(diǎn)到兩腰的距離相等；(4)

等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于一腰上的高；(5)

當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀菫?0°時(shí)，此等腰三角形為等腰直角三角形，它的兩條直角邊相等，兩個(gè)銳角都是45°。知1－講感悟新知知1－講特別提醒1.性質(zhì)定理1的適用條件：必須在同一個(gè)三角形中。2.作用：是證明角相等的常用方法，應(yīng)用它證角相等時(shí)可省去三角形全等的證明，因而更簡(jiǎn)便。感悟新知知1－講特別解讀1.性質(zhì)定理2的適用條件：(1)必須是等腰三角形；(2)必須是底邊上的中線、底邊上的高和頂角的平分線才相互重合。2.作用：是證明線段相等、角相等、線段垂直等關(guān)系的重要方法。3.知道其中“一線”，就可以說(shuō)明是其他“兩線”。知1－練感悟新知如圖4.4-1，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC。(1)求∠ADB的度數(shù)；(2)若∠BAC=100°，求∠B，∠C

的度數(shù)；(3)若BC=3cm，求BD的長(zhǎng)。例1知1－練感悟新知解題秘方：緊扣等腰三角形“等邊對(duì)等角”“三線合一”的性質(zhì)解答。解：因?yàn)锳B=AC，AD

平分∠BAC，所以AD⊥BC。所以∠ADB=90°。(1)求∠ADB的度數(shù)；由角平分線得到高線

(2)若∠BAC=100°，求∠B，∠C

的度數(shù)；(3)若BC=3cm，求BD的長(zhǎng)。

知1－練感悟新知等邊對(duì)等角由角平分線得到中線知1－練感悟新知1-1.如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D。若AB=6，CD=4，則△ABC的周長(zhǎng)是(

)A.10??B.14C.16??D.20D知1－練感悟新知1-2.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=140°，AD是BC

邊上的中線，且BD=BE，則∠ADE的大小為(

)A.10°??B.20°C.40°??D.70°A知1－練感悟新知[中考·北京]如圖4.4-2，在△ABC

中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，BE⊥AC

于點(diǎn)E。求證：∠CBE=∠BAD。例2

知1－練感悟新知證明：因?yàn)锳B=AC，AD是BC

邊上的中線，所以AD⊥BC，∠BAD=∠CAD。所以∠ADC=90°。所以∠CAD=90°-∠C。因?yàn)锽E⊥AC，所以∠BEC=90°。所以∠CBE=90°-∠C。所以∠CBE=∠CAD。所以∠CBE=∠BAD。解題秘方：根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)和同角的余角相等解決問(wèn)題。知1－練感悟新知2-1.

.[中考·宿遷]如圖，已知AB=AC=AD，且AD∥BC，求證：∠C=2∠D。證明：因?yàn)锳B＝AC＝AD，所以∠C＝∠ABC，∠D＝∠ABD。因?yàn)椤螦BC＝∠ABD＋∠CBD，所以∠ABC＝∠CBD＋∠D。因?yàn)锳D∥BC，所以∠CBD＝∠D。所以∠ABC＝∠D＋∠D＝2∠D。又因?yàn)椤螩＝∠ABC，所以∠C＝2∠D。知1－練感悟新知如圖4.4-3，在△ABC中，AB=AC，D，E

是BC

邊上的點(diǎn)，且BD=CE。求證：AD=AE。例3知1－練感悟新知解題秘方：利用等腰三角形的邊角性質(zhì)為證明△ABD和△ACE全等創(chuàng)造條件，或者作出底邊BC上的高，利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)證明其垂直平分DE。知1－練感悟新知

知1－練感悟新知3-1.如圖，在△ABC中，AB=AC，D

是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)

分別是AB，AC

上的點(diǎn)，且AE=AF，求證：DE=DF。知1－練感悟新知知1－練感悟新知如圖4.4-4，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D，E

分別在AC，AB

邊上，且BC=BD，AD=DE=EB，求∠A

的度數(shù)。例4

知1－練感悟新知解題秘方：利用等腰三角形的性質(zhì)求角度，若沒(méi)有已知角度，常通過(guò)設(shè)未知數(shù)，利用“等邊對(duì)等角”、三角形外角的性質(zhì)表示相關(guān)角，再利用三角形內(nèi)角和定理建立方程求解。知1－練感悟新知

知1－練感悟新知4-1.如圖，在△ABC中，AB=AC，D是邊AC上一點(diǎn)，AD=BD，BC=DC，求∠A的度數(shù)。知1－練感悟新知感悟新知知2－講知識(shí)點(diǎn)等邊三角形的性質(zhì)2文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言圖示軸對(duì)稱性等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，有三條對(duì)稱軸，對(duì)稱軸為三邊上的中線所在直線（或三個(gè)角的平分線所在直線或三邊上的高線所在直線）性質(zhì)定理1等邊三角形的各角都等于60°如圖，在△ABC

中，因?yàn)锳B=AC=BC，所以∠A=∠B=∠C=60°

感悟新知知2－講續(xù)表文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言圖示性質(zhì)定理2等邊三角形每條邊上的中線、高和所對(duì)角的平分線相互重合，即“三線合一”如圖，在△ABC

中，①因?yàn)椤鰽BC

為等邊三角形，AD

平分∠BAC，所以AD⊥BC

且BD=CD；②因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，AD⊥BC，所以AD

平分∠BAC

且BD=CD；③因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，BD=CD，所以AD平分∠BAC且AD⊥BC知2－講感悟新知特別解讀等邊三角形是特殊的等腰三角形，具備等腰三角形的所有性質(zhì)：1.任意兩邊都可以作為腰；2.任意一個(gè)角都可以作為頂角；3.任意一邊上都“三線合一”。感悟新知知2－練如圖4.4-5，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，若∠PBC=∠PCB=10°，△APC是等邊三角形，求∠ABP的度數(shù)。例5知2－練感悟新知解題秘方：緊扣等邊三角形的邊角性質(zhì)和“等角對(duì)等邊”計(jì)算。

知2－練感悟新知5-1.

[期中·青島黃島區(qū)]如圖，△ABC為等邊三角形，BC⊥CD，AC=CD，則∠CED=________。75°

感悟新知知2－練如圖4.4-6，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為3，D

是AC

的中點(diǎn)，點(diǎn)E

在BC的延長(zhǎng)線上，若DE=DB，求CE的長(zhǎng)。例6知2－練感悟新知解題秘方：利用等邊三角形“三線合一”的性質(zhì)將未知線段向已知線段轉(zhuǎn)化。知2－練感悟新知

知2－練感悟新知6-1.如圖，△ABC為等邊三角形，AD⊥BC，AE=AD，則∠ADE=____。75°知2－練感悟新知6-2.如圖，△ABC

是等邊三角形，BD平分∠ABC，點(diǎn)E在BC

的延長(zhǎng)線上，且CE=1，∠E=30°，則BC=_____。2感悟新知知2－練如圖4.4-7，△ABC和△ADE都是等邊三角形。求證：BD=CE。例7知2－練感悟新知解題秘方：利用等邊三角形中邊相等、角相等證明△BAD≌△CAE，進(jìn)而得出結(jié)論。

知2－練感悟新知7-1.如圖，△ABC

為等邊三角形，D為邊BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接CD，以CD為邊作等邊三角形CDE，連接AE，判斷AE

與

BC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由。解：AE∥BC。理由如下：因?yàn)椤鰽BC與△CDE都為等邊三角形，所以BC＝AC，CD＝CE，∠B＝∠ACB＝∠DCE＝60°。所以∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，即∠BCD＝∠ACE。所以△BCD≌△ACE(SAS)。所以∠B＝∠EAC。所以∠EAC＝∠ACB。所以AE∥BC。知2－練感悟新知知3－講感悟新知知識(shí)點(diǎn)等腰三角形的判定31.判定方法文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言圖示定義法有兩邊相等的三角形是等腰三角形如圖，在△ABC

中，因?yàn)锳B=AC，所以△ABC

為等腰三角形判定定理法有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形（簡(jiǎn)寫成“等角對(duì)等邊”）如圖，在△ABC

中，因?yàn)椤螧=∠C，所以AB=AC，即△ABC為等腰三角形

感悟新知辨析：等腰三角形的判定與性質(zhì)的區(qū)別知3－講條件結(jié)論作用性質(zhì)（等邊對(duì)等角）在同一個(gè)三角形中，兩邊相等這兩邊所對(duì)的角也相等證明角相等判定（等角對(duì)等邊）在同一個(gè)三角形中，兩個(gè)角相等這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等證明線段相等

感悟新知知3－講特別提醒1.等腰三角形的定義也是一種判定方法。2.“等角對(duì)等邊”是我們以后證明兩條線段相等的常用方法，在證明過(guò)程中，經(jīng)常通過(guò)計(jì)算三角形各角的度數(shù)，或利用角的關(guān)系得到角相等，從而得到所對(duì)的邊相等。感悟新知2.已知底邊及底邊上的高作等腰三角形已知：一個(gè)等腰三角形底邊長(zhǎng)為a，底邊上的高為h（如圖4.4-8）。求作：這個(gè)等腰三角形。作法：如圖4.4-9。(1)作線段AB=a；(2)作線段AB

的垂直平分線EF，交AB于點(diǎn)D；(3)在DE

上截取DC=h；(4)連接AC，BC。△ABC

即為所求作的等腰三角形。知3－講感悟新知知3－講特別解讀解決復(fù)雜作圖題的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作。知3－練感悟新知如圖4.4-10，AD是△ABC的邊BC上的高，且AD

平分∠BAC，求證：△ABC

為等腰三角形。例8

解題秘方：根據(jù)等腰三角形的定義來(lái)判定，只需說(shuō)明有兩邊相等即可。知3－練感悟新知

知3－練感悟新知8-1.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是邊BC上的一點(diǎn)，點(diǎn)E

是邊AC上的一點(diǎn)，且AB=AC=DC，BD=CE，連接AD，DE。(1)求證：△ADE是等腰三角形;知3－練感悟新知知3－練感悟新知(2)若∠ADE=40°，求∠BAC的度數(shù)。解：因?yàn)椤鰽BD≌△DCE，所以∠BAD＝∠EDC。所以∠BAD＋∠BDA＝∠EDC＋∠BDA＝180°－∠ADE＝140°。所以在△ABD中，∠B＝180°－(∠BAD＋∠BDA)＝180°－140°＝40°。所以∠C＝∠B＝40°。所以∠BAC＝180°－40°－40°＝100°。知3－練感悟新知如圖4.4-11，在△ABC中，D

為AC的中點(diǎn)，DE⊥AB，

DF⊥BC，垂足分別為E，F(xiàn)，且DE=DF。求證：△ABC

是等腰三角形。例9解題秘方：利用“等角對(duì)等邊”判定等腰三角形，只需證明三角形兩個(gè)內(nèi)角相等即可。知3－練感悟新知

知3－練感悟新知9-1.如圖，在△ABC中，P是BC邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P

作BC

的垂線，交AB于點(diǎn)Q，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R，若AQ=AR，求證：△ABC是等腰三角形。知3－練感悟新知證明：因?yàn)锳Q＝AR，所以∠R＝∠AQR。又因?yàn)椤螧QP＝∠AQR，所以∠R＝∠BQP。因?yàn)镽P⊥BC，所以∠B＋∠BQP＝90°，∠C＋∠R＝90°。所以∠B＝∠C。所以AB＝AC。所以△ABC是等腰三角形。知3－練感悟新知尺規(guī)作圖：已知線段a（如圖4.4-12），畫一個(gè)底邊長(zhǎng)為a，底邊上的高的長(zhǎng)也為a的等腰三角形。例10

知3－練感悟新知解：如圖4.4-13。(1)作線段BC=a；(2)作線段BC

的垂直平分線MN，與BC

相交于點(diǎn)D；(3)在DN

上截取DA=a；(4)連接AB，AC。

△ABC

就是所求作的等腰三角形。知3－練感悟新知10-1.

[中考·陜西]如圖，已知直線l和l外一點(diǎn)A，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，求作一個(gè)等腰直角三角形ABC，使得頂點(diǎn)B和頂點(diǎn)C都在直線l上（作出符合題意的一個(gè)等腰直角三角形即可，保留作圖痕跡，不寫作法）。解：如圖，△ABC即為所求作的等腰直角三角形。(作法不唯一)感悟新知知4－講知識(shí)點(diǎn)等邊三角形的判定41.等邊三角形的判定方法方法文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言圖示定義法三邊都相等的三角形是等邊三角形如圖，因?yàn)锳B=AC=BC，所以△ABC

為等邊三角形判定定理1三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形如圖，因?yàn)椤螦=∠B=∠C，所以△ABC為等邊三角形

感悟新知知4－講續(xù)表方法文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言圖示判定定理2有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形如圖，因?yàn)锳B=AC，∠A=60°（或∠B=60°或∠C=60°），所以△ABC為等邊三角形

可以是頂角，也可以是底角感悟新知知4－講2.證明等邊三角形的思維導(dǎo)圖（如圖4.4-14）知4－講感悟新知特別解讀等邊三角形的證明思路：感悟新知知4－練如圖4.4-15，在△ABC

中，AB=AC，∠BAC=120°，點(diǎn)D，E在BC上，AD

⊥AC，AE⊥AB。求證：△AED

為等邊三角形。例11知4－練感悟新知解題秘方：利用等邊三角形的判定定理1，通過(guò)求∠ADE=∠AED=∠DAE=60°，得△AED為等邊三角形。知4－練感悟新知

知4－練感悟新知11-1.如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，∠A=60°。求證：△ABD是等邊三角形。知4－練感悟新知感悟新知知4－練如圖4.4-16，在△ABC

中，∠A=120°，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，點(diǎn)E，F(xiàn)

為垂足。求證：△DEF

是等邊三角形。例12

知4－練感悟新知解題秘方：要證△DEF是等邊三角形，關(guān)鍵是得到DE=DF，且∠EDF=60°，利用全等三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可得出。知4－練感悟新知

知4－練感悟新知12-1.如圖，在等邊三角形ABC

中，點(diǎn)P

在△ABC

內(nèi)，點(diǎn)Q

在△ABC外，且∠ABP=∠

ACQ，BP=CQ，問(wèn)△APQ是什么形狀的三角形？試說(shuō)明你的理由。知4－練感悟新知感悟新知知5－講知識(shí)點(diǎn)含30°角的直角三角形的性質(zhì)5

感悟新知知5－講2.作用：應(yīng)用于證線段的倍分關(guān)系和計(jì)算角度。拓展：該性質(zhì)反過(guò)來(lái)說(shuō)也成立。在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么它所對(duì)的角等于30°。知5－講感悟新知特別解讀應(yīng)用此性質(zhì)，必須滿足兩個(gè)條件：1.在直角三角形中；2.有一個(gè)銳角為30°。二者缺一不可。感悟新知知5－練如圖4.4-18，在Rt△ABC

中，∠C=90°，AB

邊的垂直平分線MN

交AB

于點(diǎn)M，交BC

于點(diǎn)N，且∠B=15°，AC=4cm，求BN

的長(zhǎng)。例13知5－練感悟新知解題秘方：先構(gòu)造含30°角的直角三角形，再利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)。解：如圖4.4-18，連接AN。因?yàn)镸N

為AB邊的垂直平分線，所以AN=BN。所以∠NAB=∠B=15°。所以∠ANC=∠