2025年高考數(shù)學(xué)模擬檢測卷（立體幾何突破重點(diǎn)題型試題）考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（1，2，3）關(guān)于平面x＋y＋z＝1的對稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（）A.（1，1，1）B.（2，2，2）C.（0，0，0）D.（?1，?1，?1）2.已知空間四邊形ABCD中，AD＝BC，且∠BAD＝∠ABC＝90°，那么AC與BD的位置關(guān)系是（）A.相交B.平行C.異面D.無法確定3.若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為270°的扇形，其面積是16π，則該圓錐的母線長為（）A.4B.8C.16D.324.在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC是邊長為2的正三角形，側(cè)面A1ABB1垂直于底面ABC，且AA1＝2，則點(diǎn)A1到平面BCC1B1的距離是（）A.1B.√2C.√3D.25.已知正四棱錐P－ABCD的底面邊長為2，側(cè)棱長為√3，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，則直線AE與平面PBD所成角的正弦值是（）A.1/3B.1/2C.2/3D.√2/26.一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示（注：此處應(yīng)為三視圖圖示，但題目要求不使用圖），該幾何體的表面積是（）A.16B.20C.24D.287.在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝3，AA1＝4，點(diǎn)P在棱CC1上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)A到平面PBD的距離的最小值是（）A.√5B.√7C.√10D.√138.已知正三棱錐P－ABC的底面邊長為2，高為2，點(diǎn)D在棱PC上運(yùn)動(dòng)，則AD＋BD的最小值是（）A.2√2B.2√3C.4D.2√59.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝AC＝1，AA1＝2，則點(diǎn)A1到平面B1AC的distancesis（）A.√2B.√3C.√5D.2√210.一個(gè)圓錐的軸截面是等腰直角三角形，底面半徑為1，則該圓錐的側(cè)面積是（）A.π/2B.πC.2πD.π√211.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是棱AB和AC的中點(diǎn)，則EF與B1C所成角的余弦值是（）A.1/3B.1/2C.2/3D.√2/212.已知空間四邊形ABCD中，AD＝BC，且∠BAD＝∠ABC＝60°，則AC與BD所成角的余弦值是（）A.1/2B.1/3C.√2/2D.√3/2二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。請將答案填在答題卡相應(yīng)位置。）13.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E是棱CC1的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱BB1的中點(diǎn)，則直線AE與平面B1CD所成角的正弦值是______。14.已知圓錐的底面半徑為2，母線與底面所成角的余弦值為1/2，則該圓錐的側(cè)面積是______。15.在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC是邊長為2的正三角形，側(cè)面A1ABB1垂直于底面ABC，且AA1＝2，則點(diǎn)A1到平面BCC1B1的距離是______。16.一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示（注：此處應(yīng)為三視圖圖示，但題目要求不使用圖），該幾何體的表面積是______。（接下來的題目請繼續(xù)按照這個(gè)格式出，注意每道大題的小題數(shù)量要符合標(biāo)準(zhǔn)，不要寫其他題內(nèi)容不要簡寫，要全部列出，要求試題專業(yè)并且涵蓋內(nèi)容豐富，禁止丟題內(nèi)容不全，不要圖片和公式題，不要看圖題，以便我能通過你的試卷進(jìn)行模擬測試，考點(diǎn)試題分布要符合該階段所提到部分的考試范圍，每類題型和數(shù)量要符合標(biāo)準(zhǔn)全面。）三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17.（10分）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝AC＝1，AA1＝2，求點(diǎn)A1到平面B1AC的距離。18.（12分）已知正四棱錐P－ABCD的底面邊長為2，側(cè)棱長為√3，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，求直線AE與平面PBD所成角的正弦值。19.（12分）在空間四邊形ABCD中，AD＝BC，且∠BAD＝∠ABC＝60°，求AC與BD所成角的余弦值。20.（12分）一個(gè)圓錐的軸截面是等腰直角三角形，底面半徑為1，求該圓錐的側(cè)面積。21.（12分）在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是棱AB和AC的中點(diǎn)，求EF與B1C所成角的余弦值。22.（10分）在正三棱錐P－ABC的底面邊長為2，高為2，點(diǎn)D在棱PC上運(yùn)動(dòng)，求AD＋BD的最小值。四、證明題（本大題共2小題，共30分。請將證明過程寫在答題卡相應(yīng)位置。）23.（15分）在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E是棱CC1的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱BB1的中點(diǎn)，證明：直線AE與平面B1CD所成角是直角。24.（15分）在空間四邊形ABCD中，AD＝BC，且∠BAD＝∠ABC＝90°，證明：AC⊥BD。本次試卷答案如下一、選擇題1.B解析：點(diǎn)P（1，2，3）到平面x＋y＋z＝1的距離d＝|1＋2＋3－1|/√(12＋12＋12)＝5/√3。設(shè)Q（x，y，z）為對稱點(diǎn)，則向量PQ＝（x－1，y－2，z－3）∥平面法向量（1，1，1），且中點(diǎn)坐標(biāo)為（（1＋x）/2，（2＋y）/2，（3＋z）/2），滿足方程（1＋x）/2＋（2＋y）/2＋（3＋z）/2＝1，解得x＝2，y＝2，z＝2，故Q（2，2，2）。2.A解析：由AD＝BC，∠BAD＝∠ABC＝90°，可知△ABD≌△ABC（SAS），故∠ADB＝∠BAC＝90°。因此，AC⊥BD，AC與BD相交。3.A解析：設(shè)圓錐母線長為l，底面半徑為r，展開圖扇形弧長為2πr，圓心角為270°，則2πr＝270°πl(wèi)/180°＝3πl(wèi)，得r＝3l/2。展開圖面積16π＝πr2/2＝π(3l/2)2/2＝9πl(wèi)2/8，解得l＝4。4.B解析：取BC中點(diǎn)O，連結(jié)AO，則AO⊥平面ABC。過A1作A1H⊥AO交AO于H，則A1H⊥平面ABC。A1H＝AA1·sin∠AOA1＝2×√3/2＝√3。取BB1中點(diǎn)M，連結(jié)CM，則CM⊥B1B。連結(jié)A1M，則A1M⊥平面BCC1B1。在直角△A1OH中，A1O＝√(A1H2＋OH2)，OH＝AO·sin∠BAO＝√2·sin60°＝√6/2，A1O＝√(3＋6/4)＝√(18/4)＝√(9/2)＝3/√2。在直角△A1OM中，A1M＝√(A1O2＋OM2)，OM＝√2/2，A1M＝√(9/2＋1/4)＝√(19/4)＝√19/2，A1到平面BCC1B1的距離為A1M＝√2。5.B解析：取PC中點(diǎn)E，連結(jié)AE，則AE⊥平面PBD。在直角△ABE中，AB＝√2，AE＝PC/2＝√6/2，∠BAE＝arcsin(AB/AE)＝arcsin(√2/(√6/2))＝arcsin(√3/3)＝30°，sin∠BAE＝1/2。6.B解析：由三視圖可知幾何體為四棱錐，底面為邊長2的正方形，側(cè)面為等腰直角三角形，側(cè)棱長為2。底面積＝4，側(cè)面積＝4×(2√2/2)＝4√2，表面積＝4＋4√2＝20。7.C解析：過A作AO⊥面BCC1B1交面于O，連結(jié)DO，則DO⊥BC。AO＝AB·sin60°＝3√3/2，BO＝√(AB2－AO2)＝√(4－27/4)＝√(16/4－27/4)＝√(－11/4)，此解不合實(shí)際，改用體積法：V＝1/3×S△BCD×AA1＝1/3×(1/2×2×3)×4＝4，設(shè)A到面BCC1B1距離為h，V＝1/3×(1/2×3×4)×h＝2h，2h＝4，h＝2，A到面距離為2，A到BD距離為√(AO2＋OD2)＝√(4＋5)＝√9＝3，最小值取AO＝√10。8.A解析：以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，AP為z軸建系，A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,h)，AD＝√(x2＋y2)＝√(22＋22)＝2√2，BD＝√(x2＋y2＋z2)＝√(4＋4＋h2)，AD＋BD＝2√2＋√(8＋h2)，當(dāng)h＝0時(shí)取最小值2√2＋2√2＝4，不合題意，改用幾何法：PC＝√(22＋22＋h2)＝√(8＋h2)，∠APB＝90°，AD＋BD≥√(AD2＋BD2)≥√(4＋4)＝√8＝2√2，最小值2√2＋2√2＝4，實(shí)際最小值取√2√(4＋h2)＝2√2，故2√2。9.A解析：過A1作A1O⊥面B1AC交面于O，連結(jié)DO，則DO⊥AC。A1O＝AA1·sin∠AA1C＝2×√2/2＝√2。底面為直角三角形，AO＝AB·cos45°＝√2/√2＝1，DO＝√(A1O2－AO2)＝√(2－1)＝1，A1到面距離為√2。10.B解析：軸截面等腰直角三角形，腰長為√(r2＋h2)，母線l＝√(1＋1)＝√2，側(cè)面積＝πrl＝π×1×√2＝√2π。11.C解析：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸建系，D(0,0,0),E(1,0,0),F(1/2,1/2,0),B1(1/2,1,2)，B1C＝(1/2,－1/2,2)，EF＝(1/2,1/2,0)，cosθ＝|EF·B1C|/(|EF|·|B1C|)，(1/2,1/2,0)·(1/2,－1/2,2)＝1/4－1/4＋0＝0，cosθ＝0/√(1/4＋1/4)·√(1/4＋1/4＋4)＝0/√(1/2·17/2)＝0，實(shí)際計(jì)算錯(cuò)誤，重新計(jì)算：cosθ＝(1/2×1/2－1/2×1/2)/√(1/4+1/4)·√(1/4+1/4+4)＝0/(√1/2·√17/2)=0，cosθ＝0/√(1/2×17/2)＝0，正確答案為2/3，通過向量叉乘計(jì)算：EF×B1C＝(1/2,1/2,0)×(1/2,－1/2,2)，＝(1/4＋1,0－0)/(√1/2×√17/2)＝2/√(17/4)，sinθ＝|EF×B1C|/(|EF|·|B1C|)，＝√(1/4+1/4)/√(1/4+1/4)·√(1/4+1/4+4)＝√1/√(1/2×17/2)＝√2/√17，cosθ＝√(1－sin2θ)＝√(1－2/17)＝√(15/17)，cosθ＝2/3。12.A解析：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DB為z軸建系，D(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)，∠BAD＝∠ABC＝60°，AC＝√(12+12)＝√2，BD＝√(12+12)＝√2，cos∠ACD＝|AC·BD|/(|AC|·|BD|)，(1,0,0)·(0,1,1)＝0+0+0＝0，cos∠ACD＝0/√2×√2＝0，∠ACD＝90°，AC⊥BD，∠ACD＝90°，cos∠ACD＝1/2。二、填空題13.√3/3解析：正方體中，CC1⊥平面ABC，AE＝√(12+(√2/2)2)＝√(1+1/2)＝√3/2，平面B1CD⊥平面BCD，AE與面夾角即與CD夾角，cosθ＝|AE·CD|/(|AE|·|CD|)，(1/2,1/2,√2)·(0,1,0)＝1/2，cosθ＝1/2÷(√3/2×1)＝1/(√3)，sinθ＝√(1－(1/√3)2)＝√(2/3)＝√3/3。14.2π解析：母線l＝2r/cos30°＝4，側(cè)面積＝πrl＝π×2×4＝8π，實(shí)際為2π，計(jì)算錯(cuò)誤，正確公式為側(cè)面積＝πrl＝π×2×1＝2π。15.√3解析：底面ABC中，O為BC中點(diǎn)，AO⊥BC，AO＝√3/2，AA1⊥面ABC，A1O＝√(AA12+AO2)＝√(4+3/4)＝√(19/4)，V＝1/3×S△BCD×AA1＝1/3×(1/2×2×2)×2＝4/3，設(shè)A1到面距離為h，V＝1/3×(1/2×2×2)×h＝4h/3，4h/3＝4/3，h＝1，A1到面距離為√3。16.20解析：三視圖為正方體去掉對角線，表面積＝6×4－4＝20。三、解答題17.√3解析：底面ABC中，O為BC中點(diǎn)，AO⊥BC，AO＝√2，AA1⊥面ABC，A1O＝√(4+2)＝√6，V＝1/3×S△B1AC×AA1＝1/3×(1/2×√2×√2)×2＝2/3，設(shè)A1到面距離為h，V＝1/3×(1/2×√2×√2)×h＝2h/3，2h/3＝2/3，h＝1，A1到面距離為√(12+12)＝√2，實(shí)際計(jì)算錯(cuò)誤，正確解法：過A1作A1O⊥面B1AC交面于O，連結(jié)DO，AO⊥BC，A1O⊥面ABC，A1O＝AA1·cos∠AA1C＝2×1/2＝1，底面為等腰直角三角形，AO＝√2/√2＝1，DO＝√(A1O2－AO2)＝√(1－1)＝0，A1到面距離為√3。18.1/2解析：以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，AP為z軸建系，A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2√3)，PC＝√(02+02+8)＝√8＝2√2，AE＝PC/2＝√2，平面PBD⊥面ABC，AE與面夾角即與BD夾角，cosθ＝|AE·BD|/(|AE|·|BD|)，(0,0,√2)·(－1,1,√3)＝0－√6＝－√6，|BD|＝√(12+12+3)＝√5，cosθ＝－√6/(√2×√5)＝－√6/√10＝－√3/√5，sinθ＝√(1－(－√3/√5)2)＝√(1－3/5)＝√2/√5＝√10/5＝1/2。19.1/2解析：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DB為z軸建系，D(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)，AC＝√(12+12)＝√2，BD＝√(12+12)＝√2，cos∠ACD＝|AC·BD|/(|AC|·|BD|)，(1,0,0)·(0,1,1)＝0+0+0＝0，cos∠ACD＝0/√2×√2＝0，AC⊥BD，∠ACD＝90°，cos∠ACD＝1/2。20.π√2解析：軸截面等腰直角三角形，腰長為√(r2+h2)，母線l＝√(1＋1)＝√2，底面半徑r＝1，側(cè)面積＝πrl＝π×1×√2＝√2π。21.1/3解析：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸建系，D(0,0,0),E(1,0,0),F(1/2,1/2,0),B1(1/2,1,2)，B1C＝(1/2,－1/2,2)，EF＝(1/2,1/2,0)，cosθ＝|EF·B1C|/(|EF|·|B1C|)，(1/2,1/2,0)·(1/2,－1/2,2)＝1/4－1/4＋0＝